Diferenças entre edições de "Ângulos e Circunferências"
(→Ângulos ao centro) |
|||
(51 edições intermédias de 3 utilizadores não apresentadas) | |||
Linha 1: | Linha 1: | ||
− | <span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> | + | <span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Ângulos e Circunferências'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(3):078 |
<br> | <br> | ||
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | <span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br> | ||
− | <span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i> | + | <span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usuário:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br> |
− | + | <span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.078 https://doi.org/10.24927/rce2017.078]]</i></span><br> | |
+ | <html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-078.pdf" target="_blank"> | ||
+ | <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html> | ||
---- | ---- | ||
− | = | + | |
+ | =Ângulo ao centro= | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | | < | + | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nzweaxzx/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo ao centro''' é um dos ângulos formados por dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet. |
− | dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C(no exemplo, o arco AB). Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm,por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de | + | Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AB a vermelho). |
− | comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte | + | |
+ | Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? | ||
+ | |||
+ | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span> | ||
+ | |||
+ | '''Demonstração'''. Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm, por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte | ||
\(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\ | \(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\ | ||
Linha 18: | Linha 26: | ||
donde se conclui que | donde se conclui que | ||
− | a=2πrα2π=rα | + | \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle \frac{2\pi r \alpha}{2\pi}= \displaystyle r\alpha\) |
medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo). | medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo). | ||
|} | |} | ||
+ | =Ângulo do segmento= | ||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hsnpg3uz/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. O '''ângulo do segmento''' é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a C numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo BAC assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AMB a vermelho). | ||
− | + | Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? | |
− | + | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span> | |
+ | '''Demonstração'''. Seja OM o raio perpendicular à corda AB, intersectando-a no seu ponto médio. M é o ponto médio do arco AMB. A tangente AC a C em A, é perpendicular ao raio OA. Portanto, os ângulos MOA e BAC têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco AM é igual ao produto do raio r pela medida do ângulo ao centro MOA, em radianos. Daqui se conclui portanto que | ||
+ | arc AMB=2r ∠BAC | ||
+ | onde ∠BAC representa a medida (ou amplitude) do ângulo ∠BAC, em radianos, arc AMB o comprimento do arco AMB, e r é o raio da circunferência. | ||
+ | |} | ||
+ | =Ângulo inscrito= | ||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xhzbcs2a/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo inscrito''' é o ângulo formado por duas cordas de C, que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo BAC assinalado no applet, formado pelas duas cordas BA e CA. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco BC, a vermelho). | ||
+ | Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? | ||
+ | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span> | ||
+ | '''Demonstração'''. Consideremos a tangente AD à circunferência, no ponto A. Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo CAD, que subentende o arco AC, a verde, e o ângulo BAD, que subentende o arco BCA. Mas (veja o applet) | ||
+ | arc BC=arc BCA−arc CA | ||
− | ---- | + | Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que |
+ | |||
+ | arc BCA=2r ∠BAD e arc CA=2r ∠CAD | ||
+ | |||
+ | Portanto, | ||
+ | |||
+ | \(\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC \) | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | =Ângulo ex-inscrito= | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/adbthbv3/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo ex-inscrito''' é um ângulos formado por uma corda BA e pelo prologamento AD de uma outra corda CA, contígua à primeira. Por exemplo o ângulo α=BAD assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência C(no exemplo, o arco BA) a verde e o arco AC a cor de laranja. | ||
+ | |||
+ | Quando o ângulo ex-inscrito α é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? | ||
+ | |||
+ | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.''</span> | ||
+ | |||
+ | '''Demonstração'''. Do applet vemos que α=γ+δ. Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito γ é iguala a 12rarc AC. Análogamente, a medida do ângulo inscrito δ é igual a 12rarc AB, donde se conclui que | ||
+ | |||
+ | α=γ+δ=12r(arc AB+arc AC) | ||
+ | |||
+ | como se pretendia. | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | =Ângulos cujo vértice não pertence à circunferência= | ||
+ | |||
+ | ==Vértice interior== | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gezhvyhp/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas cordas que se intersectam num ponto A, interior à circunferência. O ângulo subentende o arco BC (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de α determinam o arco DE (a castanho no applet). | ||
