Mostrar código-fonte de Imagens elétricas e o método de separação de variáveis

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Lage, E., (2022) ''Imagens elétricas e o método de separação de variáveis'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):003
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Eduardo Lage</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2022.003 https://doi.org/10.24927/rce2022.003]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2022-003.pdf" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
----

= Resumo =

Nos condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é nulo no seu interior — todo o espaço ocupado por um condutor está ao mesmo potencial; as cargas que esses condutores possuam distribuem-se unicamente pela sua superfície de modo, em geral, não uniforme e desconhecido. A determinação do campo de potencial elétrico fica, assim, reduzida ao seu conhecimento no espaço livre, seja entre condutores seja nas regiões ocas dos condutores, um problema típico de fenómenos de influência elétrica. Mas o facto de essa solução ser única, o que é aqui demonstrado, justifica a utilização do método das imagens elétricas onde se recorre a um problema já resolvido para encontrar a solução de outro problema de eletrostática. O método da separação de variáveis tem inúmeras aplicações em Física, sendo aqui apresentado como forma de encontrar a solução para alguns exemplos de interesse.


<html>
  <p class='mainText'>Um condutor é uma substância (cobre, alumínio, aço) onde se manifesta uma corrente
elétrica se for aplicado um campo elétrico. Assim, num condutor em equilíbrio eletrostático,
<em>i.e.</em>, sem correntes, o campo elétrico deve ser nulo no seu interior: todo o espaço ocupado
pelo condutor está ao mesmo potencial elétrico. Se o condutor tiver sido carregado
eletricamente, todas as cargas localizar-se-ão na sua superfície de modo não uniforme,
em geral. A determinação do campo elétrico fica reduzida às regiões não ocupadas pelos
condutores (espaço vazio livre). Este problema eletrostático pode, então, ser formulado
como segue, aqui ilustrado para dois condutores (FIGURA 1), embora se perceba a sua generalidade.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. Dois condutores e cargas (manchas vermelhas) no espaço livre.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>a) O potencial elétrico deve satisfazer a equação de Poisson no espaço livre</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href=“https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/”>Os fundamentos do eletromagnetismo</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):016. (2021). DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.016">10.24927/rce2021.016</a>.</html></ref><html>:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\Delta \varphi =-\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\) (1)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Aqui, a densidade de carga (representada por manchas vermelhas na FIGURA 1) é suposta
conhecida e pode localizar-se na região exterior aos condutores ou nas suas partes ocas
(exemplificado pelo condutor A na figura) ou mesmo ser nula.</p>

<br>

  <p class='mainText'>b) Num qualquer condutor é dado o seu potencial elétrico, \(V_1\):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi =V_1\) no Condutor A (2)</p>

<br>

  <p class='mainText'>ou é dada a sua carga total, \(Q_2\):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{Q_2}{\varepsilon _0}=\int_{\Sigma _{B}}^{}dS\vec{n}\cdot \vec{E}=-\int_{\Sigma _{B}}^{}dS\vec{n}\cdot \bigtriangledown \varphi \) no condutor B (3)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{n}\) é a normal unitária à superfície do condutor e apontando para o espaço livre</p>

  <p class='mainText'>Deve, aqui, notar-se que em nenhum condutor são dadas simultaneamente estas duas
condições.</p>

  <p class='mainText'>O caso particular \(\rho =0\) descreve os fenómenos de influência elétrica: as cargas nos
condutores distribuem-se para garantir que os potenciais sejam constantes em cada condutor,
embora essa distribuição seja a priori desconhecida. Dada a linearidade das equações
de campo, segue-se que cargas e potenciais obedecem à equação genérica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(Q_i=\Sigma _{j}C_{ij}V_j\) (\(i\), \(j\) condutores) (4)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Os coeficientes de proporcionalidade \(C_{ij}\) são designados por capacidades parciais e, em
particular, os elementos diagonais são as capacidades dos respetivos condutores tomados
isoladamente (<em>i.e.</em>, \(C_{11}\) é a capacidade do condutor 1), recordando-se, como exemplos, as
capacidades de condutores cilíndricos ou esféricos obtidas noutro artigo</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href=“https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/015/”>Eletrostática</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):015. (2021). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.015">10.24927/rce2021.015</a>.</html></ref><html>.</p>

