Mostrar código-fonte de Resolução de triângulos

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
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<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
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==O que é resolver um triângulo==

Em qualquer [[Triângulo|triângulo]] podemos considerar como ''elementos principais'' os seus três lados e os três ângulos internos e todos os outros elementos como ''elementos secundários'', como por exemplo, as alturas, as medianas, o raio do círculo circunscrito, etc.

A '''resolução de triângulos''' consiste em determinar alguns elementos do triângulo a partir de elementos já conhecidos. Quando nos referimos a determinar os elementos queremos dizer determinar a medida desses elementos. 

==Resolução de triângulos retângulos==

===Relações entre os seus elementos===

[[Imagem:Resoltriangrel.png|thumb|upright|200px|'''Figura 1''' - Triângulo retângulo]]
Considerando um triângulo retângulo \([ABC]\) e designemos por \(a\), \(b\) e \(c\) os lados desse triângulo e por \(A\), \(B\) e \(C\) os seus ângulos internos opostos a cada um dos lados, respetivamente (Fig.1). 

Estes seis elementos do triângulo satisfazem relações importantes, tais como (considerando \(A=90º\)):

{| class="wikitable" align="center"
|- 
| \[a^2=b^2+c^2 \quad \]  || (Teorema de Pitágoras)
|}

{| class="wikitable" align="center"
|- 
| \[B+C=90º \quad \]  || (ângulos complementares)
|}

Pelas definições de [[Seno de um ângulo agudo|seno]] e [[Cosseno de um ângulo agudo|cosseno]] de um ângulo agudo sabemos que \(\displaystyle \sin B= \frac{b}{a}\) e \(\displaystyle \cos B= \frac{c}{a}\) donde resulta que, \(b=a \, \sin B \,\) e \(c= a \, \cos B\).


Como \(B\) e \(C\) são ângulos complementares temos ainda que \(\sin B= \cos C\) e que \(\cos B= \sin C\), passando as fórmulas anteriores a serem equivalentes a \(b=a \, \cos C\) e \(c= a \, \sin C\), respetivamente.

===Resolução de triângulos retângulos===

Sabemos que para definir um triângulo precisamos conhecer três dos seus elementos, sendo um deles necessariamente um lado. Como estamos a considerar triângulos retângulos um dos ângulos já é conhecido, o ângulo reto, por isso bastam mais dois elementos. Exstem assim <u>quatro casos</u> possíveis.


<span style="color:green">'''''1ºcaso'''''</span> -  '''''São conhecidos a hipotenusa e um ângulo agudo'''''

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, usamos as fórmulas \(b=a \, \sin B\) e \(c=a \, \cos B\) para determinar o comprimento dos dois catetos.


<u>Exemplo</u>:

Sabendo que a hipotenusa \(a=32,63 \mbox{  cm}\) e que o ângulo agudo \(B=34º\,52' \,8' '\), temos então que:

Cálculo de \(C\): \(\qquad C=90º-(34º\,52' \,8' ')=55º\,7' \,52' '\)

Cálculo do comprimento dos catetos:

\(b=a \, \sin B \, \Leftrightarrow \, b=32,63 \times \sin (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, b \simeq 26,77 \mbox{  cm}\)

\(c=a \, \cos B \, \Leftrightarrow \, c=32,63 \times \cos (55º\,7' \,52' ') \, \Leftrightarrow \, c \simeq 18,65 \mbox{  cm}\)


<span style="color:green">'''''2ºcaso'''''</span> -  '''''São conhecidos um cateto e um ângulo agudo'''''

Neste caso, para determinar a amplitude do ângulo agudo desconhecido, usamos o facto de \(B\) e \(C\) serem ângulos complementares. Em seguida, considerando o ângulo oposto ao cateto conhecido, sabemos que o seno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido (cateto oposto) e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o seno desse ângulo. Ou, se considerarmos o ângulo agudo cujo cateto adjacente é o cateto conhecido, sabemos que o cosseno desse ângulo é igual ao quociente entre o cateto conhecido e a hipotenusa, daí resulta que o comprimento da hipotenusa é igual ao quociente entre o cateto e o cosseno desse ângulo. Para determinar o terceiro lado do triângulo usamos o Teorema de Pitágoras.


<u>Exemplo</u>:

Conhecidos o cateto \(c=57,4 \mbox{  cm}\) e o ângulo agudo \(C=46º\, 25'\) temos então que:

Cálculo de \(B\):    \(B=90º-(46º\, 25')=43º\,35'\)


Cálculo do comprimento da hipotenusa e cateto:

\(\displaystyle \sin C=\frac{c}{a} \, \Leftrightarrow \, a=\frac{57,4}{\sin(46º\, 25')} \, \Leftrightarrow \, a \simeq 79,24 \mbox{  cm}\)

\(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, (79,24)^2=b^2+(57,4)^2 \, \Leftrightarrow \, b \simeq 54,63 \mbox{  cm}\)


<span style="color:green">'''''3ºcaso'''''</span> -  '''''São conhecidos a hipotenusa e um cateto'''''

Para determinarmos o comprimento do terceiro lado do triângulo usamos diretamente o Teorema de Pitágoras. Conhecidos os três lados do triângulo, utilizamos as [[Relações trigonométricas num triângulo retângulo|razões trigonométricas]] para determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos.


<u>Exemplo</u>:

Conhecidos a hipotenusa \(a=18 \mbox{  cm}\) e o cateto \(b=9 \mbox{  cm}\) temos então que:

Cálculo do segundo cateto utilizando o T.Pitágoras:  \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, 18^2=9^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, c \simeq 15,59 \mbox{  cm}\)

Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos:

\(\displaystyle \sin B=\frac{b}{a} \, \Leftrightarrow \, \sin B=\frac{9}{18} \, \Leftrightarrow \, B={\sin}^{-1} (0,5)=30º\)

\(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-30º=60º\)


<span style="color:green">'''''4ºcaso'''''</span> -  '''''São conhecidos os dois catetos'''''

O comprimento da hipotenusa pode ser determinado através do Teorema de Pitágoras. Para se determinar a amplitude de cada um dos ângulos agudos usamos uma das [[Relações trigonométricas num triângulo retângulo|razões trigonométricas]].


<u>Exemplo</u>:

Conhecidos o cateto \(b=22,6 \mbox{  cm}\) e o cateto \(c=13,5 \mbox{  cm}\) temos então que:

Cálculo da hipotenusa utilizando o T.Pitágoras:  \(a^2=b^2+c^2 \, \Leftrightarrow \, a^2=(22,6)^2+(13,5)^2 \, \Leftrightarrow \, a \simeq 26,33 \mbox{  cm}\)

Determinação das amplitudes dos dois ângulos agudos:

\(\displaystyle \tan B=\frac{b}{c} \, \Leftrightarrow \, \tan B=\frac{22,6}{13,5} \, \Leftrightarrow \, B={\tan}^{-1} \left(\frac{22,6}{13,5}\right) \, \Leftrightarrow \, B \simeq 59º \, 8'\, 54' '\)

\(C=90º-B \, \Leftrightarrow \, C=90º-(59º \, 8'\, 54' ')=30º \, 51'\, 6' '\)

==Resolução de triângulos quaisquer==




[[Category:Matemática]]