Equações trigonométricas. Exemplos
Referência : Tavares, J., (2014) Equações trigonométricas. Exemplos, Rev. Ciência Elem., V2(1):116
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.116]
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Equações trigonométricas
São equações numéricas envolvendo funções trigonométricas.
Do tipo \(\sin x=\sin\alpha\)
| Considerando a aplicação ao lado podemos alterar a amplitude de \(\alpha\), movendo \(\qquad\)
o ponto P, e verificar as soluções deste tipo de equação para qualquer ângulo \(\alpha\). \(\qquad\) Facilmente se verifica que as soluções da equação \(\sin x=\sin\alpha\) são:
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Do tipo \(\cos x=\cos\alpha\)
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\(\quad\) Considerando a aplicação podemos alterar a amplitude de \(\alpha\), movendo o ponto P, \(\quad\) e verificar as soluções deste tipo de equação para qualquer ângulo \(\alpha\). \(\quad\) Facilmente se verifica que as soluções da equação \(\cos x=\cos\alpha\) são:
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Do tipo \(\tan x=\tan\alpha\)
| Considerando a aplicação ao lado podemos alterar a amplitude de \(\alpha\), movendo \(\qquad\)
o ponto P, e verificar as soluções deste tipo de equação para qualquer ângulo \(\alpha\). \(\qquad\) Facilmente se verifica que as soluções da equação \(\tan x=\tan\alpha\) são: \(\qquad\)
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Do tipo \(\sin x=\cos\alpha \,\) e \(\, \cos x=\sin\alpha\)
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\(\quad\) Considerando a aplicação podemos alterar a amplitude de \(\alpha\), movendo o ponto P, \(\quad\) e verificar as soluções deste tipo de equação para qualquer ângulo \(\alpha\). \(\quad\) Facilmente se observa na aplicação que: \(\quad\) \(\displaystyle \cos \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\quad \) e que \(\quad \displaystyle \sin \alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) \(\quad\) Portanto a resolução de uma equação do tipo \(\sin x=\cos\alpha\) é equivalente à resolução da equação \(\displaystyle\sin x=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\). Usando o referido num dos pontos anteriores as soluções são:
\(\quad\) Já a resolução de uma equação do tipo \(\cos x=\sin\alpha\) é equivalente à resolução da equação \(\displaystyle \cos x=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\). Usando o referido num dos pontos anteriores as soluções são:
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Exemplos
\(\triangleright \quad 2\sin x-1=0\)
O primeiro passo será simplificar a equação:
\(\displaystyle 2\sin x-1=0 \, \Leftrightarrow \, \sin x=\frac{1}{2}\)
A figura 1 esclarece o próximo passo: calcular as soluções da equação no intervalo \(\left[0,2\pi\right]\).
Uma dessas soluções é \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\) pois, \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\).
Outra solução é \(\displaystyle x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) pois, \(\displaystyle \sin \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\).
Considerando agora a periodicidade da função seno, de período \(2\pi\), temos então todas as soluções da equação inicial:
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad \) ou \(\quad \displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), 
com \( k \in \mathbb{Z}\).
\(\triangleright \quad \sin 3x=\sin x\)
Usando o que vimos anteriormente sobre equações do tipo \(\sin x=\sin\alpha\) esta equação resolve-se facilmente:
as soluções de \(\displaystyle \sin 3x=\sin x \quad \) são \(\quad 3x=x+2k\pi\quad \) ou \(\quad 3x=\pi-x+2k\pi\), com \( k \in \mathbb{Z}\), ou seja,
\(x=k\pi \quad \) ou \( \quad \displaystyle x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\), com \( k \in \mathbb{Z}\).
\(\triangleright \displaystyle \quad \cos 4x=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)\)
Mais uma vez podemos usar o que vimos anteriormente, neste caso sobre as equações do tipo \(\cos x=\sin\alpha\). Como já havíamos concluído \(\displaystyle \cos \alpha=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) portanto:
\(\displaystyle \cos \,4x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)\) ou seja, \(\displaystyle \cos \,4x=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)\) é equivalente a \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)\).
Ora, as soluções de\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)\quad \) são \(\quad \displaystyle \frac{\pi}{2}-4x=\frac{\pi}{5}-x+2k\pi \quad \) ou \(\quad \displaystyle \frac{\pi}{2}-4x=\pi-\left(\frac{\pi}{5}-x\right)+2k\pi\), com \( k \in \mathbb{Z}\), ou seja, obtemos todas as solução na forma:
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{10}-\frac{2k\pi}{3} \quad \) ou \(\quad \displaystyle x= -\frac{3\pi}{50} - \frac{2k\pi}{5}\), com \( k \in \mathbb{Z}\).
\(\triangleright \quad 2\cos 3x+\sqrt{2}=0 \, \) no intervalo \(\, \left]-\pi/4, \pi\right]\)
Começamos por simplificar a equação trigonométrica,
\(\displaystyle 2\cos 3x+\sqrt{2}=0 \, \Leftrightarrow \, \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
A figura 2 mostra as duas soluções da equação no intervalo \(\left]-2\pi, 2\pi\right[\) que são
\(\displaystyle 3x=-\frac{3\pi}{4} \,\mbox{e}\quad 3x=\frac{3\pi}{4}\), pois \(\displaystyle \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Assim, considerando a periodicidade da função cosseno, de período \(2\pi\), temos então todas as soluções da equação \(\displaystyle \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\displaystyle 3x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad \) ou \(\quad \displaystyle 3x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \), com \( k \in \mathbb{Z}\), ou seja,
\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3} \quad \) ou \(\quad \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}\), com \( k \in \mathbb{Z}\).
Como queremos apenas determinar as raízes da equação trigonométrica no intervalo \(\displaystyle \left]-\frac{\pi}{4}, \pi\right]\)) consideramos então alguns valores para \(k\):
para \(k=-1\), vem \(\quad \displaystyle x=-\frac{11\pi}{12} \) ou \(\quad \displaystyle x=-\frac{5\pi}{12} \qquad \), para \(\quad k=0\), \(\quad \displaystyle x=-\frac{\pi}{4} \) ou \(\quad \displaystyle x=\frac{\pi}{4} \qquad \), para \(\quad k=1\), \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{12} \) ou \(\quad \displaystyle x=\frac{11\pi}{12} \qquad \), e para \(\quad k=2\), \(\displaystyle x=\frac{13\pi}{12} \) ou \(\quad \displaystyle x=\frac{19\pi}{12}\)
Portanto, as soluções da equação trigonométrica inicial no intervalo \(\displaystyle \left]-\frac{\pi}{4}, \pi\right]\) são
\(\displaystyle x= \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12} \right\}\).
Criada em 09 de Novembro de 2012
Revista em 27 de Dezembro de 2012
Aceite pelo editor em 27 de Dezembro de 2012
