Mostrar código-fonte de Ângulo (medidas)

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2018) Ângulo (medidas), ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V6(4):075<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar_e_Angela|João Nuno Tavares e Ângela Geraldo]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2018.075 http://doi.org/10.24927/rce2018.075]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2018/075/" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
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==Ângulos  e rotações==


<html>Quando um ponto \(P\) se move sobre uma circunferência, de centro \(O\), rodando no sentido
        positivo
        (anti-horário), partindo de uma certa posição inicial \(Q\), quando ele regressa a \(Q\), após descrever uma
        volta
        inteira, diz-se que o ponto \(P\) (ou a semi-recta \(OP\), se preferir) descreveu um <strong>ângulo (de
            rotação)</strong> (orientado) igual a \(360º\).
<p>&nbsp;</p>
<p>&nbsp;</p>

Se o ponto descreve um quarto de volta, o ângulo (de rotação) será igual a
        \(\displaystyle\frac{1}{4}\times 360º=90º\). Um outro exemplo, \(300º\) representa o valor do ângulo
        correspondente
        à rotação positiva de P de \(\displaystyle\frac{300}{360}= \displaystyle\frac{15}{18}\) de volta inteira.</p>
    <p class='mainText'>Quando \(P\) roda no sentido negativo (horário), os ângulos são negativos.</p>
    <p class='mainText'>Não há qualquer razão matemática para que uma volta inteira corresponda a \(360º\), ou, de outra
        forma, para que a unidade de medida seja o grau = \(\displaystyle\frac{1}{360}\) de volta inteira. De facto a
        única razão é de carácter histórico - é assim desde a antiguidade clássica. Como veremos, existe uma unidade de
        medida mais apropriada do ponto de vista matemático - o</html> [[Radiano|radiano]].



<html>
 <br>
<center>
    <figure class="image-medium">
        <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2018-075-01.png" width="450">
        <figcaption>FIGURA 1. Ângulos de rotação.</figcaption>
    </figure>
</center>
    <br>
<p>
Mas o que significa um <strong>ângulo (de rotação)</strong> de \(500º\)? Como
        \(5800º=360º+140º\), significa que o ponto P deu uma volta inteira, no sentido positivo, a que correspondem
        \(360º\), e depois continuou a rodar descrevendo um ângulo (de rotação) correspondente à rotação positiva de
        \(P\) de \(\displaystyle\frac{140}{360}= \displaystyle\frac{7}{18}\) de volta inteira (veja a figura).</p>

    <p class='mainText'>Podemos pois definir ângulos de rotação, ou mais simplesmente, ângulos de qualquer valor,
        racional ou irracional, positivo ou negativo, medidos em graus.</html>




==Ângulos orientados==

===Noção de ângulo===
{| border="0" cellpadding="5"
|- 
| <html>Uma semi-reta de origem \(O\), pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em
        torno de \(O\) em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o
        sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.</p>
    <p class='mainText'>Quando a semi-reta partindo da posição \(a\), roda em torno da origem \(O\) acabando por ocupar
        a posição \(b\), diz-se que descreveu o ângulo \(\angle a,b\). À semi-reta \(a\) chamamos <em>lado origem</em> e
        à
        semi-reta \(b\) <em>lado extremidade</em>. O ponto \(O\) é o <em>vértice</em> do ângulo.</p>
    <p class='mainText'>Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a
        ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram
        lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (<strong>ângulo orientado</strong>).
<p>
Quando a semirreta <em>a</em> descreve uma rotação em torno da origem <em>O</em> de tal forma
        que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa
        semirreta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um <strong>ângulo giro</strong>. E como nada
        impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos
        (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.
<p>
Portanto, um par ordenado (<em>a</em>,<em>b</em>) de duas semirretas com a mesma origem
        <em>O</em> corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado <strong>ângulo trigonométrico</strong>, constituído
        por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva
        o lado origem a coincidir com o lado extremidade.
</html>
||
<html><iframe scrolling="no" title="Medida dos Ângulos" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/bmks7sze/width/775/height/435/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="230px" height="280x" style="border:0px;"> </iframe></html>
||
<html><iframe scrolling="no" title="Medida de Ângulo" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ffxaunfj/width/775/height/435/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="230px" height="280px" style="border:0px;"> </iframe></html>
|}

===Medida dos ângulos===

<html>
Se \(A\) e \(U\) forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se \(U\) for não nula,
        existe um e um só número real \(\alpha\) tal que, \(A=\alpha U\).
        A este número \(\alpha\) chama-se a medida de \(A\) relativamente a \(U\). Determinar \(\alpha\) é medir a
        grandeza \(A\) tomando para unidade a grandeza \(U\).</p>
    <p class='mainText'>Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dadas duas determinações \(A\) e
        \(U\), (\(U\) não nulo), de dois ângulos, existe um e um só número real \(m\) tal que, \(A=m U\). O número \(m\)
        representa assim a medida da determinação do ângulo \(A\) relativamente à unidade \(U\).</p>
    <p class='mainText'>Fixada a unidade \(U\) estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos
        <em>ângulos orientados</em> e conjunto dos <em>números reais</em> (medidas dos ângulos). Esta correspondência é
        tal
        que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de <strong>ângulos</strong> se traduz,
        respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de <strong>números reais</strong>.
    </p>
    <p class='mainText'>A escolha da unidade \(U\) é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de
        unidades definidos em seguida.
</html>


