Mostrar código-fonte de Progressão geométrica

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2014) Progressão geométrica, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V2(4):319
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<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2014.319 http://doi.org/10.24927/rce2014.319]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2014-319.pdf" target="_blank">
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Uma '''progressão geométrica''' é uma [[Sucessão|sucessão]] de [[Números reais|números reais]] \( u_n \), não nulos, em que cada termo é obtido do anterior multiplicando-o por um número real fixo a que se chama  '''razão''':
\(u_1, \quad u_2=u_1\cdot r,\quad u_3=u_2\cdot r, \, \cdots \, u_n=u_{n-1} \cdot r, \, \cdots\)

Por outras palavras, uma sucessão \( \left(u_n \right)\), de números reais  não nulos, é uma progressão geomética se e só se a razão (ou quociente) entre dois termos consecutivos é constante. Esta constante \(r , r\neq 0\), é  a '''razão''':

\(\displaystyle  \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{u_4}{u_3}= \cdots = \frac{u_{n+1}}{u_n} = \cdots = r\)

Isto é, cada termo é a [[Média_geométrica|média geométrica]] dos dois termos vizinhos imediatos:

\(u_2=\pm\sqrt{u_1\cdot u_3}, \quad u_3 =\pm\sqrt{u_2\cdot  u_4}, \quad u_4=\pm\sqrt{u_3\cdot u_5}, \cdots ,\quad u_{n}=\pm\sqrt{u_{n-1}\cdot u_{n+1}} , \cdots \)


'''Exemplos:'''

* \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots\) é a progressão geométrica de razão \(\displaystyle r = \frac{1}{2} < 1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = \frac{1}{2}\).

* \(1, -1, 1, -1 , \cdots, (-1)^{n-1} \cdots \) é a progressão geométrica de razão \(\displaystyle r = -1 \quad {\rm{e}} \quad u_{1} = 1 \).


Como se calcula a soma dos n primeiros termos de  uma  progressão geométrica  de razão \( r\neq 1 \)?

Seja  \(S_n=u_1+u_2+u_3+ \cdots +u_{n-1} + u_n\) a soma pretendida. 

Note que:

\(\begin{array}{lll}
u_1&=&u_1\\
u_2&=&u_1\cdot r\\
u_3 &=& u_2\cdot r = u_1 \cdot  r^2\\
\vdots & & \vdots \\
u_n &=& u_{n-1}\cdot r = u_1 \cdot  r^{n-1}\\
\end{array}\)

Consideremos agora a soma  \(S_n\):

\(\begin{array}{lll}
S_n&=& u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{n-1}   +   u_n \\
&=& u_1+ru_1+r^2u_1+\cdots+r^{n-1}u_1\\
&=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1})
\end{array}\)
 
Multipliquemos ambos os membros por \(r\):

\(rS_n=u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n})\)
 
e,finalmente, subtraíamos membro a membro, para obter:

\(\begin{array}{lll}
S_n-rS_n&=& u_1(1+r +r^2 +\cdots+r^{n-1}) -u_1(r+r^2 +r^3 +\cdots+r^{n}) \\
&=& u_1(1-r^n)
\end{array}\)
 
Portanto, se \(r\neq 1\), vem finalmente que:

\(\displaystyle S_n= u_1\cdot\frac{1-r^n}{1-r}\).

'''Nota'''
* Clicando em [[Ficheiro:Play.png]] a aplicação Geogebra cálcula a soma em exemplos com \(u_1\) e  \(r\)  variáveis.

<html><iframe scrolling="no" src="https://tube.geogebra.org/material/iframe/id/805955/width/700/height/300/border/888888/rc/false/ai/false/sdz/true/smb/false/stb/false/stbh/true/ld/false/sri/true/at/auto" width="700px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe></html>

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'''Exemplo'''

A soma dos \(n\) primeiros termos da progressão geométrica  \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \cdots , \frac{1}{2^n}, \cdots\), é \(\displaystyle S_n= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2} \right)^n}{1-\frac{1}{2}} = 1- \left(\frac{1}{2} \right)^n \)

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'''Nota'''

* Se considerarmos \(r = 0\), obtemos a sucessão em que \(u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots = 0\), que se pode considerar uma '''progressão geométrica''' degenerada. A soma dos \(n\) primeiros termos da respectiva sucessão é \(S = u_{1}\).

* Se considerarmos \(r = 1\), obtemos a sucessão constante em que \(u_{1} = u_{2} = \cdots = u_{n} = \cdots \), que é uma [[Progressão aritmética|progressão aritmética]] de razão nula. A soma dos \(n\) primeiros termos da respectiva sucessão é \(S = nu_{1}\). 

* Notemos que se \(|r| \leq 1 \quad \displaystyle \lim_{n\to + \infty}r^n = 0\) pelo que \(\displaystyle \lim_{n\to + \infty}S_n= \frac{u_1}{1-r}\)

== Ver ==
* [[Sucessão]]

* [[Sucessão convergente]]

* [[Série geométrica]]

---- <br>Criada em 14 de Janeiro de 2010<br> Revista em 16 de Maio de 2012<br> Aceite pelo editor em 16 de Maio de 2012<br>

[[Category:Matemática]]