  <p class='mainText'>Um importante resultado para o problema eletrostático atrás enunciado, é a unicidade
de solução da equação (1) sujeita às condições fronteira equações (2) e (3).</p>

  <p class='mainText'>A unicidade de solução traduz-se na afirmação, aparentemente trivial, que se for encontrada
uma solução para o problema eletrostático, então essa é a solução. É esta afirmação
que fundamenta o método das imagens elétricas que agora se expõe através de alguns
exemplos ilustrativos.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Imagens elétricas</strong></p>

  <p class='mainText'>Consideram-se, a seguir, vários exemplos.</p>

  <p class='mainText'>1.º Imagine-se uma carga pontual \(Q\) situada a uma distância \(d\) de um condutor plano
ligado à terra (<em>i.e.</em>, ao potencial nulo), tal como representado na FIGURA 2.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. Carga pontual em frente a condutor plano ligado à terra.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>É evidente que \(\varphi =0\) abaixo do plano; acima do plano e no plano \(\left ( y\geq 0 \right )\) deve satisfazer
as seguintes condições:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\Delta\varphi =-\frac{\rho_1}{\varepsilon _0}\)</p>

  <p class='mainText centered'>\(\varphi =0\) em \(y=0\) (5)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\rho_1\) representa a densidade para a carga pontual \(Q\) em \(y = d\), não sendo necessário
especificar a sua forma analítica.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3. Duas cargas iguais e de sinais contrários originam potencial nulo no plano intermédio.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Considere-se, agora, um outro problema (FIGURA 3): duas cargas pontuais \(±Q\), separadas
por uma distância \(2d\). É óbvio que é \(\varphi =0\) no plano equidistante das duas cargas,
perpendicular à linha que as une. O campo de potencial gerado por estas duas cargas acima
do plano satisfaz às mesmas condições da equação (5) do problema anterior. Então, o
potencial acima do plano na FIGURA 3 é o potencial acima do plano condutor na FIGURA 2:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( x,y,z \right )=\frac{Q}{4\pi _{0}}\left [ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+\left ( y-d \right )^{2}+z^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}\left ( y+d \right )^{2}z^{2}}} \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Note-se que este potencial é válido em todo o espaço para a FIGURA 3, mas só é solução
do problema inicial (FIGURA 2) para \(y\geq 0\) que é a região de interesse. Tendo isto presente,
facilmente se calcula o campo elétrico acima do plano condutor:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( x,y,z \right )=\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0}\left [ \frac{\left ( x,y-d,z \right )}{\left ( x^{2}\left ( y-d \right )^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}-\frac{\left ( x,y+d,z \right )}{\left ( x^{2}+\left ( y+d \right )^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}} \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Em particular, no condutor plano \(\left ( y=0 \right )\), obtém-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(E_y\left ( x,0,z \right )=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{2d}{\left ( x^{2}+d^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Donde se deduz (teorema de Gauss) a densidade de carga no condutor plano induzida
pela presença da carga \(Q\):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\rho _s=-\frac{Q}{4\pi}\frac{2d}{\left ( x^{2}+d^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A carga total induzida pode ser obtida integrando esta expressão sobre o plano; mas é
mais fácil usar a FIGURA 3: o fluxo de \(\varepsilon _{0}E_y\left ( x,0,z \right )\) ao longo do plano condutor é igual ao
seu fluxo através do plano que bissecta as cargas na FIGURA 3, sendo, pois, igual à carga
abaixo desse plano, pelo que a carga total induzida no plano condutor é \(−Q\).</p>

  <p class='mainText'>Qual a força que se exerce sobre a carga \(Q\) na FIGURA 2? Ela é devida ao campo elétrico
gerado pelas cargas superficiais no plano condutor da FIGURA 2; mas este campo é o
mesmo que tem origem na carga \(−Q\) da FIGURA 3. Assim, a força pretendida é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_y=-\frac{Q^{2}}{4\pi \varepsilon _0}\frac{1}{\left ( 2d \right )^{2}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A força é atrativa, uma conclusão genérica para este tipo de problemas, e que é bem
conhecido quando, num dia quente e seco, podemos observar a pequena faísca entre um
dedo e a porta de um automóvel.</p>

