Referência : Faraco, T. A., Aguiar, A. M., Teixeira, F. O., (2021) Ondas Eletromagnéticas no vácuo, Rev. Ciência Elem., V9(2):048
Autor: Thales A. Faraco, Aruã M. de Aguiar e Franciele O. Teixeira
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.048]

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Durante o século XIX, os fenômenos clássicos relacionados à eletricidade e ao magnetismo foram estudados por vários físicos. Em 1864, James Maxwell estabeleceu conexões entre essas pesquisas anteriores e formulou uma elegante teoria, na qual fenômenos elétricos e magnéticos foram unificados.

Maxwell demonstrou que a força de Lorentz, juntamente com outras quatro equações compõe as relações fundamentais do eletromagnetismo clássico e descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos. Essas quatro equações são conhecidas atualmente como Equações de Maxwell e relacionam os vetores campo elétrico $\vec{E}$ e magnético $\vec{B}$ entre si e com as suas fontes.

Além disso, Maxwell generalizou a Lei de Ampère e previu a existência de ondas eletromagnéticas, que foram confirmadas experimentalmente anos mais tarde por Hertz (1888).

A Força de Lorentz é expressa pela seguinte relação:

$\vec{F}=q\left ( \vec{E}+\vec{v}\times \vec{B} \right )$ (1)

onde $q$ é a carga elétrica e $\vec{v}$ a velocidade dessa carga.

Equações de Maxwell

A seguir, estão representadas as Equações de Maxwell no vácuo em seu formalismo integral, onde $q$ é a carga elétrica, $I_{c}$ a corrente de condução, $\epsilon_{0}$ a permissividade elétrica do vácuo e $\mu_{0}$ a permeabilidade magnética do vácuo.

$\oint_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{\epsilon_{0} }$ (Lei de Coulomb-Gauss-Maxwell) (2A)

$\oint_{s}^{}\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$ (Lei de Gauss-Maxwell) (2B)

$\oint_{c}^{}\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{B}\cdot d\vec{S}$ (Lei de Faraday-Lenz-Maxwell) (2C)

$\oint_{c}^{}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}I_{c}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S}$ (Lei de Ampère-Maxwell) (2D)

O termo acrescentado por Maxwell à Lei de Ampère, chamado de Corrente de Deslocamento $\left ( I_{d}=\epsilon _{0}\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S} \right )$, generalizou essa lei, a qual só era válida para processos estacionários.

As Equações de Maxwell também podem ser expressas no formalismo diferencial (utilizando os Teoremas da Divergência e de Stokes), onde $\rho$ é a densidade de carga e $\vec{J}$ a densidade de corrente.

$\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon _{0}}$ (3A)

$\nabla \cdot \vec{B}=0$ (3B)

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (3C)

$\nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ (3D)

De maneira resumida, pode-se enunciar as Equações de Maxwell da seguinte forma:

• Lei Coulomb-Gauss-Maxwell: Cargas elétricas geram campos elétricos.
• Lei de Gauss-Maxwell: Inexistência de monopolos magnéticos.
• Lei de Faraday-Lenz-Maxwell: Fluxo magnético variável no tempo gera campo elétrico circulante e, por consequência, uma força eletromotriz e uma corrente elétrica induzida. O sentido dessa corrente induzida é tal que se opõe a variação do fluxo que lhe deu origem.
• Lei de Ampère-Maxwell: Corrente elétrica e fluxo elétrico variável no tempo geram campo magnético circulante.

Equação de Onda

Mostra-se, agora, que as Equações de Maxwell levam, inevitavelmente, à existência das ondas eletromagnéticas.

Para começar, supõe-se uma região no vácuo onde as fontes (cargas e correntes) estejam muito distantes, ou seja, $\rho = 0$ e $J = 0$. Assim, as Equações de Maxwell no formato diferencial passam a ser escritas como:

$\nabla \cdot \vec{E}=0$ (4A)

$\nabla \cdot \vec{B}=0$ (4B)

$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ (4C)

$\nabla \times \vec{B}=-\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ (4D)

Para desacoplar as Equações de Maxwell, utiliza-se a seguinte identidade do cálculo vetorial para o vetor campo elétrico $\vec{E}$:

$\nabla \times \left ( \nabla \times \vec{E} \right )=\nabla \left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )-\nabla ^{2}\vec{E}$ (5)

Então, substituindo as equações 4A e 4C em 5, obtém-se:

$\nabla \times \left ( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right )=\nabla \left ( 0 \right )-\nabla ^{2}\vec{E}$

$-\frac{\partial \left ( \nabla \times \vec{B} \right )}{\partial t}=-\nabla ^{2}\vec{E}$ (6)

Substituindo, agora, a equação 4D em 6, tem-se:

$\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\nabla ^{2}\vec{E}$

$\nabla ^{2}\vec{E}=\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial ^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}$ (7)

De maneira similar, pode-se mostrar que:

$\nabla ^{2}\vec{B}=\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial ^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}$ (8)

Assim, cada componente dos campos elétrico e magnético satisfaz a equação de onda tridimensional:

$\nabla ^{2}f=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}$ (9)

Esse resultado levou Maxwell a perceber que a luz era uma onda eletromagnética e também que as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade da luz nesse meio:

$v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon _{0}}}=c=3\times 10^{8}m/s$ (10)

Vale salientar que a luz, assim como as demais ondas eletromagnéticas (ondas de rádio, microondas...) possuem as seguintes características em comum:

• São transversais ($\vec{E}$ e $\vec{B}$ são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda);
• A razão entre o módulo de $\vec{E}$ e $\vec{B}$ é constante ($E = cB$);
• A onda se desloca no vácuo com velocidade definida e invariável;
• Diferentemente das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não necessitam de meio material para se propagarem.

Equação da Continuidade

A Equação da Continuidade é um outro resultado interessante que pode ser obtido a partir das Equações de Maxwell.

Tomando a derivada temporal da equação 3A, obtém-se:

$\frac{\partial }{\partial t}\left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )=\frac{1}{\epsilon _{0}}\frac{\partial \rho}{\partial t}$ (11)

Utilizando a seguinte identidade do cálculo vetorial para o vetor campo magnético $\vec{B}$:

$\nabla \cdot \left ( \nabla \times \vec{B} \right )=0$ (12)

juntamente com a equação 3D, tem-se:

$\mu_{0}\nabla \cdot \vec{J}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )=0$ (13)

Substituindo a equação 11 em 13, obtém-se:

$\nabla \cdot \vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$,

Essa é a Equação da Continuidade e está associada a conservação da carga elétrica.

[editar] Referências

1. GRIFFITHS, D., Eletrodinâmica, São Paulo: Pearson Education, 3 ed.. 2010.
2. HALLIDAY, D. et al. Fundamentos de Física 3: Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: Editora LTC, 10 ed.. 2016.

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Criada em 26 de Maio de 2020
Revista em 28 de Maio de 2020
Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2021