Um referencial cartesiano (afim) numa reta \(r\), é definido por dois pontos distintos \(O,U\in r\). \(O\) diz-se a origem e \(U\) o ponto unidade do referencial. O vector \(\overrightarrow{OU}\) diz-se o vector unitário do referencial e define uma orientação na reta: positiva quando esta é percorrida de \(O\) para \(U\) e negativa no outro caso.

Um referencial cartesiano (afim) no plano é um sistema constituído por 3 pontos \(O,I,J\) não colineares. \(O\) diz-se a origem do referencial. Os outros dois pontos determinam duas retas orientadas, respetivamente pelos vectores \(\overrightarrow{OI}\) e \(\overrightarrow{OJ}\). A orientação de cada uma dessas retas é positiva quando são percorridas de \(O\) para \(I\) e de \(O\) para \(J\), respetivamente, e negativa nos outros casos.

Dado um ponto \(P\) do plano, por este ponto traçamos uma reta perpendicular a cada uma das retas orientadas. Encontramos assim os pontos \(A\) e \(B\), pontos de intersecção dessas retas com as retas orientadas (como se demonstra no applet). Estes pontos definem dois vetores, o vetor \(\overrightarrow{OA}\) colinear com \(\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OA}=x \, \overrightarrow{OI}\), \(x \in \mathbb{R}\), e o vetor \(\overrightarrow{OB}\) colinear com \(\overrightarrow{OJ}\), \(\overrightarrow{OB}=y \, \overrightarrow{OJ}\), com \(y \in \mathbb{R}\). Os números \(x\) e \(y\) são então as coordenadas do ponto \(P\) relativamente ao referencial \(\mathcal{R}=(O,I,J)\).

A cada ponto \(P\) do plano associamos, de forma unívoca, o par de coordenadas relativas a esse sistema de eixos (ou referencial).

\[P \quad \longleftrightarrow \quad (x,y) \in \mathbb{R}^2\]

\(x\) diz-se a abcissa e \(y\) a ordenada do ponto \(P\). Escrevemos então:

No applet comece por selecionar \(I\) e \(J\) e depois mova o ponto \(P\), as coordenadas de \(P\) são os números \(x\) e \(y\) indicados com aproximação às milésimas.

Um referencial cartesiano (afim) no espaço é um sistema constituído por 4 pontos \(O,I,J,K\) não colineares. \(O\) diz-se a origem do referencial. Os outros três pontos determinam três retas orientadas, respetivamente pelos vectores \(\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OJ}\) e \(\overrightarrow{OK}\). A orientação de cada uma dessas retas é positiva quando são percorridas de \(O\) para \(I\), de \(O\) para \(J\) e de \(O\) para \(K\), respetivamente, e negativa nos outros casos.

Dado um ponto \(P\) do espaço, por este ponto fazemos passar um plano perpendicular a cada uma das retas orientadas. Encontramos assim os pontos \(A\), \(B\) e \(C\), pontos de intersecção dos três planos com as retas orientadas. Estes pontos definem três vetores, o vetor \(\overrightarrow{OA}\) colinear com \(\overrightarrow{OI}\), \(\overrightarrow{OA}=x \, \overrightarrow{OI}\), \(x \in \mathbb{R}\), o vetor \(\overrightarrow{OB}\) colinear com \(\overrightarrow{OJ}\), \(\overrightarrow{OB}=y \, \overrightarrow{OJ}\), com \(y \in \mathbb{R}\) e o vetor \(\overrightarrow{OC}\) colinear com \(\overrightarrow{OK}\), \(\overrightarrow{OC}=z \, \overrightarrow{OK}\), com \(z \in \mathbb{R}\). Os números \(x\), \(y\) e \(z\) são então as coordenadas do ponto \(P\) relativamente ao referencial \(\mathcal{R}=(O,I,J,K)\).

A cada ponto \(P\) do espaço associamos, de forma unívoca, o terno de coordenadas relativas a esse sistema de eixos (ou referencial).

\[P \quad \longleftrightarrow \quad (x,y,z) \in \mathbb{R}^3\]

\(x\) diz-se a abcissa, \(y\) a ordenada e \(z\) a cota do ponto \(P\). Escrevemos então:

Como se pode verificar pela figura ao lado, no \(1º\) e \(4º\) quadrantes as coordenadas têm o mesmo sinal, ou são ambas positivas (\(1ºQ\)) ou ambas negativas (\(4ºQ\)). Já no \(2º\) e \(3º\) quadrantes as coordenadas têm sinais diferentes, no \(2ºQ\) as abcissas são negativas e as ordenadas positivas já no \(3ºQ\) é o contrário.