  <p class='mainText'>Por sobreposição, diversas outras questões podem ser facilmente resolvidas através
do método das imagens. Por exemplo, se se considerar um dipolo elétrico2 em frente a
um plano condutor ligado à terra, o campo de potencial acima deste plano é o mesmo que
o gerado pelo dipolo e pela sua imagem elétrica (FIGURA 4).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-04.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 4. Dipolo elétrico e sua imagem.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>A superfície da Terra é um fraco condutor e pode ser considerada ao potencial nulo.
Numa trovoada, a nuvem apresenta uma separação de cargas elétricas formando um
gigantesco dipolo. A nuvem e a sua imagem elétrica originam o campo elétrico no espaço
entre a nuvem e o solo. Quando este campo excede um valor crítico, o ar deixa de ser um
isolador, dando-se a descarga elétrica entre a nuvem e o solo.</p>

  <p class='mainText'>Um outro interessante exemplo é exibido na FIGURA 5A): uma carga pontual nas proximidades
de dois semiplanos condutores ortogonais ligados à terra.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-05.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 5. A) Carga pontual em frente a dois semiplanos ortogonais condutores. B) Suas imagens elétricas. C) Força
que se exerce sobre a carga dada.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>O campo elétrico na região de interesse (<em>i.e.</em>, no primeiro “quadrante” da FIGURA 5A))
é o mesmo que o gerado pela carga e pelas suas três imagens elétricas (FIGURA 5B)), o
que permite facilmente calcular a força que se exerce sobre a carga dada (FIGURA 5C)).</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 6 exibe um eletroscópio, um dispositivo que passou a fazer parte dos museus
de Ciência. Aproximando-se, sem tocar, um bastão eletricamente carregado da mesa do
eletroscópio, é induzida uma distribuição de cargas na parte metálica do eletroscópio e
que se manifesta na repulsão das lâminas de ouro.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-06.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 6. Eletroscópio.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Considere-se uma carga pontual \(Q\) no exterior de uma esfera (raio \(R\)) condutora, ligada
à terra, à distância \(R + a\) do seu centro (FIGURA 7). É óbvio que o potencial dentro da
esfera é nulo, interessando, pois, determiná-lo apenas no exterior.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-07.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 7. Carga pontual no exterior de uma esfera condutora ao potencial nulo.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Atente-se, agora, na FIGURA 8 onde se representa a carga \(Q\) à distância \(R + a\) de uma
origem \(O\) arbitrária, e uma carga \(Q′\) à distância \(R − b\) dessa origem, estando esta e as
duas cargas colineares, tomando-se a reta que as une para eixo \(z\).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-08.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 8. As cargas \(Q\) e \(Q'\) determinam potencial nulo numa superfície esférica (centro na origem, raio \(R\)), marcada a azul.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Usando coordenadas esféricas</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href=“https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/029/”>Gradiente, divergência e rotacional</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem</em>., V8(2):029. (2020). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2020.029">10.24927/rce2020.029</a>.</html></ref><html> para representar qualquer ponto \(P\) do espaço (à distância
\(r\) da origem e formando \(OP\) um ângulo \(\theta\) com o eixo \(z\)), é fácil obter o potencial
elétrico criado pelas duas cargas no ponto considerado:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( r,\theta \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\left [ \frac{Q}{\sqrt{\left ( r\sin \theta \right )^{2}+\left ( r\cos\theta-R-a \right )^{2}}}+\frac{Q'}{\sqrt{\left ( r\sin\theta \right )^{2}+\left ( r\cos\theta -R+b \right )^{2}}} \right ]\) (6)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Escolhendo convenientemente \(Q′\) e \(b\), obtém-se potencial nulo numa esfera centrada na
origem e de raio \(R\) ( a azul na FIGURA 8). Com efeito, tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(4\pi\varepsilon _{0}\varphi \left ( R,\theta \right )=\frac{Q}{\sqrt{\left ( R\sin\theta \right )^{2}+\left ( R\cos\theta-R-a \right )^{2}}}+\frac{Q'}{\sqrt{\left ( R\sin\theta \right )^{2}+\left ( R\cos\theta-R+b \right )^{2}}}=\frac{Q/R}{\sqrt{1-2\frac{R+a}{R}\cos\theta+\left ( \frac{R+a}{R} \right )^{2}}}+\frac{Q'/\left ( R-b \right )}{\sqrt{1-2\frac{R}{R-b}\cos\theta+\left ( \frac{R}{R-b} \right )^{2}}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>que se anula para qualquer \(\theta\), <em>i.e.</em>, em todos os pontos de uma esfera, se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{R+a}{R}=\frac{R}{R-b}\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{R}\) (7)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{Q'}{R-b}=-\frac{Q}{R}\; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; Q'=-Q\frac{b}{a}\) (8)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Deste modo, a equação (6) representa o campo de potencial no exterior da esfera no problema
original. O leitor reconhecerá a equação (7) como a equação dos focos conjugados
de um espelho esférico, justificando a designação de \(Q′\) como carga imagem da carga \(Q\).</p>

