Mostrar código-fonte de Polarização elétrica e magnetização

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Lage, E., (2023) ''Polarização elétrica e magnetização.'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V11(3):013
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Eduardo Lage</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2023.013 https://doi.org/10.24927/rce2023.013]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2023-013.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

A matéria é feita de átomos e moléculas com cargas e correntes que interagem com campos elétricos ou magnéticos e originando, por sua vez, campos que se sobrepõem aos aplicados, determinando o campo total. A polarização elétrica e a magnetização são grandezas estatísticas construídas a partir de modelos atómicos e que ajudam a caracterizar as propriedades dos meios que, nos casos mais simples, respondem linearmente aos campos aplicados. As equações de Maxwell são modificadas ao incorporarem aquelas grandezas, focando-se apenas nas cargas e correntes livres controladas nas experiências. Assim modificadas, as novas equações de campo ainda possibilitam a formulação de leis gerais de conservação da energia e do momento associadas, agora, apenas ao trabalho e força exercidos sobre as cargas e correntes livres.




<html>
 <p class='mainText'><strong>Polarização.</strong></p>

  <p class='mainText'>Um meio polarizável é uma substância constituída por átomos ou moléculas que apresentam
um alinhamento dos seus dipolos elétricos, seja espontaneamente (piroelétricos, <em>e.g.</em>, turmalina,
GaNiO, KH<sub>2</sub>PO<sub>4</sub>), abaixo de uma temperatura crítica, seja por ação de um campo elétrico
exterior (moléculas apolares, <em>e.g.</em>, O<sub>2</sub>, H<sub>2</sub>, ou polares, <em>e.g.</em>, H2O). Dessa forma, originam um campo
elétrico macroscópico que se adiciona ao aplicado para definir um campo total o qual contribui
para o alinhamento microscópico. A polarização elétrica, \(\vec{P}\), é a média sobre um pequeno volume
\(\delta V\) desses momentos dipolares:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{P}\left ( \vec{r} \right )\delta V=\sum_{i}^{}\vec{p}_i\) (11)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\delta V\) deve entender-se como um volume macroscopicamente pequeno, centrado em
⃗\(\vec{r}\), mas que contém um número muito elevado de dipolos para se poderem ignorar as flutuações
estatísticas na soma dos dipolos nele contidos (segundo membro da equação (1)).
Imaginando cada dipolo como sendo ideal (<em>i.e.</em>, duas cargas \(\pm q\) separadas por \(\vec{\delta}\)
de modo que \(\vec{p}=q\vec{\delta}\)), é fácil concluir que aparece carga (dita de polarização) na superfície que separa
dois meios diferentes (FIGURA 1).</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-01.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 1. Polarização e cargas superficiais.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Prestando atenção ao pequeno cilindro oblíquo no meio 1, de volume \(\Delta S\vec{\delta}_1\cdot\vec{n}_{12}\), vê-se que todas as moléculas contidas neste volume depositam carga positiva na superfície.
Designando por \(n_1\) o número de moléculas por unidade de volume, a carga depositada é \(n_1q_1\Delta S\vec{n}_{12}\cdot\vec{\delta}_1=\vec{P}_1\cdot\vec{n}_{12}\Delta S\). Raciocínio idêntico para o meio 2, leva ao aparecimento
de carga negativa \(-\vec{P}_2\cdot\vec{n}_{12}\Delta S\) naquele elemento de superfície. Assim, a densidade superficial
de cargas de polarização na superfície de separação é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\rho_{S}^{\left ( P \right )}=\left ( \vec{P}_1-\vec{P}_2 \right )\cdot\vec{n}_{12}\) (2)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considerando apenas o meio 1, supondo que está limitado por uma superfície fechada \(\Sigma\), a
deposição de carga nesta superfície significa que existe carga de polarização no seu interior.
A carga total que tal meio depositou na superfície é \(Q_{1}^{(P)}=\int_{\Sigma}^{}dS\vec{n}_{12}\cdot\vec{P}_1\), de modo que
no interior fica a carga \(-\int_{\Sigma}^{}dS\vec{n}_{12}\cdot\vec{P}_1=-\int dV\bigtriangledown \cdot\vec{P}_1\), pelo teorema de Gauss. Assim,
define-se a densidade volúmica de carga de polarização:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\rho^{(P)}=-\bigtriangledown \cdot\vec{P}\) (3)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Estas cargas de polarização conservam-se separadamente de outras cargas porque cada dipolo
mantem unidas as cargas \(\pm q\). Ora, usando a equação (3), tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\partial \rho^{\left ( P \right )}}{\partial t}=-\bigtriangledown \cdot\frac{\partial\vec{P}}{\partial t}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>levando à identificação de uma densidade de corrente de polarização:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{i}^{\left ( P \right )}=\frac{\partial \vec{P}}{\partial t}\) (4)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>É habitual separar as cargas e correntes de polarização das cargas e correntes livres sendo
estas as que se controlam em experiências. Assim, a densidades decarga e corrente totais ficam:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\rho=\rho^{\left ( l \right )}+\rho^{\left ( P \right )}\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{i}=\vec{i}^{\left ( l \right )}+\vec{i}^{\left ( P \right )}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Substituindo a primeira relação na equação de Maxwell-Coulomb, tem-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{E}=\frac{1}{\varepsilon _0}\left ( \rho^{\left ( l \right )}+\rho^{\left ( P \right )} \right )=\frac{1}{\varepsilon _0}\left ( \rho^{\left ( l \right )}-\bigtriangledown \cdot \vec{P} \right )\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Define-se o vector deslocamento elétrico por:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{D}=\varepsilon _0\vec{E}+\vec{P}\) (5)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>obtendo-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{D}=\rho^{\left ( l \right )}\) (6)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O deslocamento elétrico é inteiramente determinado pelas cargas livres.</p>