==Sistema sexagesimal==

<html>No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o <strong>grau</strong>. Um grau
        corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{90}\) do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.</p>
    <p class='mainText'>Assim sendo, um ângulo reto mede \(90º\) (90 graus) e um ângulo giro mede \(360º\) (360 graus)
        pois \(90\times4=360\).<p></html>
{| class="wikitable" 
|- 
| <html>Como submúltiplos do grau usam-se:</p>
    <p class='mainText'>O <strong>minuto sexagesimal</strong> \((1')\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do
        grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.</p>
    <p class='mainText'>O <strong>segundo sexagesimal</strong> \((1' ')\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\)
        do minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{3600}\) do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.
    </p>
    <p class='mainText'>O <strong>décimo do segundo</strong>, o <strong>centésimo do segundo</strong> etc.</p><p></html>
|| 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
|-
! style="background: #efefef;" | Submúltiplos do grau
! style="background: #efefef;" | Um grau
|-
| Minutos || 60
|-
| Segundos || 3600
|-
| Décimos de segundo || 36000
|-
| Centésimos do segundo || 360000
|-
| \(\dots\) || \(\dots\)
|}
|}

<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>

<html><p class='mainText'>Um ângulo composto de 30 graus, 12 minutos, 8 segundos e 2 centésimos que simbolicamente podemos
        representar por \(30º\) \(12'\) \(8' '\) \(,02\) tem uma medida em graus de \(\displaystyle
        30+\frac{12}{60}+\frac{8}{3600}+\frac{2}{360\times 100} \simeq 30,2023\).</p>
    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo usamos habitualmente a notação \(30º\) \(12'\) \(8' '\)
        \(,02\) para nos referirmos ao número anterior.</p><p></html>

==Sistema centesimal==

<html><p class='mainText'>No sistema centesimal admite-se como unidade fundamental o <b>grado</b>. Um grado corresponde a
        \(\displaystyle \frac{1}{100}\) do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.</p>
    <p class='mainText'>Assim sendo, um ângulo reto mede \(100^{g}\) (100 grados) e um ângulo giro mede \(400^{g}\) (400
        grados) pois \(100\times\)4=400).<p></html>

{| class="wikitable" 
|- 
| <html><p class='mainText'>Como submúltiplos do grado usam-se:</p>
    <p class='mainText'>O <strong>minuto centesimal</strong> \((1^{‵})\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\)
        do grau, ou seja, 100 minutos centesimais são 1 grado.</p>
    <p class='mainText'>O <strong>segundo centesimal</strong> \((1‶)\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) do
        minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{10000}\) do grado, ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado.
    </p>
    <p class='mainText'>O <strong>décimo do segundo centesimal</strong>, o <strong>centésimo do segundo
        centesimal</strong> etc.</p><p></html>
|| 
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" style="text-align: center;" align="right"
|-
! style="background: #efefef;" | Submúltiplos do grado
! style="background: #efefef;" | Um grado
|-
| Minutos || 100
|-
| Segundos || 10000
|-
| Décimos de segundo centesimal || 100000
|-
| Centésimos do segundo  centesimal || 1000000
|-
| \(\dots\) || \(\dots\)
|}
|}

<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>

<html>Um ângulo composto de 20 grados, 8 minutos e 24 segundos que simbolicamente podemos representar
        por \(20^{g}\) \(8^{‵}\) \(24‶\) tem uma medida em grados de \(\displaystyle
        20+\frac{8}{100}+\frac{24}{10000}=20,0824\).</p>
    <p class='mainText'>Para indicar a medida deste ângulo no sistema centesimal usamos habitualmente a notação
        \(20^{g}\) \(8^{‵}\) \(24‶\) para nos referirmos ao número anterior.<p></html>