  <p class='mainText'>A partir da equação (6) pode ser obtido o campo elétrico e deduzir a densidade de carga
na superfície da esfera (FIGURA 9).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-09.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 9. Linhas de força do campo elétrico (para \(Q > 0\)).
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Mas se se pretender a carga total induzida na esfera, basta notar que o fluxo do campo
elétrico na superfície esférica é o mesmo que na esfera-imagem (FIGURA 8): a carga
total induzida na esfera condutora é \(Q'=-Q\frac{b}{a}\). O campo gerado pela carga distribuída
na superfície esférica determina a força que se exerce na carga \(Q\) — mas este campo é,
no exterior da esfera, o que é gerado pela carga imagem \(Q′\): a força sobre a carga \(Q\) é,
simplesmente,</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{QQ'}{\left ( a+b \right )^{2}}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{Q^{2}\frac{b}{a}}{\left ( a+b \right )^{2}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>É interessante observar que a imagem de um dipolo elétrico2 é, em geral, um dipolo e
uma carga elétrica. Tal resulta porque a imagem de uma carga depende de fatores geométricos
relacionados com a sua posição.</p>

  <p class='mainText'>Que acontece se a esfera condutora estiver a um potencial \(V\neq 0\)? Basta aplicar o princípio
da sobreposição: à esfera deve acrescentar-se uma carga \(4\pi\varepsilon _0 VR\), distribuída uniformemente
na sua superfície; deste modo, a carga total na esfera é \(Q'+4\pi\varepsilon _0 VR\), o
potencial no seu interior é \(V\) e, no exterior, deve adicionar-se à solução anterior o potencial \(V\frac{R}{r}\).</p>

  <p class='mainText'>A solução do problema exterior da esfera condutora, tal como atrás descrito, permite
resolver o problema interior sem efetuar qualquer cálculo. Este problema interior consiste
em determinar o campo de potencial dentro de uma superfície esférica ligada à terra e
onde se encontra uma carga \(Q′\). Fora da esfera, o potencial é nulo; dentro da esfera, o
potencial é originado pela carga \(Q′\) e pela carga \(Q\) que, agora, funciona como imagem da
primeira. Dado ser nulo o campo elétrico fora da superfície esférica, o teorema de Gauss
informa ser nula a carga total dentro da superfície e distribuída na superfície, pelo que a
carga total na superfície é, simplesmente, \(−Q′\). A força que se exerce sobre \(Q′\) é, evidentemente,
simétrica da força \(F_z\) atrás obtida.</p>

  <p class='mainText'>Regressando ao problema exterior, admita-se ser \(Q <\) \(0\) e considere-se a \(a\rightarrow \infty \) e
\(Q\rightarrow -\infty \) mantendo \(\frac{Q}{4\pi\varepsilon _{0}}\frac{1}{\left ( a+R \right )^{2}}\equiv -E=\) constante . Tais limites significam que se está
a considerar a esfera condutora mergulhada num campo elétrico E uniforme, com a direção
e sentido do eixo \(z\). Usando a equação (7), vê-se que \(R-b\simeq \frac{R^{2}}{a}\rightarrow 0\) e, pela equação
(8), \(Q'\simeq -Q\frac{R}{a}\rightarrow \infty \) mas \(Q'\left ( R-b \right )\simeq -Q\frac{R^{3}}{a^{2}}\rightarrow 4\pi\varepsilon _{0}R^{3}E\). Tendo em atenção estes
resultados, a equação (6) tende, no limite referido e ignorando termos constantes, para a
seguinte forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( r,\theta \right )=E\left ( \frac{R^{3}}{r^{2}}-r \right )\cos\theta\) (9)</p>