  <p class='mainText'>Quanto às correntes, substituindo a decomposição anterior na equação de Maxwell-Ampère,
obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{B}=\mu_0\left ( \vec{i}^{\left ( l \right )}+\vec{i}^{\left ( P \right )}+\varepsilon _0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right )=\mu_0\left ( \vec{i}^{\left ( l \right )}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \right )\) (7)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considere-se, agora, o trabalho realizado pelo campo sobre as cargas livres:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\int dV\vec{i}^{\left ( l \right )}\cdot\vec{E}=-\int dV\vec{i}^{\left ( l \right )}\cdot\bigtriangledown \varphi=-\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \vec{i}^{\left ( l \right )}\varphi \right )+\int dV\varphi\bigtriangledown \cdot\vec{i}^{\left ( l \right )}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>No último membro, o primeiro termo, sendo um integral sobre todo o espaço, anula-se (teorema
de Gauss); quanto ao segundo, a conservação das cargas livres, dá:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=-\int dV\varphi\frac{\partial \rho^{\left ( l \right )}}{\partial t}=-\int dV\varphi\bigtriangledown \cdot\left ( \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \right )=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=-\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \varphi\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \right )+\int dV\bigtriangledown \varphi\cdot \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde, de novo, se utiliza o teorema de Gauss para eliminar o penúltimo integral (divergência).
Assim, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=-\int dV\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\) (8)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Este importante resultado tem várias consequências que serão analisadas adiante. No que se
segue, apenas se consideram meios não polarizados na ausência de um campo elétrico aplicado.</p>

  <p class='mainText'>A natureza do meio determina a relação entre a polarização e o campo elétrico no seu interior.
Na maior parte dos casos essa relação é linear e faz intervir o tensor susceptibilidade elétrica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(P_i=\varepsilon _0\chi_{ij}E_j\) (9)</p>

<br>

  <p class='mainText'>(Nesta expressão, está implícita uma soma sobre índices repetidos). Em meios anisotrópicos,
esta relação é responsável pelos fenómenos de birrefringência óptica (aragonite, calcite) que
aqui não serão desenvolvidos. Nos meios isotrópicos (gases, líquidos, cristais do sistema cúbico),
a relação anterior simplifica-se na forma que passará a ser usada:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{P}=\varepsilon _0\chi_e\vec{E}\) (10)</p>

<br>

  <p class='mainText'>No Apêndice 1 é apresentado um modelo simples para a susceptibilidade elétrica, \(\chi_e\).</p>

  <p class='mainText'>Substituindo a relação (10) na equação (5), obtém-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{D}=\varepsilon _0\left ( 1+\chi_e \right )\vec{E}\equiv \varepsilon \vec{E}\) (11)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(\varepsilon\) é a permitividade elétrica do meio (a permitividade relativa, \(\varepsilon_r\equiv \varepsilon/\varepsilon_0\), tem valores da
ordem da unidade nos gases e 80, na água, 75 no gelo, 26 no álcool etílico, 21 na acetona). Usando este resultado na equação (8), vê-se que o trabalho do campo deriva de uma energia elétrica
definida em todo o espaço:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(U_e\equiv \int dV\frac{1}{2}\varepsilon \vec{E}^2\; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; \; \delta W=-dU_e\) (12)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Pode ser dada uma outra forma a esta energia elétrica que torna transparente a sua relação
com as cargas livres:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(U_e=\frac{1}{2}\int dV\vec{E}\cdot\vec{D}=-\frac{1}{2}\int dV\bigtriangledown \varphi\cdot\vec{D}=-\frac{1}{2}\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \varphi\vec{D} \right )+\frac{1}{2}\int dV\varphi\bigtriangledown \cdot\vec{D}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O penúltimo termo anula-se (teorema de Gauss), obtendo-se, pela equação (6):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(U_e=\frac{1}{2}\int dV\varphi\rho^{\left ( l \right )}\) (13)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A FIGURA 2 mostra um condensador plano submetido a uma diferença de potencial constante,
\(V\).</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-02.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 2. Condensador plano parcialmente preenchido por dielétrico.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Um meio dielétrico é parcialmente introduzido no condensador, até uma distância x do bordo
de entrada. Sejam \(a\) e \(b\) as dimensões das placas, e \(c\) a distância entre elas. O campo elétrico
no interior do condensador, ignorando efeito de bordos, é \(E=\frac{V}{c}\), obtendo-se, assim, para o
deslocamento elétrico:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(D=\left\{\begin{matrix}
\varepsilon E\;\textrm{entre}\;0\;x\\
\varepsilon_0 E\;\textrm{entre}\;x\;a
\end{matrix}\right.\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A carga livre não se distribui, pois, uniformemente nas placas, tendo-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(Q(x)=\varepsilon Ebx+\varepsilon _0Eb\left ( a-x \right )\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>originando a capacidade:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(C(x)=\frac{Q(x)}{V}=\frac{b}{c}\left ( \varepsilon x+\varepsilon _0\left ( a-x \right ) \right )\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A energia eletrostática é, pela equação (13):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(U_e=\frac{1}{2}C(x)V^2\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Qual a força \(F\) que o campo elétrico exerce sobre o dielétrico? Imagine-se que o dielétrico
é deslocado de \(\delta x\), de modo que a força realiza o trabalho \(F\delta x\). Mas este não é todo o trabalho
realizado pelo campo sobre as cargas livres porque tal deslocamento altera a carga do
condensador, \(\delta Q(x)=V\frac{dC}{dx}\delta x\); este excesso é transportado através da bateria exterior, do
cátodo para o ânodo, pelo que o campo realiza o trabalho adicional \(-V\delta Q(x)\). Assim, pela
equação (12), tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F\delta x-V^2\frac{dC}{dx}\delta x=-dU_e=-\frac{1}{2}V^2\frac{dC}{dx}\delta x\rightarrow F=\frac{1}{2}V^2\frac{dC}{dx}=\frac{V^2b}{2c}\left ( \varepsilon -\varepsilon _0 \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O dielétrico é puxado para o interior do condensador. Note-se que a origem desta força resulta
da não uniformidade do campo junto aos bordos do condensador, como se mostra na FIGURA 3.</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-03.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 3. A força sobre o dielétrico tem origem no efeito de bordo.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Este exemplo explica um método experimental para determinar a permitividade elétrica de
um líquido (FIGURA 4). A força devida ao campo faz subir o líquido até uma altura onde é equilibrada
pelo peso da coluna.</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-04.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 4. A permitividade do fluído é determinada pela altura a que sobe o liquido.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Regressando à FIGURA 3, registe-se a capacidade do condensador com o espaço entre as
armaduras totalmente preenchido pelo dielétrico:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(C=C(a)=\varepsilon \frac{ba}{c}\) (14)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Este resultado, referente a um condensador plano, estende-se a outras geometrias, bastando
substituir a permitividade do vazio pela do meio dielétrico na respectiva expressão da capacidade.</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 5 mostra uma esfera com uma polarização uniforme, \(\vec{P}\), com o sentido vertical.</p>

