Números de Fibonacci

Da WikiCiências
Share/Save/Bookmark
Ir para: navegação, pesquisa

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Números de Fibonacci, Rev. Ciência Elem., V7(2):018
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.018]
PDF Download


Índice


Números de Fibonacci

Os números de Fibonacci são números inteiros definidos pela fórmula de recorrência seguinte:

\(F(0)=1, \ \ F(1)=1, \ \ F(n+2)=F(n+1)+F(n), \ \ \forall n=2,3,...\)

A partir do terceiro, cada número é pois igual à soma dos dois imediatamente anteriores. Clique no play do applet para gerar os sucessivos números de Fibonacci.

É interessante notar que a sucessão \(\displaystyle\frac{F(n)}{F(n-1)}\) converge para um limite \(\Phi\) que é o chamado número de ouro.

Figura 1 - Números de Fibonacci
Foram criados pelo matemático italiano Fibonacci como um modelo simplificado do crescimento de uma população de coelhos.

Neste modelo:

\(F(n)=\mbox{número total de pares de coelhos no ano}\ \ n\)

O processo inicia-se no ano \(n=0\) com um único par de coelhos jovens. Ao fim de cada ano, cada par dá origem a um novo par de descendentes. No entanto, cada par necessita de um ano para procriar o seu par de descendentes.

Fórmula de Binet

É possível mostrar a seguinte fórmula, chamada fórmula de Binet

\( F(n)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n- \left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) \)



Algoritmos em \(\mathcal{PYTHON}\)

Apresentamos em seguida dois procedimentos em \(\mathcal{Python}\) para a obtenção de qualquer número da sequência de números de Fibonacci, um deles um algoritmo recursivo e o outro um algoritmo iterativo.


Algoritmo recursivo para números de Fibonacci


Algoritmo recursivo.png
              Algoritmo iterativo para números de Fibonacci


Algoritmo iterativo.png


Depois de uma das funções anteriores estar definida, quer seja a recursiva ou a iterativa, para obtermos, por exemplo, \(F(8)\) basta usarmos a instrução \(\mbox{fibonacci}(8)\).

No caso de querermos obter uma lista dos números de Fibonacci, e não só números isolados, podemos utilizar o procedimento abaixo descrito (em que o argumento da função \(\mbox{range}\) representa o número de números da sequência que queremos obter). No exemplo abaixo obtemos os dez primeiros números de Fibonacci.

Listafib.png



 



 



 




Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Fevereiro de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019