<br>

  <p class='mainText'>É, então, este o campo de potencial no exterior de uma esfera condutora submetida a um
campo elétrico uniforme (FIGURA 10).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-10.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 10. Distribuição de cargas na superfície da esfera condutora submetida a um campo constante.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Notar-se-á que, na equação acima, o termo \(-Er\cos\theta=-Ez\) é o potencial do campo
aplicado pelo que o outro termo é o potencial gerado pela distribuição de cargas na superfície
da esfera. O campo elétrico, no exterior da esfera, é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( r,\theta \right )=-\bigtriangledown \varphi =E\vec{e}_z+2E\frac{R^{3}}{r^{3}}\cos\theta \vec{e}_r+E\frac{R^{3}}{r^{3}}\sin\theta\vec{e}_\theta\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Reconhece-se que os dois últimos termos representam o campo de um dipolo elétrico.
Na superfície da esfera \((r = R)\) é imediato verificar que \(E_\theta =0\), como devia ser, e que
\(E_r\left ( R,\theta \right )=3E\cos\theta\). Assim, a carga distribui-se na superfície da esfera com a densidade:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\rho _{s}}{\varepsilon _{0}}=3E\cos\theta\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Embora todos os exemplos apresentados façam, apenas, intervir uma carga pontual, é
importante sublinhar que a solução está encontrada para qualquer distribuição dada de
cargas, obtendo-se o campo de potencial por sobreposição dos campos originados pelas
cargas elementares que constituem aquela distribuição.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Separação de variáveis</strong></p>

  <p class='mainText'>Este último problema serve, também, para ilustrar o método de separação de variáveis
cuja aplicabilidade se estende a todos os tópicos da Física. O problema consiste em determinar
o campo de potencial \(\varphi \left ( \vec{r} \right )\) no exterior da esfera e que satisfaz as seguintes
condições:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\Delta\varphi =0\; \; \; \; \; r>R\)</p>

<p class='mainText centered'>\(\varphi =0\; \; \; \; \; r=R\)</p>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \rightarrow -Er\cos\theta\; \; \; \; \; r\rightarrow \infty \)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, o centro da esfera é tomado como origem do referencial e o eixo \(z\) coincide em
direção e sentido com o campo \(E\) aplicado (\(\theta\) é o ângulo que o vector de posição de qualquer
ponto faz com o eixo \(z\)). A simetria do problema sugere que se usem coordenadas
esféricas</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href=“https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/029/”>Gradiente, divergência e rotacional</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem</em>., V8(2):029. (2020). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2020.029">10.24927/rce2020.029</a>.</html></ref><html> e, também, que o potencial não deve depender de  , o ângulo de rotação em
torno do eixo \(z\). Assim:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\Delta\varphi =\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r^{2}\frac{\partial \varphi }{\partial r} \right )+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\left ( \sin\theta\frac{\partial \varphi }{\partial \theta} \right )=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A condição limite sugere que se procurem soluções da forma \(\varphi \left ( r,\theta \right )=f\left ( r \right )\cos\theta\), devendo
verificar-se \(f\left ( r \right )\underset{r\rightarrow \infty }{\rightarrow}-Er\). Substituindo na equação anterior, obtém-se:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\left ( r^{2}\frac{df }{dr} \right )-\frac{2}{r^{2}}f=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>com as soluções independentes:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(f\left ( r \right )=-Er+\frac{A}{r^{2}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>sendo \(A\) uma constante que se determina pela outra condição fronteira:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( R,\theta \right )=0\; \; \; \rightarrow \; \; \; f\left ( R \right )=0\; \; \; \rightarrow \; \; \; A=ER^{3}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Deste modo, o campo de potencial é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( R,\theta \right )=Er\cos\theta+\frac{ER^{3}}{r^{2}}\cos\theta\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>como se havia encontrado.</p>

  <p class='mainText'>Um outro exemplo é mostrado na FIGURA 11.</p>

  <br>
<center>
  <figure class="image-medium">
      <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-11.jpg">
  </figure>
  <figcaption>FIGURA 11. Calha limitada por condutores.
  </figcaption>
</center>
  <br>

