Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(AB\) a vermelho).

Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Como o ângulo de uma volta inteira (\(=2\pi\) rad) subentende o perímetro total da circunferência (\(=2\pi r\), cm, por exemplo), então o ângulo ao centro \(\alpha\) subentende um arco de comprimento \(a\), dado pela regra de três simples seguinte

\(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\ \alpha & \longleftrightarrow & a \end{array}\)

donde se conclui que

\(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle \frac{2\pi r \alpha}{2\pi}= \displaystyle r\alpha\)

medido na mesma unidade em que se mede o raio \(r\) (cm, por exemplo).

Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Seja \(OM\) o raio perpendicular à corda \(AB\), intersectando-a no seu ponto médio. \(M\) é o ponto médio do arco \(AMB\). A tangente \(AC\) a \(\mathcal{C}\) em \(A\), é perpendicular ao raio \(OA\). Portanto, os ângulos \(MOA\) e \(BAC\) têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco \(AM\) é igual ao produto do raio \(r\) pela medida do ângulo ao centro \(MOA\), em radianos. Daqui se conclui portanto que

\(\displaystyle \mbox{arc}\ AMB =2 r\ \angle BAC \)

onde \(\angle BAC\) representa a medida (ou amplitude) do ângulo \(\angle BAC\), em radianos, \(\mbox{arc}\ AMB\) o comprimento do arco \(AMB\), e \(r\) é o raio da circunferência.

Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência.

Demonstração. Consideremos a tangente \(AD\) à circunferência, no ponto \(A\). Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo \(CAD\), que subentende o arco \(AC\), a verde, e o ângulo \(BAD\), que subentende o arco \(BCA\). Mas (veja o applet)

\(\mbox{arc}\ BC=\mbox{arc}\ BCA - \mbox{arc}\ CA \)

Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que

\(\mbox{arc}\ BCA =2 r\ \angle BAD\) e \(\mbox{arc}\ CA =2 r\ \angle CAD\)

Portanto,

\(\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC \)

Quando o ângulo ex-inscrito \(\alpha\) é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido?

Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Do applet vemos que \(\alpha=\gamma+\delta\). Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito \(\gamma\) é iguala a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AC\). Análogamente, a medida do ângulo inscrito \(\delta\) é igual a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AB\), donde se conclui que

\(\alpha= \gamma+\delta =\displaystyle \frac{1}{2r}\left(\mbox{arc}\ AB+\mbox{arc}\ AC\right) \)

como se pretendia.

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que \(\alpha=\beta+\gamma\) (veja o applet). Mas \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\).

Somando, obtemos o que se pretende.

Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência.

Demonstração. Temos que \(\beta=\alpha+\gamma\) (veja o applet), o que implica que \(\alpha=\beta-\gamma\). Mas \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\).

Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é

\(\alpha= \displaystyle\frac{1}{2r} \left(\mbox{arc} \ BC -\mbox{arc} \ DE \right)\).