Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Número de ouro, Rev. Ciência Elem., V7(1):008
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.008]

Razão de ouro

As soluções são, aplicando a fórmula resolvente:

Sendo $x$ um comprimento só nos interessa a solução positiva que é:

Número de ouro

Se $\Phi$ representa o valor comum das duas fracções que surgem na proporção divina, qual o valor de $\Phi$?
Por definição $\displaystyle\Phi=\frac{\hbox{segmento total}}{ \hbox{parte maior}}=\frac{\hbox{parte maior}}{\hbox{parte mais pequena}} = \frac{\ell}{x}$ e portanto, pelo que vimos no ponto anterior: $\displaystyle \Phi= \frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.6180339...$
O número $\Phi$ chama-se o número de ouro.

Como vimos, $x^2+\ell\, x-\ell^2=0$. Dividindo ambos os membros por $x^2$, $\left(x\ne 0\right)$, vemos que $\Phi$ é a solução positiva da equação em $\displaystyle X^2-X-1=0$. A outra solução é $\Psi \doteq \displaystyle \frac{1-\sqrt5}{2} = -\frac{1}{\Phi}$.
Concluindo, $\Phi$ satisfaz a igualdade $\Phi^2-\Phi-1=0$, logo, $\Phi^2=\Phi+1$ igualdade que desempenha um papel importante em muitas aplicações.

Como construir geometricamente o número de ouro?

Ver

• Número de ouro

Referências

Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:

1. Número de Ouro;
   
2. Números de Fibonacci.