  <br>
  <figure class="image-medium">
      <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-05.jpg">
  </figure><center>
  <figcaption>FIGURA 5. Campo elétrico originado por esfera com polarização uniforme.
  </figcaption></center>
  <br>

  <p class='mainText'>Tal significa uma carga superficial de polarização \(\rho_{S}^{\left ( P \right )}=P\cos\theta\), onde \(\theta\) é o ângulo entre
a vertical e o ponto na superfície. O campo originado por tal distribuição de carga já foi considerado
em “Eletrostática”: é dipolar no exterior da esfera e, dentro dela, é uniforme com o valor \(\vec{E}=-\frac{\vec{P}}{3\varepsilon _0}\). Considere-se, agora, um meio dielétrico onde existe um campo uniforme, \(\vec{E}\)
. Imagine-
se que, no interior deste meio, existe uma cavidade esférica (FIGURA 6). Qual o campo \(\vec{E}'\)
no interior da cavidade? A resposta obtém-se por simples sobreposição: se se preencher a cavidade
com a esfera da FIGURA 5, o campo naquela esfera é, por um lado, \(\vec{E}'-\frac{\vec{P}}{3\varepsilon _0}\)
e, por outro lado apresenta o campo uniforme \(\vec{E}'\). Assim, é \(\vec{E}'=\vec{E}+\frac{\vec{P}}{3\varepsilon _0}\). Este campo é designado por
campo local porque é ele que actua sobre uma molécula apolar, por exemplo, colocada no centro
da esfera. A molécula adquire um dipolo elétrico \(\vec{p}\), como se exemplifica no Apêndice 1, sendo:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{p}=\varepsilon _0\alpha\vec{E}\;'\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\alpha\) é a polarizabilidade molecular. Considerando \(n\) moléculas por unidade de volume, fica
encontrada a polarização elétrica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{P}=n\vec{p}=\varepsilon _0n\alpha\left ( \vec{E}+\frac{\vec{P}}{3}\varepsilon _0 \right )\rightarrow \vec{P}=\varepsilon _0\frac{3n\alpha}{3-n\alpha}\vec{E}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Usando a equação (10), deduz-se a susceptibilidade elétrica, podendo finalmente estabelecer-se a relação de Clausius-Mossotti:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(n\alpha=\frac{3\chi_e}{3+\chi_e}=\frac{3\left ( \varepsilon _r-1 \right )}{2+\varepsilon _r}\) (15)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Este importante resultado estabelece uma ligação entre uma propriedade microscópica \((\alpha)\) e
uma propriedade macroscópica \((\varepsilon)\), permitindo aferir o realismo de modelos moleculares.</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-06.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 6. Cavidade esférica num meio polarizado.
</figcaption></center>
<br>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Magnetização.</strong></p>

  <p class='mainText'>Átomos ou moléculas podem apresentar momentos magnéticos ou estes serem induzidos por
um campo magnético aplicado. A ordenação espacial destes momentos magnéticos em sólidos,
na qual intervém a interação magnética entre dipolos, origina uma grande riqueza de estruturas
ferromagnéticas ou anti-ferromagnéticas que desaparecem acima de uma temperatura crítica
(ponto de Curie em ferromagnetos e ponto de Néel em antiferromagnetos). Gases e líquidos são,
em geral, desprovidos de tais ordenações e só apresentam um comportamento magnético macroscópico
como resposta a um campo aplicado. No que se segue, só serão consideradas estas
substâncias, apresentando-se no Apêndice 2 um modelo simples para o seu comportamento.</p>

