Mostrar código-fonte de Equações da reta

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) '' Equações da reta'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(2):074
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.074 https://doi.org/10.24927/rce2017.074]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-074.pdf" target="_blank">
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__TOC__

=Reta que passa num ponto e é perpendicular a um vetor=

==Equação cartesiana==


{| border="0"   
|- 
| Considerando um ponto \(A=(x_A,y_A)\) e um vetor \(\vec {\bf n}\), a reta que passa por \(A\) e é perpendicular a \(\vec {\bf n}\) é definida através da equação \(\vec {\bf n}  \cdot  \overrightarrow{AP}=0\), onde \(P=(x,y)\) um ponto genérico da reta considerada. 
Se \( \vec {\bf n}=(a,b)\) e \(\overrightarrow{AP}=(x-x_A,y-y_A)\), \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP}=(a,b) \cdot (x-x_A,y-y_A)=a(x-x_A)+b(y-y_A)\), e então a equação escreve-se da forma,
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad a(x-x_A) + b(y-y_A)=0  \quad\]
|}
e diz-se a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> <u>da reta</u> referida.


<span style="color:#4682B4">'''''Exemplos'''''</span>

* \(2x-y=0\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n} =(2,-1)\).
* \(\displaystyle 2y=\frac{x}{3}\) é a equação cartesiana da reta que passa, por exemplo, no ponto \(A=(3,1/2)\) e é perpendicular ao vetor  \(\vec {\bf n} =(-1/3,2)\).

|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|<html><iframe scrolling="no" title="Equações da reta" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/pejcsdu4/width/400/height/350/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="400px" height="350px" style="border:0px;"> </iframe></html>
|}

<span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>

Como calcular a equação cartesiana da reta que passa em \(A=(-1,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(3,4)\)?

Consideramos \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então o vetor \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2)\) é ortogonal ao vetor \(\vec {\bf n}\). Portanto, \(\overrightarrow{AP} \cdot \vec {\bf n}=0\), isto é,

\((x+1,y-2) \cdot (3,4)=0 \, \Leftrightarrow \, 3(x+1)+4(y-2)=0 \, \Leftrightarrow \, 3x+4y=5\).


==Equação vetorial==
{| class="wikitable" 
|- 
| Considerando a mesma reta, \(\vec {\bf n} \cdot \overrightarrow{AP} =0\), onde \(\vec {\bf n}=(a,b)\), vejamos que o vetor \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) tem a mesma direção  dessa reta. De facto  \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(a,b) \cdot (-b,a)= -ab+ba=0\). Portanto a reta é também o conjunto de todos os pontos \(P=(x,y)\), tais que \(P-A=\overrightarrow{AP}\) é um múltiplo  escalar  de vetor \(\vec {\bf v}\). Isto é, \((P-A)=t \vec {\bf v}\).  

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|- 
! style="background: #efefef;" | \[\quad P \in \mathbb{R}^2: P=A+t\vec {\bf v} , \quad t \in \mathbb{R} \quad\] 
|}

A equação \(P=A+t\vec {\bf v}\) diz-se a <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta que passa no ponto \(A\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}\).

|&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
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|}

==Equações paramétricas==

{| border="0"
|- 
| Se \( \overrightarrow{AP} =(x-x_A,y-y_A)\),   então, como \(\vec{\bf v}=(-b,a)\),
\(\overrightarrow{AP}=t \vec {\bf v} \, \Leftrightarrow \, (x-x_A,y-y_A)=t(-b,a) \, \Leftrightarrow \, x-x_A=-tb \wedge y-y_A=ta\), sendo assim equivalente ao sistema de duas equações seguinte:

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
| ! style="background: #efefef;" | \[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A-tb  & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+ ta & \end{array} \right.\quad \]
|}

Que se dizem <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span> da reta referida.
Quando o "tempo" \(t\) varia, elas representam o movimento de um ponto (partícula) que se desloca sobre a reta com movimento uniforme de vetor-velocidade \(\vec {\bf v}=(-b,a)\) e velocidade (escalar) \(v=\|\vec {\bf v}\|=\sqrt{a^2+b^2}\). 
| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  
| <span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>

Como calcular as equações paramétricas da reta que passa no ponto \(A=(2,-3)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}=(1,4)\)?

O vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\) é perpendicular ao vetor \(\vec {\bf n}\) pois \(\vec {\bf n} \cdot \vec {\bf v}=(1,4) \cdot (-4,1)=-4+4=0\). Portanto, pretendemos as equações paramétricas da reta que passa em \(A=(2,-3)\) e é paralela ao vetor \(\vec {\bf v}=(-4,1)\). Se \(P=(x,y)\) um ponto genérico dessa reta, então \(\overrightarrow{AP}=P-A=(x,y)-(2,-3)=(x-2,y+3)\) é um múltiplo escalar do vetor \(\vec {\bf v}\), isto é, \(\overrightarrow{AP}=t\vec {\bf v}\), ou seja,

\((x-2,y+3)=t(-4,1) \, \Longleftrightarrow \, \left\{\begin{array}{ll} x=2-4t \\ y=-3+t \, , \quad  t \in \mathbb{R}\end{array}\right.\) 
|}

<div style="text-align: center;">
<html><iframe scrolling="no" title="Equações da reta" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zxfbn8yh/width/350/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="350px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>
</div>

=Reta que passa por dois pontos=

==Equação vetorial==

{| border="0"
|-
|Pretendemos agora determinar a equação de uma reta que passa em dois pontos distintos. Temos então dois casos:

<u>No plano</u>, sejam \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\) esses dois pontos, queremos então determinar a equação da reta que passa por \(A\) e é paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}\). Se \(P=(x,y)\)  é um ponto genérico dessa reta temos que,

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad P=A+t\overrightarrow{AB}\, , \quad t \in \mathbb{R}\quad \] 
|}

que é chamada a <span style="color:red">'''equação vetorial'''</span> da reta. Em coordenadas, \((x,y)=(x_A,y_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\).


<u>No espaço</u>, considerando \(A=(x_A,y_A,z_A)\) e \(B=(x_B,y_B,z_B)\) os dois pontos pelos quais passa a reta a sua '''equação vetorial''' é:

\[(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+t(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A) \, , \quad t \in \mathbb{R}\].
| &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
| <span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>

Como calcular a equação vetorial da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1,0)\) e \(B=(-3,1,2)\)?

Consideramos \(P=(x,y,z)\) um ponto genérico dessa reta. A reta pretendida passa pelos pontos \(A\) e \(B\) por isso é uma reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,2)-(2,-1,0)=(-5,0,2)\). Portanto a equação vetorial dessa reta é dada por:

\(P=A+t\overrightarrow{AB} \, \Longleftrightarrow \, (x,y,z)=(2,-1,0)+t(-5,0,2) \, , \quad t \in \mathbb{R}\)

[[Imagem: Eqvetorialpontos.png|thumb|center|450px|'''Fig.1''' - Reta que passa por dois pontos (no espaço)]]
|}

==Equações paramétricas==

Das equações vetoriais da reta anteriores podemos obter as <span style="color:red">'''equações paramétricas'''</span>. 
Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^2\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A)\), ou num sistema:

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[ \quad \left\{\begin{array}{ll} x=x_A+t(x_B-x_A) & \\ & , t \in \mathbb{R} \\ y=y_A+t(y_B-y_A) & \end{array} \right. \quad\]
|}


Para o caso em que \(A\) e \(B\) são pontos em \(\mathbb{R}^3\) a equação vetorial da reta é equivalente a \(x=x_A+t(x_b-x_A) \, \wedge \, y=y_A+t(y_B-y_A) \, \wedge \, z=z_A+t(z_B-z_A)\), ou num sistema, considerando \(t \in \mathbb{R}\):

