Leis de Kepler

Referência : Araújo, M., (2014) Leis de Kepler, Rev. Ciência Elem., V2(1):104
Autor: Mariana de Araújo
Editor: Joaquim Agostinho Moreira
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.104]

---

As leis de Kepler constituem uma base para a descrição do movimento dos planetas em torno do Sol. Foram descobertas originalmente por Johannes Kepler pela análise dos dados observacionais de Tycho Brahe, relativos à posição de alguns planetas do Sistema Solar. Posteriormente, Isaac Newton mostrou que as leis de Kepler podem ser deduzidas a partir das leis da Mecânica e da Lei da Gravitação Universal, para um sistema de dois corpos sujeitos a uma força central em que um deles, o astro director, tem uma massa muito superior à do outro, o astro dirigido.

Lei das órbitas

A órbita do astro dirigido em torno do astro director é uma elipse, da qual o astro director ocupa um dos focos. Em geral num sistema de dois corpos estes orbitam em torno do seu centro de massa. No entanto, quando um dos corpos tem uma massa muito maior que o outro, o centro de massa do sistema praticamente coincide com o centro do corpo de maior massa, pelo que se pode considerar que este está parado, e que o outro orbita em torno dele. A lei das órbitas aplica-se a estes sistemas, como é o caso do Sistema Solar ou de satélites que orbitam em torno de um planeta.

Ilustração da lei das áreas. Como o intervalo de tempo decorrido entre A e A' é igual ao intervalo entre B e B', as áreas A₁ e A₂ são iguais.

Lei das áreas

O vector de posição de um corpo em relação ao astro director varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Esta lei é uma consequência da conservação do momento angular do astro dirigido que se encontra sob a acção de uma força central que aponta sempre para o centro do astro director. Como a área varrida por unidade de tempo é constante e o corpo não está sempre à mesma distância do astro director, a sua velocidade varia, sendo máxima quando a distância entre os dois corpos é mínima, e mínima quando a distância é máxima.

Lei dos Períodos

A razão entre o cubo do semi-eixo maior da órbita de um planeta e o quadrado do respectivo período é uma constante:

$\frac{T^2}{a^3} = K$

A constante K é chamada constante de Kepler e é igual para todos os corpos que orbitam em torno do mesmo astro.

Tabela 1: Cálculo da constante de Kepler para órbitas em torno do Sol. O erro é relativo a K = 1 ano²UA^-3 para a Terra.

Planeta	Período (anos)	Distância média ao Sol (UA)	Constante de Kepler	Erro relativo (%)
Mercúrio	0,24085	0,387	1,001	0,08
Vénus	0,61520	0,723	1,001	0,1
Terra	1,00000	1,000	1,000	-
Marte	1,88071	1,524	0,999	0,07
Júpiter	11,85654	5,203	0,9981	0,2
Saturno	29,44750	9,537	0,9997	0,03
Úrano	84,01697	19,191	0,9987	0,1
Neptuno	164,79124	30,069	0,9989	0,1

Tabela 2: Cálculo da constante de Kepler para órbitas em torno de Júpiter.

Satélite	Período (anos)	Distância média a Júpiter (UA)	Constante de Kepler
Io	4,843E-03	2,82E-03	1,04E+03
Europa	9,722E-03	4,49E-03	1,05E+03
Ganymede	1,959E-02	7,15E-03	1,05E+03
Callisto	4,569E-02	1,26E-02	1,05E+03

Referências

1. Kepler, J., New Astronomy, Cambridge University Press, 1993.

2. Feymnan, R., Leighton, R. & Sands, M., The Feynman Lectures on Physics, Vol,. 1, Addison-Wesley Publishing, 1963.

3. Feynman, R., Goodstein, J. & Goodstein, D., A lição esquecida de Feynman, Gradiva, 1997.

4. Copernicus, N., Kepler, J., Galilei, G., Newton, I., Einstein, A. & Hawking, S., On the Shoulders of Giants, Running Press, 2002.

---

Criada em 20 de Abril de 2010
Revista em 22 de Novembro de 2010
Aceite pelo editor em 06 de Dezembro de 2010