  <p class='mainText'>A magnetização é a média sobre a unidade de volume dos momentos magnéticos nele contidos:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{M}\left ( \vec{r} \right )\delta V=\sum_{i}^{}\vec{\mu}_i\) (16)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\delta V\) é um pequeno volume, centrado em \(\vec{r}\), mantendo-se as observações a seguir à
equação (1). A magnetização define correntes na superfície e no interior de magnetos — são
correntes de natureza microscópica, não detectáveis por um amperímetro.</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 7 representa uma porção da superfície (área \(\Delta x\Delta y\)) de um magneto onde
a magnetização \(\vec{M}\) define o eixo \(y\). Considere-se o pequeno paralelepípedo (volume \(\Delta x\Delta y\Delta z\)) de que aquela pequena superfície é a face superior. O momento magnético
no paralelepípedo é \(M_y\Delta x\Delta y\Delta z\) e pode ser imaginado como resultante de \(N\) espiras
rectangulares, cada uma percorrida por uma corrente de intensidade \(I\), de modo que
\(M_y\Delta x\Delta y\Delta z=NI\Delta x\Delta y\). Há, assim, uma corrente superficial naquela face superior: \(i_{x}^{\left ( S \right )}\Delta y=NI=M_y\Delta y\), <em>i.e.</em>, \(i_{x}^{\left ( S \right )}=\left ( \vec{M}\wedge \vec{e}_z \right )_x\).</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-07.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 7. A face superior da superfície do magneto apresenta uma corrente superficial de magnetização.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Procedendo da mesma forma para outras superfícies com diferentes normais, conclui-se genericamente
que a densidade superficial de corrente de magnetização é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{i}_{M}^{\left ( S \right )}=\vec{M}\wedge \vec{n}\) (17)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considere-se, agora, o interior do magneto onde a magnetização é não uniforme e nele imagine-
se um paralelepípedo onde a magnetização \(M_y\) cresce com \(x\), <em>i.e.</em>, \(\frac{\partial M_y}{\partial x}>0\) (FIGURA 8).</p>

  <p class='mainText'>Dividindo o paralelepípedo em células verticais, o momento magnético de cada célula pode
ser considerado como resultante de espiras, sendo que a corrente, em cada espira, cresce com
\(x\). Deste modo, na face comum de células contiguas passa a existir uma corrente segundo \(z\).</p>

  <p class='mainText'>Repetindo o raciocínio anterior, conclui-se ser \(\left ( \vec{i}_M \right )_z=\frac{\partial M_y}{\partial x}\), um caso particular da relação
genérica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{i}_M =\bigtriangledown \wedge \vec{M}\) (18)</p>

<br>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-08.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 8. Uma magnetização não uniforme gera correntes volúmicas.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Deste modo, a equação de Maxwell-Ampère fica:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{B}=\mu_0\left ( \vec{i}^{\left ( l \right )}+\bigtriangledown \wedge \vec{M} \right )\) (19)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Defina-se o campo \(\vec{H}\)
por:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\) (20)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A equação (19) mostra que \(\vec{H}\)
é inteiramente determinado pelas correntes livres:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{H}=\vec{i}^{\left ( l \right )}\) (21)</p>

<br>

  <p class='mainText'>e pela condição, derivada da equação (20):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{H}=-\bigtriangledown \cdot \vec{M}\) (22)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Mostrar-se-á adiante como estes resultados se reduzem, muitas vezes, às equações da Eletrostática.</p>

  <p class='mainText'>O trabalho realizado pelo campo sobre as correntes livres fica:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\int dV\vec{i}^{\left ( l \right )}\cdot\vec{E}=\int dV\bigtriangledown \wedge \vec{H}\cdot\vec{E}=\int dV\left [ -\bigtriangledown \cdot\left ( \vec{E}\wedge \vec{H} \right )+\vec{H}\cdot\left ( \bigtriangledown \wedge \vec{E} \right ) \right ]\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O termo com a divergência, integrado sobre todo o espaço, anula-se (teorema de Gauss) e o
seguinte dá, pela lei da indução de Faraday:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=-\int dV\vec{H}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) (23)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Os magnetos permanentes apresentam curvas de histerese (FIGURA 9): á área dentro da curva
é igual ao trabalho realizado pela bateria, igual e oposto ao segundo membro da equação (23).</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-09.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 9. Curva de histerese de um ferromagneto.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Na ausência de correntes livres, o campo \(\vec{H}\)
gerado por um magneto permanente, obedece às equações da Magnetostática:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{H}=0\rightarrow \vec{H}=\bigtriangledown \psi \)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{H}=-\bigtriangledown \cdot\vec{M}\rightarrow \Delta \psi=-\bigtriangledown \cdot\vec{M}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\psi\), um pseudo-escalar, é designado por potencial magnético. Estas equações são idênticas
às do campo eletrostático, podendo simplesmente transpor-se muitos dos resultados aí
obtidos, como a seguir se mostra. Numa superfície de separação de meios magnéticos, a continuidade
da componente normal de \(\vec{B}\) impõe a continuidade de \(\left ( \vec{H}+\vec{M} \right )\cdot\vec{n}\) — os pólos
norte e sul de um magneto surgem, assim, como cargas magnéticas inseparáveis.</p>

