Arcos de circunferência
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Arcos de circunferência, Rev. Ciência Elem., V5(3):077
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.077]
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Definição
| Considere-se uma circunferência de centro em \(O\) e seja \(A\) um ponto fixo da mesma. Um ponto móvel \(M\), partindo de \(A\), pode percorrer a circunferência em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo.
Quando um ponto, partindo da posição \(A\), roda em torno do centro \(O\), acabando por ocupar a posição \(M\) diz-se que descreveu o arco \(AM\). Chamamos origem ao ponto \(A\) e extremidade ao ponto \(M\) do arco \(AM\). Assim, o arco é positivo (applet da esquerda) ou negativo (applet da direita), conforme o sentido da rotação que leva o ponto móvel da origem do arco à extremidade do arco seja positivo ou negativo. O ponto móvel pode descrever uma rotação em torno da origem \(O\) de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, descrevendo assim uma circunferência completa num dado sentido. Para além disso, como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se então arcos (positivos ou negativos) que podem exceder uma ou mais circunferências. |
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Portanto, a cada par ordenado \((A,M)\) de dois pontos pertencentes a uma dada circunferência de centro em \(O\), corresponde um ser geométrico múltiplo chamado arco trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva ponto móvel sobre a circunferência a ir do ponto \(A\) (origem) ao ponto \(M\) (extremidade), do arco considerado.
Medida dos arcos de circunferência
A medida de um arco orientado exprime-se por um número real positivo ou negativo consoante o arco seja descrito no sentido positivo ou sentido negativo. A escolha do arco unidade é arbitrária mas habitualmente consideram-se três sistemas de unidades que se definem em seguida.
Atenção: O comprimento de um arco e a sua amplitude são diferentes. Arcos com a mesma amplitude podem ter comprimentos diferentes.
Sistema sexagesimal
| No sistema sexagesimal a unidade fundamental é o grau de arco, ou simplesmente, grau, que é a 360ª parte da circunferência. O arco de circunferência de medida \(1º\) é homólogo de um ângulo ao centro de medida um grau.
Desta forma, a circunferência mede \(360º\), a semicircunferência mede \(180º\), o quadrante mede \(90º\) (equivalente a \(\frac{1}{4}\) da circunferência) e o octante mede \(45º\) (equivalente a \(\frac{1}{8}\) da circunferência). Os submúltiplos do grau de arco são: O minuto sexagesimal \(1'\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) de um grau, ou seja, 60 minutos é igual a 1 grau. O segundo sexagesimal \(1' '\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) de um um minuto e a \(\displaystyle \frac{1}{3600}\) de um grau , ou seja, 3600 segundos é igual a 1 grau. O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc. |
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Sistema centesimal
| No sistema sexagesimal a unidade fundamental é o grado de arco, ou simplesmente, grado, que é a 400ª parte da circunferência. O arco de circunferência de medida \(1^{g}\) é homólogo de um ângulo ao centro de medida um grado.
Desta forma, a circunferência mede \(400^{g}\), a semicircunferência mede \(200^{g}\), o quadrante mede \(100^{g}\) (equivalente a \(\frac{1}{4}\) da circunferência) e o octante mede \(50^{g}\) (equivalente a \(\frac{1}{8}\) da circunferência). Os submúltiplos do grado de arco são: O minuto centesimal \(1^{‵}\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) de um grado, ou seja, 60 minutos centesimais são 1 grado. O segundo centesimal \(1‶\) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{100}\) de um um minuto e a \(\displaystyle \frac{1}{10000}\) de um grado , ou seja, 10000 segundos centesimais são 1 grado. O décimo do segundo centesimal, o centésimo do segundo centesimal etc. |
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Sistema circular
Neste sistema a unidade fundamental é o radiano de arco, ou simplesmente, radiano, que é um arco que, retificado, é igual ao raio da circunferência em que foi descrito. Tal arco é homólogo de um ângulo ao centro de medida um radiano.
Uma vez que uma circunferência de raio \(r\) tem comprimento \(2\pi r\), resulta daqui que a circunferência contém exatamente \(2\pi\) vezes o radiano de arco. Portanto, o arco de circunferência mede \(2\pi \mbox{ rad}\), o arco de semicircunferência mede \(\pi \mbox{ rad}\), o arco de quadrante mede \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{ rad}\) (equivalente a \(\frac{1}{4}\) da circunferência) e o arco de octante mede \(\displaystyle \frac{\pi}{4} \mbox{ rad}\) (equivalente a \(\frac{1}{8}\) da circunferência).
Passagem de um sistema de unidades para outro
Consideremos um arco \(AM\) qualquer e designemos por \(s\), \(c\) e \(d\) as suas medidas nos sistemas sexagesinal, centesimal e circular, respetivamente. Necessitamos de estabelecer uma relação destas medidas com medidas já conhecidas, como por exemplo, a medida de um arco de semicircunferência, que é de \(180º\) no sistema sexagesimal, de \(200^{g}\) no centesimal e de \(\pi \mbox{ rad}\) no sistema circular. Como a razão entre grandezas da mesma espécie é o quociente das suas medidas relativamente a uma unidade comum, resulta que a razão entre o arco \(AM\) e a semicircunferência pode ser expressa pelos números \(\displaystyle \frac{s}{180}\), \(\displaystyle \frac{c}{200}\) ou por \(\displaystyle \frac{d}{\pi}\).
Como os três números anteriores são iguais então temos que:
| \[\quad \frac{s}{180}=\frac{c}{200}=\frac{d}{\pi} \quad\] |
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Esta relação permite-nos, conhecendo a medida de um arco de circunferência num dos sistemas, determinar a medida desse mesmo arco num dos outros dois sistemas de unidades.
Referências
- J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
Criada em 2 de Janeiro de 2013
Revista em 23 de Maio de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017
