Diferenças entre edições de "Ângulos e Circunferências"

Da WikiCiências
Share/Save/Bookmark
Ir para: navegação, pesquisa
(Ângulos ao centro)
 
(51 edições intermédias de 3 utilizadores não apresentadas)
Linha 1: Linha 1:
<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b><font color="#003600" >Não citável</font></span>  <span style="font-size:8pt"><font color="red">'''''Esta página ainda não foi aprovada.'''''</font></span>
+
<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) ''Ângulos e Circunferências'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(3):078
 
<br>
 
<br>
 
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
 
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>Colocar nome do editor</i></span>
+
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
 
+
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.078 https://doi.org/10.24927/rce2017.078]]</i></span><br>
 +
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-078.pdf" target="_blank">
 +
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
 
----
 
----
=Ângulos ao centro=
+
 
 +
=Ângulo ao centro=
  
 
{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 
|-  
 
|-  
| <ggb_applet height="250" width="270"   showResetIcon="true" filename="Angulos1.ggb" />  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo ao centro''' é um dos ângulos formados por
+
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/nzweaxzx/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo ao centro''' é um dos ângulos formados por dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet.  
dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C(no exemplo, o arco AB). Quando o ângulo ao centro  é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm,por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de  
+
Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AB a vermelho).  
comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte
+
 
 +
Quando o ângulo ao centro  é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?  
 +
 
 +
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span>   
 +
 
 +
'''Demonstração'''.  Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm, por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte
  
 
\(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\
 
\(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\
Linha 18: Linha 26:
 
donde se conclui que
 
donde se conclui que
  
a=2πrα2π=rα
+
\(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle \frac{2\pi r \alpha}{2\pi}= \displaystyle r\alpha\)
  
 
medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo).
 
medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo).
 
|}
 
|}
  
 +
=Ângulo do segmento=
  
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/hsnpg3uz/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. O '''ângulo do segmento''' é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a C numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo BAC assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C  (no exemplo, o arco AMB a vermelho).
  
   
+
Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?
  
+
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span>   
  
 +
'''Demonstração'''. Seja OM o raio perpendicular à corda AB, intersectando-a no seu ponto médio. M é o ponto médio do arco AMB. A tangente AC a C em A, é perpendicular ao raio OA. Portanto, os ângulos MOA e BAC têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco AM é igual ao produto do raio r pela medida do ângulo ao centro MOA, em radianos. Daqui se conclui portanto que
  
 +
arc AMB=2r BAC
  
 +
onde BAC representa a medida (ou amplitude) do ângulo BAC,  em radianos, arc AMB  o  comprimento do arco AMB, e r é o raio da circunferência.
 +
|}
  
 +
=Ângulo inscrito=
  
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xhzbcs2a/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo inscrito''' é o ângulo formado  por duas cordas de C, que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo BAC assinalado no applet, formado pelas duas cordas BA e CA. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco BC, a vermelho).
  
 +
Quando o ângulo inscrito  é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?
  
 +
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.''</span>   
  
 +
'''Demonstração'''. Consideremos a tangente AD à circunferência, no ponto A. Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo  CAD, que subentende o arco  AC, a verde, e o  ângulo  BAD, que subentende o arco  BCA. Mas (veja o applet)
  
 +
arc BC=arc BCAarc CA
  
----
+
Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que
 +
 
 +
arc BCA=2r BAD e arc CA=2r CAD
 +
 
 +
Portanto,
 +
 
 +
\(\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC \)
 +
 
 +
|}
 +
 
 +
=Ângulo ex-inscrito=
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-  
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/adbthbv3/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; || Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um '''ângulo ex-inscrito''' é um  ângulos formado por uma corda BA  e pelo prologamento AD de uma outra corda CA, contígua à primeira. Por exemplo o ângulo α=BAD assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência C(no exemplo, o arco BA) a verde e o arco AC a cor de laranja. 
 +
 
 +
Quando o ângulo ex-inscrito α  é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?
 +
 
 +
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.''</span>   
 +
 
 +
'''Demonstração'''. Do applet vemos que α=γ+δ. Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito γ é iguala a 12rarc AC. Análogamente,  a medida do ângulo inscrito δ é igual  a 12rarc AB, donde se conclui que
 +
 
 +
α=γ+δ=12r(arc AB+arc AC)
 +
 
 +
como se pretendia.
 +
|}
 +
 
 +
=Ângulos cujo vértice não pertence à circunferência=
 +
 
 +
==Vértice interior==
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gezhvyhp/width/270/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="270px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ||  Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas cordas que se intersectam num ponto A, interior à circunferência. O ângulo subentende o arco BC (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de α determinam o arco DE (a castanho no applet).
 +
 
 +
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.''</span>   
 +
 
 +
'''Demonstração'''. Temos que α=β+γ (veja o applet). Mas
 +
γ=12rarc BC, enquanto que
 +
β=12rarc DE.
 +
 