  <p class='mainText'>Num íman de barra (FIGURA 10), com forma cilíndrica, de comprimento muito maior que o raio,
e magnetização uniforme dirigida segundo o eixo do cilindro, as linhas de força de \(\vec{B}\)
são, no exterior, semelhantes às de um dipolo magnético.</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-10.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 10. Íman de barra.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>A equação (17) mostra que a magnetização pode ser entendida como correntes superficiais,
circulares em torno do eixo, pelo que o campo \(\vec{B}\)
é o de um solenóide</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/019/">Campo magnético estacionário</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):019. (2021). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.019">10.24927/rce2021.019</a>.</html></ref><html>, donde, no interior do
magneto, é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\approx \mu_0\vec{M}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Uma esfera uniformemente magnetizada (FIGURA 11), apresenta, para \(\vec{B}\), um campo uniforme
no seu interior, \(\vec{H}=-\frac{\vec{M}}{3}\), e o campo dipolar magnético no exterior. A figura mostra as
linhas de força dos campos \(\vec{H}\)
(à esquerda) e \(\vec{B}\)
(à direita).</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-11.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 11. Esfera magnetizada uniformemente.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Nos materiais desprovidos de uma magnetização permanente, a aplicação de um campo
magnético induz uma magnetização, definindo-se a susceptibilidade \(\chi_m\) por:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{M}=\chi_m\vec{H}\rightarrow \vec{B}=\mu\vec{H}\; \; \; \; \; \mu=\mu_0\left ( 1+\chi_m \right )\) (24)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, μ é a permeabilidade magnética do meio. Em contraste com a susceptibilidade elétrica,
a susceptibilidade magnética pode ser negativa (diamagnetismo, <em>e.g.</em>, grafite, vidro, H<sub>2</sub>O, H<sub>2</sub>, He,
N<sub<2</sub>, Hg) ou positiva (paramagnetismo, <em>e.g.</em>, O<sub>2</sub>, CuSO<sub>4</sub>, MnSO<sub>4</sub>). Tal resulta da lei de indução de
Faraday: o campo ao ser aplicado pode originar dipolos magnéticos que se lhe opõem (lei de
Lenz) ou simplesmente alinhá-los. No Apêndice 2 é apresentado um modelo simples para este
tipo de comportamentos.</p>

  <p class='mainText'>Para tais materiais, a equação (23) permite definir uma energia magnética:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(U_m=\frac{1}{2}\int dV\mu\vec{H}^2\) (25)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>De modo que o trabalho realizado pelo campo é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\delta W=-dU_m\) (26)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A FIGURA 12 mostra um cilindro de uma substância magnetizável parcialmente introduzido
numa bobina (\(N\) espiras, comprimento \(l\), área transversal \(S\)) alimentada por um gerador de
corrente que mantém sempre a intensidade \(I\) constante. O campo gerado por este solenóide
no seu interior é \(H=\frac{NI}{l}\)
— é este, também o campo na parte introduzida (comprimento \(x\))
do cilindro, por continuidade da sua componente longitudinal.</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-12.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 12. Cilindro magnetizável inserido em solenóide.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Assim, a energia magnética é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(U_m=\frac{1}{2}S\left [ \mu x+\mu_0\left ( l-x \right ) \right ]H^2\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Se se deslocar o cilindro de \(\delta x\), há uma alteração de fluxo magnético nas \(\frac{N}{l}\delta x\) espiras
atravessadas pelo cilindro. Ora, o fluxo do campo magnético através destas espiras era \(\mu_0 HS\frac{N}{l}\delta x\) antes do deslocamento, e \(\mu HS\frac{N}{l}\delta x\) após o deslocamento, pelo que a variação
de fluxo é \(\delta\Phi =S\left ( \mu-\mu_0 \right )\frac{NH}{l}\delta x\), sendo induzida a f.e.m. \(\varepsilon =-\frac{d\Phi }{dt}\)
(no gerador, esta f.e.m. é automaticamente compensada para manter constante a corrente). O campo realiza o trabalho \(I\varepsilon +F\frac{dx}{dt}\), onde \(F\) é a força que o campo exerce sobre o cilindro. Assim, usando a
equação (26), obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(I\varepsilon +F\frac{dx}{dt}=-\frac{dU_m}{dt}\rightarrow F=\frac{1}{2}S\left ( \mu-\mu_0 \right )H^2\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Num material paramagnético \(\left ( \mu>\mu_0 \right )\), o cilindro é puxado para o interior do solenóide;
num material diamagnético \(\left ( \mu<\mu_0 \right )\), o cilindro é expelido do solenóide.</p>

  <p class='mainText'>A medição experimental da susceptibilidade é esquematizada na FIGURA 13: a amostra (um
pequeno cilindro de secção com área \(S\)) é parcialmente introduzida no entreferro de um íman
permanente que cria um campo horizontal de intensidade a \(H\) praticamente uniforme na região
de interesse.</p>

<br>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-013-13.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 13. Dispositivo para medir a susceptibilidade magnética.
</figcaption></center>
<br>

<br>

  <p class='mainText'>A força que actua sobre a amostra é</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/017/">Forças em campos magnéticos</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):017. (2021). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.017">10.24927/rce2021.017</a>.</html></ref><html>:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(F_z=\int dV'\vec{M}\left ( \vec{r}\;' \right )=\mu_0\int dV'\chi_m\vec{H}_a\left ( \vec{r}\;' \right )=\mu_0S\chi_m\frac{H_{a}^{2}}{2}\frac{dh}{dz}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(h\) é a altura da parte do cilindro mergulhada no entreferro, pelo que \(\frac{dh}{dz}=-1\). Assim:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(F_z=-\mu_0S\chi_m\frac{H_{a}^{2}}{2}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Esta força puxa o cilindro para o entreferro se a amostra é paramagnética \(\left ( \chi_m>0 \right )\) ou expele-
-o daquela região se a amostra é diamagnética \(\left ( \chi_m&lt 0 \right )\), podendo ser medida por uma balança.</p>