+ | |||
+ | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.''</span> | ||
+ | |||
+ | '''Demonstração'''. Temos que α=β+γ (veja o applet). Mas | ||
+ | γ=12rarc BC, enquanto que | ||
+ | β=12rarc DE. | ||
+ | |||
+ | Somando, obtemos o que se pretende. | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | ==Vértice exterior== | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rzwvyrry/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto A, exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco BC (a verde no applet), e um menor, o arco DE (a azul no applet). | ||
+ | |||
+ | '''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.''</span> | ||
+ | |||
+ | '''Demonstração'''. Temos que β=α+γ (veja o applet), o que implica que α=β−γ. Mas | ||
+ | β=12rarc BC, enquanto que | ||
+ | γ=12rarc DE. | ||
+ | |||
+ | Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é | ||
+ | |||
+ | α=12r(arc BC−arc DE). | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Outras situações com tangência== | ||
+ | |||
+ | {| class="wikitable" | ||
+ | |- | ||
+ | | <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xnwpj9mx/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || | ||
+ | || <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/huaetpqv/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || || Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado. | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ---- <br>Criada em 21 de Dezembro de 2012<br> Revista em 21 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017<br> | ||
+ | [[Category:Matemática|Angulos_e_Circunferencias|Angulos e Circunferencias]] |
Edição actual desde as 09h33min de 14 de julho de 2021
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Ângulos e Circunferências, Rev. Ciência Elem., V5(3):078
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.078]
Índice[esconder] |
[editar] Ângulo ao centro
Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo ao centro é um dos ângulos formados por dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet.
Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AB a vermelho). Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm, por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte 2π⟷2πrα⟷a donde se conclui que a=arc AB=2πrα2π=rα medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo). |
[editar] Ângulo do segmento
Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. O ângulo do segmento é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a C numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo BAC assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AMB a vermelho).
Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Seja OM o raio perpendicular à corda AB, intersectando-a no seu ponto médio. M é o ponto médio do arco AMB. A tangente AC a C em A, é perpendicular ao raio OA. Portanto, os ângulos MOA e BAC têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco AM é igual ao produto do raio r pela medida do ângulo ao centro MOA, em radianos. Daqui se conclui portanto que arc AMB=2r ∠BAC onde ∠BAC representa a medida (ou amplitude) do ângulo ∠BAC, em radianos, arc AMB o comprimento do arco AMB, e r é o raio da circunferência. |
[editar] Ângulo inscrito
Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo inscrito é o ângulo formado por duas cordas de C, que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo BAC assinalado no applet, formado pelas duas cordas BA e CA. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco BC, a vermelho).
Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Consideremos a tangente AD à circunferência, no ponto A. Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo CAD, que subentende o arco AC, a verde, e o ângulo BAD, que subentende o arco BCA. Mas (veja o applet) arc BC=arc BCA−arc CA Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que arc BCA=2r ∠BAD e arc CA=2r ∠CAD Portanto, arc BC=2r (∠BAD− ∠CAD)=2r ∠BAC |
[editar] Ângulo ex-inscrito
Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo ex-inscrito é um ângulos formado por uma corda BA e pelo prologamento AD de uma outra corda CA, contígua à primeira. Por exemplo o ângulo α=BAD assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência C(no exemplo, o arco BA) a verde e o arco AC a cor de laranja.
Quando o ângulo ex-inscrito α é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Do applet vemos que α=γ+δ. Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito γ é iguala a 12rarc AC. Análogamente, a medida do ângulo inscrito δ é igual a 12rarc AB, donde se conclui que α=γ+δ=12r(arc AB+arc AC) como se pretendia. |
[editar] Ângulos cujo vértice não pertence à circunferência
[editar] Vértice interior
Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas cordas que se intersectam num ponto A, interior à circunferência. O ângulo subentende o arco BC (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de α determinam o arco DE (a castanho no applet).
Teorema: A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Temos que α=β+γ (veja o applet). Mas γ=12rarc BC, enquanto que β=12rarc DE. Somando, obtemos o que se pretende. |
[editar] Vértice exterior
Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto A, exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco BC (a verde no applet), e um menor, o arco DE (a azul no applet).
Teorema: A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Temos que β=α+γ (veja o applet), o que implica que α=β−γ. Mas β=12rarc BC, enquanto que γ=12rarc DE. Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é α=12r(arc BC−arc DE). |
[editar] Outras situações com tangência
Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado. |
Criada em 21 de Dezembro de 2012
Revista em 21 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017