Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Lei dos senos, Rev. Ciência Elem., V2(1):113
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.113]

Índice

Lei dos senos

		Consideremos um triângulo $ABC$ , como o representado no applet ao lado. As notações para os vértices e para as medidas de lados e de ângulos internos são as indicadas. Nestas condições, a lei dos senos diz que: $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}$ Podemos ainda ser mais específicos. Para isso, consideremos a circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$ , e seja $r$ o seu raio. Então $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r$

		Para provar a lei dos senos, usamos o facto conhecido (Proposição 20 do livro III dos Elementos de Euclides) de que a medida de um ângulo inscrito numa circunferência (isto é, um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência e os lados contêm duas cordas da circunferência), é igual a metade da medida do ângulo ao centro (ou arco) que subtende a mesma corda ou metade da amplitude do arco $AB$ .

		Consideremos de novo a circunferência circunscrita ao triângulo $ABC$ , e seja $r$ o seu raio. Temos que: $\angle AOB=2\angle ACB=2\gamma$ . Baixemos, a partir de $O$ , a perpendicular que bisseta o lado $AB$ . Temos então que $\sin\gamma=\displaystyle \frac{c}{2}r$ , o que implica que $\displaystyle \frac{c}{\sin\gamma}=2r=\mbox{constante}$ que é uma constante, constante esta que é independente de $c$ e $\gamma$ . Fazendo exactamente o mesmo procedimento para os dois outros lados e ângulos internos, obtemos $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=2r$ como se pretendia.

		Num triângulo inscrito numa circunferência de diâmetro igual a 1, o comprimento de cada lado é igual ao seno do ângulo oposto. Com efeito, neste caso, a lei do senos diz que $\displaystyle\frac{a}{\sin\alpha}=\displaystyle\frac{b}{\sin\beta}=\displaystyle\frac{c}{\sin\gamma}=1$ donde se deduz que $a=\sin\alpha, b=\sin\beta$ e $c=\sin\gamma$ .

		Consideremos o triângulo $ROP$ inscrito numa circunferência de raio igual a 1, que se ilustra no applet ao lado. Se $\angle AOP=2\theta$ , então $\angle ARP=\theta$ . Aplicando a lei dos senos ao triângulo $ROP$ , obtemos $\displaystyle \frac{RP}{\sin(180º-2\theta)}=\displaystyle \frac{OP}{\sin\theta}=\displaystyle \frac{1}{\sin\theta}$ uma vez que $OP=1$ , donde se deduz que $\sin 2\theta=RP\, \sin \theta$ , uma vez que $\sin(180º-2\theta)=\sin\theta$ . Por outro lado, do triângulo $RSO$ , retângulo em $S$ , obtemos que $\cos\theta=\displaystyle \frac{RS}{RO}=\displaystyle \frac{(RP/2)}{1}=\displaystyle \frac{RP}{2}$ , o que implica que $RP=2\cos\theta$ . Substituindo $RP$ na fórmula $\sin 2\theta=RP\, \sin \theta$ , acima deduzida, obtemos uma fórmula do seno do ângulo duplo: $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

Fazendo um raciocínio análogo, aplicado agora ao triângulo $RQP$ , retângulo em $Q$ , obtemos as fórmulas do cosseno do ângulo duplo:

$\cos 2\theta=2\cos^2\theta -1 = \cos^2\theta-\sin^2\theta$

Criada em 07 de Dezembro de 2012
Revista em 12 de Março de 2013
Aceite pelo editor em 09 de Abril de 2013