  <p class='mainText'>A equação (23) pode ser apresentada sob outra forma de grande utilidade. Para isso, escreve-
se o campo \(\vec{H}\) como soma do campo aplicado, \(\vec{H}_a\), e do campo gerado pela magnetização
que, como se mostrou atrás, deriva de um gradiente, \(\bigtriangledown \psi\). Assim aquela equação fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(-\frac{\delta W}{\delta t}=\int dV\left ( \vec{H}_a+\bigtriangledown \psi \right )\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=\int dV\vec{H}_a+\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O termo com a divergência anula-se (teorema de Gauss). Quanto ao primeiro termo, fica:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\int dV\vec{H}_a\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=\mu_0\int dV\vec{H}_a\cdot\left ( \frac{\partial\vec{H}_a}{\partial t}+\bigtriangledown \left ( \frac{\partial\psi}{\partial t} \right )+\frac{\partial\vec{M}}{\partial t} \right )=\)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(=\frac{d}{dt}\int dV\frac{1}{2}\vec{H}_{a}^{2}+\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \vec{H}_a\frac{\partial\psi}{\partial t} \right )+dV\vec{H}_a\cdot\frac{\partial\vec{M}}{\partial t}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>No último membro, o primeiro termo é simplesmente o trabalho realizado pelo gerador, na
unidade de tempo, para criar o campo aplicado, podendo ser ignorado no que segue, e o segundo
termo anula-se (teorema de Gauss). Assim, a equação (23) fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=-\int dV\vec{H}_a\cdot\frac{\partial\vec{M}}{\partial t}\) (27)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Esta expressão já fora obtida em “Trabalho do campo eletromagnético em dielétricos e magnetes”,
embora aí se considerasse o trabalho do gerador de corrente, igual e oposto a este.</p>

  <p class='mainText'>Num supercondutor de primeira espécie, o campo magnético é totalmente eliminado do
seu interior abaixo de uma temperatura crítica (efeito Meissner). Em geral, é considerada uma
amostra fina (agulha) do material supercondutor (\(Nb\), por exemplo), colocada paralelamente
ao campo aplicado, de modo que a \(H = H_a\) dentro da agulha. Assim, na fase supercondutora,
é \(H_a +M = 0\) — o supercondutor é o perfeito diamagneto. Inserindo na equação anterior,
determine-se o trabalho realizado quando o campo cresce de 0 até atingir um valor crítico, \(H_{a}^{\left ( c \right )}\left ( T \right )\) que depende da temperatura e se anula na temperatura crítica. Tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(W=\frac{1}{2}V\left [ H_{a}^{\left ( c \right )}\left ( T \right ) \right ]^2\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(V\) é o volume do supercondutor. Este trabalho deve ser igual à diferença de energia livre</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2019/020/">Introdução à termodinâmica</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V7(2):020. (2019). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2019.020">10.24927/rce2019.020</a>.</html></ref><html> entre
o estado inicial (supercondutor sem campo) e o estado final (estado normal com campo crítico):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_n\left ( T,H_{a}^{\left ( c \right )}\left ( T \right ) \right )-F_s\left ( T,0 \right )=\frac{1}{2}V\left [ H_{a}^{\left ( c \right )}\left ( T \right ) \right ]^2\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>No estado normal, os materiais supercondutores são fracamente magnéticos, pelo que o resultado
anterior se pode reescrever sob a forma:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(F_s\left ( T,0 \right )=F_n\left ( T,0 \right )-\frac{1}{2}V\left [ H_{a}^{\left ( c \right )}\left ( T \right ) \right ]^2\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Conclui-se, assim, que o estado supercondutor é termodinamicamente mais estável que o
estado normal, para a mesma temperatura. Esta diferença de energia é, essencialmente, devida
ao “<em>gap</em>” no espectro de energia eletrónico que se comporta como um gás de Bose, abaixo da
temperatura crítica, e como um gás fermiónico livre acima dessa temperatura.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>As equações de Maxwell modificadas pela matéria.</strong></p>

  <p class='mainText'>Com a separação de cargas e correntes naquelas que são livres e nas que resultam da polarização
ou magnetização do meio, é agora fácil reescrever as equações de Maxwell adaptadas aos
meios materiais. Assim:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{D}=\rho^{\left ( l \right )}\) (28)</p>

<br>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{H}=\vec{i}^{\left ( l \right )}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\) (29)</p>

<br>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \wedge \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\) (30)</p>

<br>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \cdot\vec{B}=0\) (31)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Nos meios isotrópicos e lineares, estas relações são completadas pelas equações constitutivas
do meio:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{D}=\varepsilon \vec{E}\) (32)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}=\mu \vec{H}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>É possível deduzir leis de conservação de energia e momento para as cargas e correntes livres.
O método consiste simplesmente em adaptar o modo como tais leis foram genericamente
deduzidas e interpretadas em <em>Os fundamentos do eletromagnetismo</em>. Apresentam-se apenas
os resultados:</p>

