Mostrar código-fonte de Coeficiente de correlação amostral

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Martins, E.G.M., (2014) Coeficiente de correlação amostral, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V2(2):042
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<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Megm|Maria Eug&eacute;nia Gra&ccedil;a Martins]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2014.042 http://doi.org/10.24927/rce2014.042]]</i></span><br>
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A '''Correlação''' entre duas [[Variável_(Estatística)|variáveis]] de tipo quantitativo descreve a associação entre essas variáveis. 


Na presença de um conjunto de [[Dados_bivariados|dados bivariados]] o primeiro passo na análise desses dados é representá-los num [[Diagrama_ou_gráfico_de_dispersão|diagrama de dispersão]]. A forma da nuvem de pontos, representada no diagrama, pode mostrar uma associação linear entre as duas variáveis, que pode ser expressa numericamente pelo '''coeficente de correlação amostral''' de Pearson ou pelo seu quadrado que se chama [[Coeficiente_de_determinação|coeficiente de determinação]].


O '''Coeficiciente de correlação amostral''' de Pearson, representado por '''r''', é uma medida da direção e grau com que duas variáveis, de tipo quantitativo, se associam linearmente. 


Se representarmos por ('''x''','''y''')={\(({\rm{x_{i},y_{i}}})\)}, com i = 1,...,n, uma amostra de dados bivariados, o coeficiente de correlação amostral de Pearson calcula-se a partir da seguinte fórmula:


<div style="text-align: center;">
\[{\rm{r  = }}\frac{{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} ( {{\rm{x}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar x)(}}{{\rm{y}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar y)}}}}{{\sqrt {\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{(}}{{\rm{x}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar x)}}}^{\rm{2}}}\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{({{\rm{y}}_{\rm{i}}}{\rm{ - \bar y)}}}^{\rm{2}}}} } } }}{\rm{\quad\quad\quad onde\quad\quad\quad\bar x}} = \frac{{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{x}}_{\rm{i}}}} }}{{\rm{n}}}{\rm{\quad\quad\quad e \quad\quad\quad\bar y}} = \frac{{\sum\limits_{{\rm{i}} = {\rm{1}}}^{\rm{n}} {{{\rm{y}}_{\rm{i}}}} }}{{\rm{n}}}\]
</div>


ou seja, o coeficiente de correlação r para o par de variáveis ('''x''','''y''') é o quociente entre a [[Covariância amostral|covariância amostral]] das variáveis '''x''' e '''y''' e o produto dos [[Desvio_padrão_amostral|desvios padrões]] respetivos:

<div style="text-align: center;">
\[{\rm{r}} = \frac{{{\rm{Cov(x}}{\rm{,y)}}}}{{{{\rm{s}}_{\rm{x}}}{{\rm{s}}_{\rm{y}}}}}\]
</div>


Podem-se mostrar as seguintes propriedades do coeficiente de correlação r:

# O coeficiente de correlação assume valores entre -1 e 1.
# Quanto maior for o valor de r, em módulo, maior será o grau de associação linear entre as variáveis.
# Um valor de r ''positivo'' indica uma associação ''linear positiva'' entre as duas variáveis, isto é, quando os valores de uma das variáveis aumentam, existe tendência para que os valores da outra variável também aumentem. Um valor de r ''negativo'' indica uma ''associação linear negativa'' entre as duas variáveis, isto é, quando os valores de uma das variáveis aumentam, existe tendência para que os valores da outra variável diminuam.
# O coeficiente de correlação não é uma medida ''resistente'', isto é, pode ser influenciado pela existência nos dados de alguns valores ''estranhos'' ou ''outliers'', ou seja, valores muito maiores ou menores que os restantes, pelo que deve ser interpretado com o devido cuidado. A representação prévia dos dados num diagrama de dispersão, antes de proceder ao cálculo do coeficiente de correlação, permite detetar a existência de ''outliers''.


Apresentam-se a seguir alguns exemplos de representações gráficas de conjuntos de dados relativos a notas obtidas em dois exames por alunos de 6 classes e respetivos coeficientes de correlação (Adaptado de ROSSMAN, A. J. (1996)):


<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_1.png]]


[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_2.png]]


[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_3.png]]
</div>


A visualização dos gráficos anteriores leva-nos a supor que entre os dois exames se possa admitir o seguinte tipo de associação:


<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_4.png]]
</div>


O cálculo do coeficiente de correlação, que se apresenta na tabela seguinte, completa a informação da tabela anterior: 


<div style="text-align: center;">
[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_7.png]]
</div>


Repare-se que apenas nos casos em que | \({\rm{r}}\) | é muito elevado faz sentido falar de associação linear forte, como é observado nos casos C e E em que o gráfico de dispersão aponta para isso. 


Num contexto de [[Regressão_linear_simples|regressão linear simples]], em que a variável explanatória é x e a variável resposta é y, o coeficiente de determinação r<sup>2</sup> dá a percentagem de variabilidade dos y's que fica explicada em função da variabilidade dos x’s. Assim, embora aparentemente um valor de r à volta de 0,7 possa parecer elevado, na realidade, é maior a percentagem de variabilidade que fica por explicar (100-49)% do que a explicada (100x0,7<sup>2</sup>)%, pelo que um valor de r naquela ordem de grandeza corresponde a um relacionamento moderado. 


Mais uma vez se chama a atenção para que o coeficiente de correlação só mede a intensidade com que duas variáveis se associam linearmente. Como se verifica no exemplo seguinte


<div style="text-align: center;">

[[Ficheiro:Img_Coeficiente_de_correlação_amostral_8.png]]
</div>


existe uma forte associação entre os dados do Exame1 e os dados do Exame2 e no entanto o coeficiente de correlação vem igual a 0.


'''Correlação e relação causa-efeito''' É importante não confundir associação, medida pelo coeficiente de correlação, com relação ''causa-efeito''. Um diagrama de dispersão e uma correlação não provam a existência de uma relação ''causa-efeito''. Podem existir outras variáveis, que não são estudadas, mas influenciam as que estão a ser estudadas e que são conhecidas como variáveis ''lurking'' ou ''confounding'' (variáveis de confundimento).


O '''coeficiente de correlação amostral''' r pode ser usado para estimar (ver [[Estimador|estimador]]) o [[Coeficiente de correlação populacional|coeficiente de correlação populacional]] \(\rho\).

== Referências==

1. MURTEIRA, B., RIBEIRO, C. S., SILVA, J. A., PIMENTA, C. (2002) – ''Introdução à Estatística''. McGraw-Hill de Portugal, Lda. ISBN: 972-773-116-3.

2. ROSSMAN, A.J. (1996) - ''Workshop Statistics: Discovery with data''. New York: Springer-Verlag.

3. PESTANA, D., VELOSA, S. (2010) – ''Introdução à Probabilidade e à Estatística'', Volume I, 4ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian. ISBN: 978-972-31-1150-7. Depósito Legal 311132/10.


[[Category:Matemática]]

---- <br>Criada em 06 de Mar&ccedil;o de 2012<br> Revista em 28 de Maio de 2012<br> Aceite pelo editor em 28 de Maio de 2012<br>