==Sistema circular==

<html>
<br>
    <p class='mainText'>No sistema circular a unidade de medida é o radiano.
        Como sabemos um radiano é a medida de um ângulo ao centro definido num círculo por um arco com o mesmo
        comprimento que o raio do círculo. Sabemos também que existe proporcionalidade direta entre a medida de um
        ângulo ao centro e o comprimento do arco correspondente. Considerando o ângulo da FIGURA 1 podemos então
        estabelecer que:</p>
    <br><center>
    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo
        giro}}=\frac{\mbox{comprimento do arco } AB}{\mbox{comprimento da circunferência}}\]</p></center>
    <br>
    <p class='mainText'>Como o comprimento do arco \(AB\) é igual ao raio do círculo, resulta que</p>
    <br>
    <p class='mainText centered'>\[\frac{\mbox{medida de um radiano}}{\mbox{medida de um ângulo giro}}=\frac{r}{2\pi
        r}=\frac{1}{2\pi}\]</p>
    <br>
    <p class='mainText'>Esta relação mostra que a medida de um <strong>ângulo giro</strong> é de \(2\pi\) radianos.
        Estabelecendo a relação com os dois sistemas de unidades anteriores temos que:</p>
    <br><center>
    <p class='mainText centered'>\(360º=2\pi \mbox{ radianos}\) e \(400^{g}=2\pi \mbox{ radianos}\)</p></center>
    <br>
    <p class='mainText'>Daqui resulta que,</p>
    <br><center>
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}={\left(\frac{360}{2\pi}\right)}^{\circ} \simeq \, 57º
        \,\, 17' \,\, 45' '\)</p>
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle 1 \mbox{ radiano}=\left(\frac{400}{2\pi}\right)^{g} \simeq \, 63,6620^g \)</p></center>
    <br></html>


==Passagem de um sistema de unidades para outro==

<html><br>
    <p class='mainText'>Consideremos um ângulo \(\angle a,b\) qualquer e designemos por \(s\), \(c\) e \(d\) as suas
        medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação
        destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um <i>ângulo raso</i>, que é de \(180º\)
        no sistema sexagesimal, de \(200^{g}\) no centesimal e de \(\pi \mbox{ rad}\) no circular.
        Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum,
        resulta que a razão entre o ângulo \(\angle a,b\) e o ângulo raso pode ser expressa pelos números
        \(\displaystyle \frac{s}{180}\), \(\displaystyle \frac{c}{200}\) ou por \(\displaystyle \frac{d}{\pi}\).</p>
    <br>
    <p class='mainText'>Como os três números anteriores são iguais então temos que:</p><p></html>

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad\]
|}

Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um ângulo num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo ângulo num dos outros dois sistemas de unidades.


<span style="color:green">'''Exemplo'''</span>

<html><p class='mainText'>Cálculo das medidas do ângulo \(28º\) \(48'\) nos sistemas centesimal e circular.</p>
    <p class='mainText'>Usando a relação anterior temos que \(s=28,8\) pois \(48'=0,8º\),então</p>
    <br>
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{c}{200} \, \Leftrightarrow \, c=\frac{200 \times
        28,8}{180}=32\)</p>
    <br>
    <p class='mainText'>Da mesma forma determinamos a medida do ângulo no sistema circular:</p>
    <br>
    <p class='mainText centered'>\(\displaystyle \frac{28,8}{180}=\frac{d}{\pi} \, \Leftrightarrow \, d=\frac{\pi \times
        28,8}{180}=\frac{28,8}{180}\pi=\frac{4}{25}\pi \simeq 0,503\)</p>
    <br>
    <p class='mainText'>Logo, o ângulo \(28º\) \(48'\) mede \(32^{g}\) no sistema centesimal e aproximadamente \(0,503
        \mbox{ rad}\) no sistema circular.</p><p></html>

==Notas históricas==


<html><br>
    <p class='mainText'>Dos três sistemas de unidade descritos anteriormente é o sistema circular que parece suscitar
        maior interesse <em>teórico</em> pela quantidade de assuntos matemáticos em que intervém. Já os outros dois
        sistemas, sistema sexagesimal e sistema centesimal, são mais utilizados nas aplicações práticas mais
        elementares.</p>
    <p class='mainText'>O <strong>sistema sexagesimal</strong> será, dos três sistemas de unidades, o mais antigo, como
        podemos ler na <em>Enciclopédia das Matemáticas Elementares</em> (Berzolari, Milão, 1937, Vol.II p.545), <em>«O
            sistema sexagesimal é de origem remotíssima. Os Babilónios dividiam a circunferência em 360 partes iguais e
            esta subdivisão transmitiu-se aos Gregos e Árabes e chegou até nós»</em>.</p>
    <p class='mainText'>O <strong>sistema centesimal</strong> parece datar do séc.XV. O notável geómetra H.Briggs
        (1556-1630) utilizou a subdivisão centesimal na construção duma tábua trigonométrica. Mais tarde, o matemático
        francês J.L.Lagrange (1736-1813) mostrou-se defensor da substituição do sistema sexagesimal pelo sistema
        centesimal de unidades de medida de ângulo. Apesar do sistema centesimal ser mais cómodo a nível de cálculo, uma
        vez que se usam medidas expressas em números decimais, ainda hoje podemos verificar que o sistema mais utilizado
        e mais comum é o sistema sexagesimal.</p><p></html>

==Referências==

# J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.

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Recursos relacionados disponíveis na [http://www.casadasciencias.org Casa das Ciências]:<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7498 Construção de Triângulos];<br>
# [https://www.casadasciencias.org/recurso/7238 Ângulos e Triângulos].<br>

---- <br>Criada em 17 de Fevereiro de 2013<br> Revista em 23 de Maio de 2018<br> Aceite pelo editor em 4 de Dezembro de 2018<br>
[[Category:Matemática|Angulo (medidas)]]