  <p class='mainText'>os resultados:
A) O trabalho realizado pelo campo sobre as cargas livres escreve-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\int dV\vec{i}^{\left ( l \right )}\cdot\vec{E}=-\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \vec{E}\wedge \vec{H} \right )-\int dV\frac{du}{dt}\) (34)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(du=\vec{E}\cdot d\vec{D}+\vec{H}\cdot d\vec{B}\) (35)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Nos meios lineares e isotrópicos, fica definida esta densidade de energia:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(u=\frac{1}{2}\varepsilon \vec{E}^2+\frac{1}{2}\mu \vec{H}^2\) (36)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A equação (34) também define o fluxo de energia:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{S}=\vec{E}\wedge \vec{H}\) (37)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>B) A força, por unidade de volume, que se exerce sobre cargas e correntes livres:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{f}=\rho^{\left ( l \right )}\vec{E}+\vec{i}^{\left ( l \right )}\wedge \vec{B}\) (38)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>pode escrever-se sob a forma, para uma componente genérica \(i = 1, 2, 3\):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(f_i=-\frac{\partial g_i}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left ( E_iD_j+H_iB_j \right )-D_j\frac{\partial E_j}{\partial x_i}-B_j\frac{\partial H_j}{\partial x_i}\) (39)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde a densidade volúmica de momento é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{g}=\vec{D}\wedge \vec{B}\) (40)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Nos meios lineares e isotrópicos, a equação (39) reescreve-se sob a forma da divergência do
tensor de Maxwell adaptado aos meios em presença:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(f_i=-\frac{\partial g_i}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x_j}\tau _{ij}\) (41)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\tau _{ij}=u\delta_{ij}-\varepsilon E_iE_j-\mu H_iH_j\) (42)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Recorda-se que \(\tau _{ij}n_jdA\) é o momento do campo que, na unidade de tempo, atravessa a
área \(dA\) no sentido da sua normal \(\vec{n}\). Como exemplo, considere-se a FIGURA 3, com o dielétrico
totalmente inserido no condensador. Tomando o eixo \(x_3\equiv z\) na direcção do campo elétrico
(perpendicular às armaduras), o momento transferido na unidade de tempo para a armadura
superior, <em>i.e.</em>, a força exercida nas cargas livres dessa placa, é \(\tau_{33}A=-\frac{1}{2}\varepsilon E^2\), um resultado
que se pode confirmar calculando o trabalho para um deslocamento virtual daquela placa.
O sinal negativo significa a atração, modificada pelo meio, que a placa inferior exerce sobre a
superior.</p>

  <p class='mainText'>Finalmente, notar-se-á que, nestes meios, a densidade de momento e o fluxo de energia estão
relacionados:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{g}=\varepsilon \mu\vec{S}\) (43)</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Apêndice 1.</strong></p>

  <p class='mainText'><strong>Um modelo para a polarizabilidade molecular.</strong></p>

  <p class='mainText'>O primeiro modelo para o comportamento de átomos sob ação de campos elétrico ou magnético,
deve-se a H. A. Lorentz (1880). Considerem-se duas cargas \(\pm q\), com a carga positiva
(núcleo) imóvel e a carga negativa (eletrão), de massa \(m\), submetida ao potencial harmónico \(\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\left ( x-a \right )^2\) e à ação de um campo elétrico local \(E\), movendo-se num meio viscoso que
origina uma força de Stokes \(-m\gamma\frac{dx}{dt}\). A equação de movimento da carga positiva é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(m\frac{d^2x}{dt^2}=-m\omega_{0}^{2}\left ( x-a \right )-m\gamma\frac{dx}{dr}+qE\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Para um campo elétrico estático, a posição de equilíbrio desta carga ocorre para \(x =\delta\), com:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\delta=a-\frac{\left | q \right |E}{m\omega_{0}^{2}}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Assim, o momento dipolar \(p=-\left | q \right |\delta\) tem uma parte independente do campo (molécula
polar), acrescida de uma resposta linear ao campo, definindo a polarizabilidade estática da molécula: \(\alpha(0)=\frac{q^2}{\varepsilon _0m\omega_{0}^{2}}\). Suponha-se, agora, que o campo elétrico varia sinusoidalmente
no tempo e procure-se a resposta do oscilador. Dada a linearidade da equação de movimento,
é útil considerar a representação complexa, \(E(t)=E_0e^{i\omega t}\), devendo tomar-se a parte real
no fim dos cálculos. Substituindo \(x(t)=a+x_0e^{i\omega t}\) na equação de movimento, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(x_0\left ( \omega \right )=\frac{-\left | q \right |E_0}{m}\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^2-i\gamma\omega}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Deste modo, a componente do dipolo que responde ao campo, é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(p=\frac{q^2E_0}{m}\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^2-i\gamma\omega}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Se houver \(n\) destes osciladores por unidade de volume, a polarização elétrica é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(P(t)=\textrm{Re}\left [ \frac{nq^2E_0e^{-i\omega t}}{m}\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^2-i\gamma\omega} \right ]\equiv \textrm{Re}\left [ \varepsilon _0\chi_e(\omega)E_0e^{-i\omega t} \right ]\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Obtém-se assim a susceptibilidade elétrica deste sistema de dipolos:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\chi_e(\omega)=\frac{nq^2}{m\varepsilon _0}\frac{1}{\omega_{0}^{2}-\omega^2-i\gamma\omega}\rightarrow \varepsilon _r(\omega)=1+\chi_e(\omega)\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A parte imaginária da susceptibilidade é responsável pela perda efectiva de energia do campo.
Com efeito, para um oscilador, a potência da força exercida pelo campo é \(-\left | q \right |E(t)\frac{dx}{dt}\);
para os n osciladores na unidade de volume, a potência fica \(-n\left | q \right |E(t)\frac{dx}{dt}=E(t)\frac{dP}{dt}\). Tomando
a média sobre um ciclo de oscilação do campo, tem-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\left \langle \frac{\delta W}{\delta t} \right \rangle=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left [ E^*\left ( -i\omega P \right ) \right ]=\frac{1}{2}\textrm{Re}\left [ i\omega\varepsilon _0\chi_e\left ( \omega \right )\left | E_0 \right |^2 \right ]=\frac{1}{2}\varepsilon _0\left | E_0 \right |^2\omega \textrm{Im}\left [ \chi\left ( \omega \right ) \right ]=\)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(=\varepsilon _0\left | E_0 \right |^2\frac{nq^2}{2m}\frac{\gamma\omega^2}{\left ( \omega_{0}^{2}-\omega^2 \right )^2+\gamma^2\omega^2}>0\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Este trabalho do campo sobre os dipolos resulta numa perda de energia de energia do campo
e deve-se, evidentemente, à viscosidade do meio. Qual a origem desta viscosidade? A causa
principal é a radiação emitida pela carga acelerada e esta perda de energia pode ser modelizada
por um meio viscoso. Para \(\gamma\ll \omega_0\), há uma absorção ressonante de energia quando \(\omega\simeq \omega_0\).
Note-se, finalmente, que \(\chi_e(0)=\frac{nq^2}{m\omega_{0}^{2}>0}\), pelo que \(\frac{\varepsilon }{\varepsilon _0}=1+\chi_e(0)>1\), uma propriedade
genérica da permitividade estática.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Apêndice 2.</strong></p>