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[ \quad\left\{\begin{array}{l} x=x_A+t(x_B-x_A) \\ y=y_A+t(y_B-y_A) \\ z=z_A+t(z_B-z_A) \end{array} \right. \quad\]
|}


==Equação cartesiana==

Simplificando os sistemas anteriores e eliminando o parâmetro \(t\), obtemos do primeiro sistema a <span style="color:red">'''equação cartesiana'''</span> da reta <u>no plano</u>, que passa pelos pontos \(A=(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\):

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad(y_B-y_A)(x-x_A)=(y-y_A)(x_B-x_A)\quad\]
|}

* Se \(x_B-x_A=0\), então \(y_B-y_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta vertical de equação \(x=x_A\).
* Se \(y_B-y_A=0\), então \(x_B-x_A \neq 0\), pois os dois pontos são distintos, e a reta é uma reta horizontal de equação \(y=y_A\).
* Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A \neq 0\), a reta tem por equação:

\[y=y_A+\frac{(y_B-y_A)}{(x_B-x_A)}(x-x_A)\]
 
Do segundo sistema obtemos as '''equações cartesianas''' (também chamadas '''equações homogéneas''') da reta que passa em \(A\) e \(B\) <u>no espaço</u>, com \(A, B \in \mathbb{R}^3\).

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}=\frac{z-z_A}{z_B-z_A}\quad\]
|}

=Equação reduzida de uma reta=

==Inclinação e declive da reta==


{| class="wikitable" 
|- 
| A '''inclinação''' de uma reta é o menor ângulo positivo \(\alpha\) que a reta faz com a parte positiva do eixo dos \(xx\).

Considerando dois pontos dessa reta, \(A(x_A,y_A)\) e \(B=(x_B,y_B)\), o '''declive''' da reta, usualmente denominado por \(m\), é o quociente entre a diferença das ordenadas e a diferença das abcissas de dois pontos dessa mesma reta, ou seja,

\[m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\]

Se \(x_B-x_A \neq 0\) e \(y_B-y_A\neq 0\) então temos uma reta não vertical e não horizontal. Se \(x_B-x_A=0\) a reta é vertical e diz-se que o seu declive é infinito. Já se \(y_B-y_A=0\) temos uma reta horizontal (com declive nulo).

Através da trigonometria, o ''declive'' de uma reta é diretamente associado à inclinação da mesma pois, pela definição de tangente de um ângulo concluímos que o declive da reta é igual à tangente da inclinação da mesma, ou seja:

\[m=\tan \alpha\].
||
[[Imagem: Eqreduzida2.png|thumb|upright|210px|'''Fig.2''' - Inclinação \(\alpha\) e declive de uma reta.]]
|}

==Equação \(y=mx+b\)==

A equação reduzida de uma reta no plano é definida através da expressão,

\[y=mx+b\]

em que \(m\) é o declive da reta e \(b\) a ordenada na origem. 
O valor \(b\) é assim a ordenada do ponto de interseção da reta considerada com o eixo dos \(yy\), ponto \((0,b)\), ou o valor que se obtém para \(y\) quando substituímos o valor de \(x\) por zero.


<span style="color:#4682B4">'''''Aplicação'''''</span>

Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos \(A=(2,-1)\) e \(B=(4,6)\)?

Começamos por determinar o declive da reta: \(\displaystyle m=\frac{6-(-1)}{4-2} \, \Leftrightarrow \, m=\frac{7}{2}\). Temos então que \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x+b\).
Para determinarmos o valor de \(b\) basta substituirmos na expressão anterior os valores de \(x\) e \(y\) pelas coordenadas de um dos pontos. Substituindo pelas coordenadas de \(A\) obtemos: 

\(\displaystyle -1=\frac{7}{2}\times 2 +b \, \Leftrightarrow \, b=-1-7=-8\).

Concluímos então que a equação da reta pretendida é \(\displaystyle y=\frac{7}{2}x-8\).




---- <br>Criada em 3 de Junho de 2013<br> Revista em 12 de Junho de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Junho de 2017<br>
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