Acontecimentos independentes
Referência : Martins, EGM, (2017) Acontecimentos independentes, Rev. Ciência Elem., V5(4):049
Autores: Maria Eugénia Graça Martins
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2017.049]
Resumo
De uma forma intuitiva somos levados a dizer que dois acontecimentos são independentes quando a realização de um deles não tem influência na realização do outro. Como avaliar esta influência? A Probabilidade condicional, um dos conceitos mais importantes da teoria da Probabilidade vai-nos permitir avaliar se, dados dois acontecimentos, a ocorrência de um deles condiciona, de alguma forma, a probabilidade de ocorrência do outro, conduzindo-nos, assim, à noção de independência entre acontecimentos.
Dados os acontecimentos A e B, com P(B)>0, diz-se que o acontecimento A é independente do acontecimento B, se a probabilidade de A se verificar é igual à probabilidade condicional de A se verificar, dado que B se verificou
ou seja, o facto de se saber que o acontecimento B se realizou, não altera a probabilidade de A se realizar.
Se o acontecimento A é independente do acontecimento B, então o acontecimento B é independente de A, se P(A)>0. Efetivamente, tendo em consideração a definição de probabilidade condicional, tem-se
Assim, os acontecimentos A e B, com P(A)xP(B)>0, são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade da ocorrência do outro, ou seja:
Repare-se que se alguma das condições anteriores se verifica, da definição de probabilidade condicional vem que
A igualdade anterior costuma ser utilizada para definir a independência entre acontecimentos, dizendo-se que:
Dois acontecimentos A e B são independentes se e só se
Esta definição de independência, embora não seja tão intuitiva, é a que é utilizada de um modo geral, não sendo necessário impor restrições aos valores de P(A) e P(B). Por exemplo se P(A)=0, como A∩B⊆A, vem P(A∩B)≤P(A) e A é independente de qualquer outro acontecimento.
As duas definições de independência são equivalentes desde que se exija que P(A)xP(B)>0.
Exemplo – Considere-se uma caixa que contém 6 fichas de duas cores diferentes, numeradas de 1 a 3, conforme a figura junta:
Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa.
- Qual a probabilidade de que seja uma ficha com o número 2? Uma vez que temos 6 fichas, das quais 2 têm o número 2, P(2)=P(retirar ficha com 2)=2/6=1/3
- Depois de retirar a ficha, verificou que era verde. Qual a
probabilidade de que tenha o número 2? Os
acontecimentos Número da ficha e Cor serão independentes?
Como agora temos a informação que a ficha é verde, pretende-se a probabilidade condicional de obter um 2,
sabendo que a ficha é verde, ou seja, P(2|cor verde)= \(\frac{P(cor\, verde\, e\, ter\, o\, 2)}{P(cor\,
verde)}=\frac{1/6}{3/6}=\frac{1}{3}\)
Então, P(2|cor verde)=P(2)
Se tivéssemos considerado qualquer dos outros números das fichas ou a cor amarela, obteríamos os mesmos
resultados, ou seja,
P(i|cor x)=P(i) para i=1, 2, 3 e x=amarela, verde donde concluímos que os acontecimentos Número da ficha e Cor são independentes.
Suponha agora que alterou a composição da caixa, de forma que agora tem 2 fichas verdes, numeradas de 1 a 2 e 4 fichas amarelas, numeradas de 1 a 4:
Retira-se, ao acaso, uma ficha da caixa.
- Qual a probabilidade de que seja uma ficha com o número 2? Uma vez que temos 6 fichas, das quais 2 têm o número 2, P(2)=P=2/6=1/3
- Depois de retirar a ficha, verificou que era verde. Qual a probabilidade de que tenha o número 2? Pensa que esta probabilidade é igual à calculada na alínea anterior? Os acontecimentos Número da ficha e Cor serão independentes? Como agora temos a informação que a ficha é verde, pretende-se a proba- bilidade condicional de obter um 2, sabendo que a ficha é verde, ou seja, P(2|cor verde)= \(\frac{P(cor\, verde\, e\, ter\, o\, 2)}{P(cor\, verde)}=\frac{1/6}{2/6}=\frac{1}{2}\) Repare-se que agora a informação adicional de que a ficha é verde, aumentou a probabilidade de a ficha ter o número 2. Agora os acontecimentos já não são independentes, pois P(2|cor verde)≠ P(2)
A independência de acontecimentos é uma propriedade que depende do modelo de Probabilidade que se introduziu no espaço de resultados, não sendo, portanto, uma propriedade dos acontecimentos. Consideremos o seguinte exemplo, adaptado de MURTEIRA ET AL (2012), página 82:
Dada uma moeda de um euro, não necessariamente “equilibrada” em que representamos por E a face Euro e N a face Nacional, consideremos o seguinte modelo de probabilidade para o fenómeno aleatório que consiste em verificar qual a face que fica voltada para cima após um lançamento da moeda
| Resultado | E | N |
| Probabilidade | p | 1-p |
com 0 ≤ p ≤ 1.
Considerem-se os acontecimentos
associados com três lançamentos independentes da moeda. Como
Pode-se mostrar que a igualdade P(A∩B)=P(A)P(B) só se verifica nos casos triviais p=0, p=1, e no caso simétrico, p=1/2. Assim, A e B podem ser ou não independentes, consoante a natureza da moeda, ou seja do valor de p que tenhamos considerado para o modelo de probabilidade anteriormente considerado.
Nota 1 – Dois acontecimentos não podem ser disjuntos (ou incompatíveis ou mutuamente exclusivos) e independentes, a não ser que um deles tenha probabilidade nula. Efetivamente se os acontecimentos A e B, com P(A)>0 e P(B)>0, são incompatíveis, não podem ser independentes, uma vez que P(A∩B)=P(∅)=0 e P(A)xP(B)>0, vindo P(A∩B)≠P(A)xP(B).
Nota 2 – É frequente fazer-se confusão com os conceitos de acontecimentos independentes e acontecimentos incompatíveis. No entanto estes conceitos exprimem relações completamente diferentes, na medida em que a incompatibilidade de acontecimentos é uma propriedade inerente aos acontecimentos, não sendo necessário ter definido nenhuma probabilidade, enquanto que a independência de acontecimentos depende do modelo de probabilidade que se tenha definido no espaço de resultados onde estão definidos os acontecimentos.
Referências
MURTEIRA, B. e ANTUNES, M., Probabilidades e Estatística, volume I., ISBN 978-972-592-355-9, Escolar Editora, 2012.
Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:
Criada em 6 de Dezembro de 2017
Revista em 6 de Dezembro de 2017
Aceite pelo editor em 6 de Dezembro de 2017
