Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Perímetro de uma circunferência, Rev. Ciência Elem., V2(3):324
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.324]

[editar] Definição

O perímetro de uma circunferência $\mathcal{C}$ de raio r é igual a $2\pi r$

[editar] Cálculo por aproximação e limite

O perímetro de uma circunferência $\mathcal{C}$ de raio r, pode ser calculado como limite dos perímetros de duas sequências de polígonos regulares, a primeira com polígonos regulares inscritos em $\mathcal{C}$ e a segunda com polígonos regulares circunscritos a $\mathcal{C}$, à medida que o número de lados n aumenta para $\infty$, como mostra o applet.

Figura 1

Seja $p_n$ o perímetro de um polígono regular com n lados, cada um com comprimento $a_n$, inscrito em $\mathcal{C}$, e $P_n$ o perímetro de um polígono regular com n lados, cada um com comprimento $b_n$, circunscrito a $\mathcal{C}$. Portanto, $p_n=n a_n$ e $P_n=n b_n$.

As figuras (ilustram o caso n = 7) permitem deduzir facilmente que $a_n= 2r\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}$ e que $b_n= 2R_n\sin\displaystyle\frac{\pi}{n}$, onde $R_n=CA'$ é o raio do polígono circunscrito, atendendo a que o triângulo ACE é retângulo

É claro que

• $\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=r$
• a sucessão de perímetros $(p_n)_n$ é crescente
• a sucessão de perímetros $(P_n)_n$ é decrescente
• $p_n\leq P_n$

Assim ambos os limites $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n$ e $\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_n$ existam e são iguais:

De facto, usando o limite conhecido $\displaystyle\lim_{x\to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1$, podemos provar que os limites acima referidos são ambos iguais a $2\pi r$, como seria de esperar.