  <p class='mainText'><strong>Um modelo para a susceptibilidade magnética.</strong></p>

  <p class='mainText'>O modelo de Lorentz também conduz a resultados simples para o comportamento do átomo
sob ação de um campo magnético. Admita-se que o eletrão está submetido ao potencial harmónico
com centro no núcleo: \(V\left ( \vec{r} \right )=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}\left | \vec{r} \right |^2\). Ignorando qualquer efeito de viscosidade
e considerando, de momento, apenas o movimento no plano \(xy\), as equações de movimento
têm soluções bem conhecidas</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2019/033/">O oscilador harmónico</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V7(2):033. (2019). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2019.033">10.24927/rce2019.033</a>.</html></ref><html>, sendo, aqui, útil escreve-las como sobreposição de dois movimentos
circulares. Para isso, define-se \(\omega_\pm =x\pm iy\), com \(\omega_\pm \left ( t \right )=\omega_\pm \left ( 0 \right )e^{\pm i\omega_0t}\). Deste
modo, \(w_±\) representa um movimento circular em sentido retrógrado e \(w_−\) um movimento circular
em sentido directo (movimentos observados segundo o eixo \(z\)). Se, agora, se considerar a
ação de um campo magnético \(B\) aplicado segundo \(z\), as equações de movimento ficam:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(m\frac{d^2x}{dt^2}=-m\omega_{0}^{2}x-\left | q_e \right |B\frac{dy}{dt}\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(m\frac{d^2y}{dt^2}=-m\omega_{0}^{2}y+\left | q_e \right |B\frac{dx}{dt}\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(m\frac{d^2z}{dt^2}=-m\omega_{0}^{2}z\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O movimento na direcção do campo não é modificado, apresentando uma oscilação com a
frequência angular própria, \(\omega_0\). Quanto ao movimento no plano perpendicular ao campo, usem-
-se as variáveis \(\omega_\pm \left ( t \right )\) para obter:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{d^2\omega_\pm}{dt^2}+\omega_{0}^{2}\omega_\pm=i\omega_c\frac{d\omega_\pm}{dt}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\omega_c\equiv \frac{\left | q_e \right |B}{m}\omega_c\equiv \frac{\left | q_e \right |B}{m}\)
é a frequência ciclotrónica. Procurando soluções da forma \(e^{i\omega t}\), obtém-
se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\omega_\pm\frac{\omega_c\pm\sqrt{\omega_{0}^{2}+4\omega_{0}^{2}}}{2}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Os dois movimentos circulares passam a ter frequências diferentes, com os seguintes
limites:</p>

<p class='mainText'>
  <ul>
    <li>Para campos fracos \(\left ( \omega_c\ll \omega_0 \right )\): \(\omega_\pm\rightarrow \pm\omega_0+\frac{\omega_c}{2}\)</li>
    <li>Para campos fortes \(\left ( \omega_c\gg \omega_0 \right )\):</li>
  </ul>
</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\omega_+\rightarrow \omega_c+\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_c}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \omega_-\rightarrow -\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_c}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A carga elétrica \(-\left | q_e \right |\) num movimento circular de frequência angular \(\omega\) equivale a uma
espira percorrida pela corrente de intensidade \(\left | q_e \right |\frac{\omega}{2\pi}\), originando um momento magnético \(\left | q_e \right |\frac{\omega}{2\pi}\pi R^2\), onde \(R\) é o raio da espira. Assim, àqueles dois movimentos circulares correspondem
dois momentos magnéticos segundo o eixo \(z\), que, para campo fraco, são:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\mu_+=\left | q_e\left | \frac{1}{2} \right |w_+(0) \right |^2\left ( \omega_0+\frac{\omega_c}{2} \right )\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\mu_-=-\left | q_e\left | \frac{1}{2} \right |w_-(0) \right |^2\left ( \omega_0-\frac{\omega_c}{2} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Em campo nulo, \(\omega_\pm\) representam dois momentos magnéticos iguais e opostos. Quando o
campo magnético aumenta, \(\omega_+\) apresenta uma resposta paramagnética (aumenta com o campo),
enquanto \(\omega_-\) apresenta uma resposta diamagnética (diminui com o campo).</p>

  <p class='mainText'>Uma carga acelerada emite radiação eletromagnética, sendo o respectivo campo elétrico perpendicular
à aceleração e à direcção de observação. Deste modo, a radiação emitida por este
oscilador será vista como três riscas (frequências \(\omega_\pm\) e (frequências \(\omega_0\), linearmente polarizadas, nas direcções
perpendiculares ao campo, e duas riscas (frequências (frequências \(\omega_\pm\)) circularmente polarizadas,
quando observadas na direcção do campo. Tal é a explicação do efeito Zeeman normal prevista
por H. A. Lorentz em 1895 e observada por P. Zeeman, no ano seguinte, o que lhes valeria o
prémio Nobel em 1902.</p>
</html>

=Referências=
<references/>
---- <br>Criada em 20 de Dezembro de 2020<br> Revista em 12 de Fevereiro de 2021<br>Aceite pelo editor em 15 de Março de 2023<br>
[[Category:Física]]