 +
Somando, obtemos o que se pretende.
 +
|}
 +
 
 +
==Vértice exterior==
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/rzwvyrry/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ||  Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto A, exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco BC (a verde no applet), e um menor, o arco DE (a azul no applet).
 +
 
 +
'''Teorema:''' <span style="color:red">''A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.''</span>   
 +
 
 +
'''Demonstração'''. Temos que β=α+γ (veja o applet), o que implica que α=βγ. Mas
 +
β=12rarc BC, enquanto que
 +
γ=12rarc DE.
 +
 
 +
Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é
 +
 
 +
α=12r(arc BCarc DE).
 +
 
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
==Outras situações com tangência==
 +
 
 +
{| class="wikitable"
 +
|-
 +
| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/xnwpj9mx/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html>  ||
 +
|| <html><iframe scrolling="no" title="Ângulos e Circunferências" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/huaetpqv/width/300/height/250/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="300px" height="250px" style="border:0px;"> </iframe></html> || &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; ||  Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os  resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado.   
 +
 
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
---- <br>Criada em 21 de Dezembro de 2012<br> Revista em 21 de Janeiro de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017<br>
 +
[[Category:Matemática|Angulos_e_Circunferencias|Angulos e Circunferencias]]

Edição actual desde as 09h33min de 14 de julho de 2021

Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Ângulos e Circunferências, Rev. Ciência Elem., V5(3):078
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.078]
PDF Download


Índice

 [esconder

[editar] Ângulo ao centro

                Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo ao centro é um dos ângulos formados por dois raios de C. Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet.

Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AB a vermelho).

Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Como o ângulo de uma volta inteira (=2π rad) subentende o perímetro total da circunferência (=2πr, cm, por exemplo), então o ângulo ao centro α subentende um arco de comprimento a, dado pela regra de três simples seguinte

2π2πrαa

donde se conclui que

a=arc AB=2πrα2π=rα

medido na mesma unidade em que se mede o raio r (cm, por exemplo).

[editar] Ângulo do segmento

                Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. O ângulo do segmento é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a C numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo BAC assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco AMB a vermelho).

Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Seja OM o raio perpendicular à corda AB, intersectando-a no seu ponto médio. M é o ponto médio do arco AMB. A tangente AC a C em A, é perpendicular ao raio OA. Portanto, os ângulos MOA e BAC têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco AM é igual ao produto do raio r pela medida do ângulo ao centro MOA, em radianos. Daqui se conclui portanto que

arc AMB=2r BAC

onde BAC representa a medida (ou amplitude) do ângulo BAC, em radianos, arc AMB o comprimento do arco AMB, e r é o raio da circunferência.

[editar] Ângulo inscrito

                Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo inscrito é o ângulo formado por duas cordas de C, que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo BAC assinalado no applet, formado pelas duas cordas BA e CA. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência C (no exemplo, o arco BC, a vermelho).

Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Consideremos a tangente AD à circunferência, no ponto A. Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo CAD, que subentende o arco AC, a verde, e o ângulo BAD, que subentende o arco BCA. Mas (veja o applet)

arc BC=arc BCAarc CA

Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que

arc BCA=2r BAD e arc CA=2r CAD

Portanto,

arc BC=2r (BAD CAD)=2r BAC

[editar] Ângulo ex-inscrito

                Seja C uma circunferência de raio r>0, centrada num ponto O. Um ângulo ex-inscrito é um ângulos formado por uma corda BA e pelo prologamento AD de uma outra corda CA, contígua à primeira. Por exemplo o ângulo α=BAD assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência C(no exemplo, o arco BA) a verde e o arco AC a cor de laranja.

Quando o ângulo ex-inscrito α é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Do applet vemos que α=γ+δ. Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito γ é iguala a 12rarc AC. Análogamente, a medida do ângulo inscrito δ é igual a 12rarc AB, donde se conclui que

α=γ+δ=12r(arc AB+arc AC)

como se pretendia.

[editar] Ângulos cujo vértice não pertence à circunferência

[editar] Vértice interior

                Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas cordas que se intersectam num ponto A, interior à circunferência. O ângulo subentende o arco BC (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de α determinam o arco DE (a castanho no applet).

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que α=β+γ (veja o applet). Mas γ=12rarc BC, enquanto que β=12rarc DE.

Somando, obtemos o que se pretende.

[editar] Vértice exterior

                Consideremos o ângulo α=BAC, determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto A, exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco BC (a verde no applet), e um menor, o arco DE (a azul no applet).

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo α=BAC é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que β=α+γ (veja o applet), o que implica que α=βγ. Mas β=12rarc BC, enquanto que γ=12rarc DE.

Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é

α=12r(arc BCarc DE).


[editar] Outras situações com tangência

                Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado.




Criada em 21 de Dezembro de 2012
Revista em 21 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017