Referenciais
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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Referencial Cartesiano na reta
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Um referencial cartesiano (afim) numa reta \(r\), é definido por dois pontos distintos \(O,U\in r\). \(O\) diz-se a origem e \(U\) o ponto unidade do referencial. O vector \(\overrightarrow{OU}\) diz-se o vector unitário do referencial e define uma orientação na reta: positiva quando esta é percorrida de \(O\) para \(U\) e negativa no outro caso. |
O referencial \(\mathcal{R}=(O,U)\), permite estabelecer uma correspondência bijectiva entre os pontos da reta \(r\) e o conjunto dos números reais. De facto, dado um ponto qualquer \(A\in r\), o vector \(\overrightarrow{OA}\) é colinear com \(\overrightarrow{OU}\) e, por isso, existe um e só número real \(a\in\mathbb{R}\) tal que \(\overrightarrow{OA} =a\ \overrightarrow{OU} \). Este número \(a\) é a chamada coordenada (afim) de \(A\) relativamente ao referencial \(\mathcal{R}\). Em particular, a coordenada do ponto \(O\) é \(0\) e a coordenada do ponto \(U\) é \(1\) (veja o applet. Comece por seleccionar \(U\) e depois mova o ponto \(A\). A coordenada de \(A\) é o número \(a\) indicado no applet, aproximado às 3 casas decimais).
Referencial Cartesiano no plano
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Um referencial cartesiano (afim) no plano é um sistema constituído por 3 pontos \(O,I,J\) não colineares. \(O\) diz-se a origem do referencial. Osoutros dois pontos determinam duas retas orientadas, respetivamente pelos vectores \(\) e \(\). por duas retas orientadas (ou seja, dois eixos perpendiculares) - o eixo das abcissas ou eixo dos \(xx\) e o eixo das ordenadas ou eixo dos \(yy\). Ao ponto de intersecção dos dois eixos chamamos de origem.
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Um referencial cartesiano no plano é um sistema constituído por dois eixos orientados ortogonais (ou seja, dois eixos perpendiculares) - o eixo das abcissas ou eixo dos \(xx\) e o eixo das ordenadas ou eixo dos \(yy\). Ao ponto de intersecção dos dois eixos chamamos de origem.
Um referencial cartesiano no plano serve para estudar geometria plana com ajuda de álgebra, isto é, estudar Geometria Analítica em duas dimensões (2D).
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A cada ponto \(A\) do plano associamos, de forma unívoca, o par de coordenadas relativas a esse sistema de eixos (ou referencial). \[A \quad \longleftrightarrow \quad (x_A,y_A) \in \mathbb{R}^2\] \(x_A\) diz-se a abcissa e \(y_A\) a ordenada do ponto \(A\). Escrevemos então:
As figuras do plano, tais como, retas, curvas, polígonos, e outros lugares geométricos, podem então ser descritos por equações ou inequações nas variáveis \(x\) e \(y\), onde \(P(x,y)\) designa um ponto genérico desse lugar. |
Referencial Cartesiano no espaço
Um referencial cartesiano no espaço é um sistema constituído por três eixos orientados ortogonais (ou seja, três eixos perpendiculares entre si) - o eixo das abcissas, o eixo das ordenadas e o eixo das cotas ou eixo dos \(zz\).
Um referencial cartesiano no espaço serve para estudar geometria espacial com ajuda de álgebra, isto é, estudar Geometria Analítica em três dimensões (3D).
A cada ponto \(A\) do plano associamos, de forma unívoca, o terno de coordenadas relativas a esse sistema de eixos (ou referencial).
\[A \quad \longleftrightarrow \quad (x_A,y_A,z_A) \in \mathbb{R}^3\]
\(x_A\) diz-se a abcissa, \(y_A\) a ordenada e \(z_a\) a cota do ponto \(A\). Escrevemos então:
| \[A(x_A,y_A,z_A)\] |
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As figuras do espaço, tais como, retas, planos, curvas, superfícies, poliedros, e outros lugares geométricos, podem então ser descritos por equações ou inequações nas variáveis \(x\), \(y\) e \(z\), onde \(P(x,y,z)\) designa um ponto genérico desse lugar.
Quadrantes e Octantes
Os eixos de um referencial cartesiano dividem o plano em quatro partes aos quais chamamos de quadrantes, existe por isso quatro quadrantes. A figura seguinte ilustra esse divisão.
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Como se pode verificar pela figura ao lado, no \(1º\) e \(4º\) quadrantes as coordenadas têm o mesmo sinal, ou são ambas positivas (\(1ºQ\)) ou ambas negativas (\(4ºQ\)). Já no \(2º\) e \(3º\) quadrantes as coordenadas têm sinais diferentes, no \(2ºQ\) as abcissas são negativas e as ordenadas positivas já no \(3ºQ\) é o contrário. |
O espaço é também dividido em partes pelos eixos coordenados, às quais chamamos de octantes, existem assim oito octantes. A figura 4 ilustra essa divisão.
O sinal das coordenadas dos pontos em cada um dos octantes pode ser resumido na seguinte tabela:
| Octante | \((x,y,z)\) |
|---|---|
| \(1º\) | \((+,+,+)\) |
| \(2º\) | \((-,+,+)\) |
| \(3º\) | \((-,-,+)\) |
| \(4º\) | \((+,-,+)\) |
| \(5º\) | \((+,+,-)\) |
| \(6º\) | \((-,+,-)\) |
| \(7º\) | \((-,-,-)\) |
| \(8º\) | \((+,-,-)\) |