  <p class='mainText'>Uma calha é constituída por dois planos condutores paralelos e ligados à terra, isolados
da base mantida ao potencial \(V_0\). Assim, com o sistema de eixos indicado, o campo de potencial
deve satisfazer às seguintes condições:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\Delta\varphi =0\; \; \; \; \; 0<\)\(x;0<\)\(y<\)\(b\)</p>

  <p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( x,0 \right )=\varphi \left ( x,b \right )=0\; \; \; \; \; 0<\)\(x\)</p>

  <p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( 0,y \right )=V_0\; \; \; \; \; 0<\)\(y<\)\(b\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Procurem-se soluções da forma \(\varphi \left ( x,y \right )=X\left ( x \right )Y\left ( y \right )\), onde \(X\) e \(Y\) são funções de
uma única variável. Substituindo na equação de Laplace e rearranjando termos, tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{X"}{X}+\frac{Y"}{Y}=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde a dupla plica indica 2.ª derivada em ordem ao argumento. Ora esta equação tem de
ser satisfeita em todos os pontos no interior da calha. Mas, no primeiro membro, o primeiro
termo só depende de \(x\) e o segundo termo só depende de \(y\). Então, cada um dos termos
tem de ser uma constante, donde resulta:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{X"}{X}=\alpha ^{2}\rightarrow X"=\alpha ^{2}X\)</p>

<p class='mainText centered'>\(\frac{Y"}{Y}=-\alpha ^{2}\rightarrow Y"=-\alpha ^{2}Y\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, designou-se por \(\alpha ^{2}\) a constante de separação. Considerando a equação para \(Y\)
(é a equação de “movimento” de um oscilador harmónico!), vê-se que \(Y (y)\) é da forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(Y\left ( y \right )=A\sin\left ( \alpha y \right )+B\cos\left ( \alpha y \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Ora, atendendo à 1.ª condição fronteira, tem de ser \(Y (0) = Y (b) = 0\); então é \(B = 0\)
e \(\sin (\alpha b) = 0\), pelo que \(\alpha b = n\pi\), com \(n\) inteiro positivo. Assim, \(Y\left ( y \right )\propto \sin\left ( n\pi\frac{y}{b} \right )\).</p>

  <p class='mainText'>Considerando, agora, a equação para \(X (x)\), facilmente se conclui que esta função é
combinação linear de \(e^{\alpha x}\) e \(e^{-\alpha x}\), mas a 1.ª função diverge para \(x\rightarrow +\infty \), pelo que
\(X\left ( x \right )\propto e^{-n\pi\frac{x}{b}}\). A solução genérica é, então:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( x,y \right )=\sum_{n=1}^{\infty }A_ne^{-n\pi\frac{x}{b}}\sin\left ( n\pi\frac{y}{b} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde os coeficientes são constantes que se determinam pela 2.ª condição fronteira:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( 0,y \right )=V_0=\sum_{n=1}^{\infty }A_n\sin\left ( n\pi\frac{y}{b} \right )\; \; \; 0<\)\(y<\)\(b\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>As funções trigonométricas no segundo membro são ortogonais no intervalo. Assim:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(A_n=\frac{2V_0}{b}\int_{0}^{b}dy\sin\left ( n\pi\frac{y}{b} \right )=\frac{2V_0}{n\pi}\left [ 1-\cos \left ( n\pi \right ) \right ]=\frac{4V_0}{n\pi}n\) ímpar</p>

<br>

  <p class='mainText'>sendo nulos para n par. Deste modo, a solução completa fica:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( x,y \right )=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n\; impar}^{\infty }\frac{e^{-n\pi\frac{x}{b}}}{n}\sin\left ( n\pi\frac{y}{b} \right )=\frac{2V_0}{\pi}\textrm{arctg}\left ( \frac{\sin\left ( \pi\frac{y}{b} \right )}{sh\left ( \pi\frac{x}{b} \right )} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A conclusão mais importante deste resultado é o rápido decréscimo do potencial com a
distância ao condutor ao potencial \(V_0\) — as paredes laterais, ligadas à terra, blindam aquele
potencial para distâncias da ordem da distância entre as paredes.</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 12 representa uma cunha (abertura \(\beta\)) cavada num bloco metálico mantido ao
potencial nulo. Um campo exterior (não representado) origina uma distribuição de cargas nos condutores, sendo apenas esta distribuição o objecto de análise. O potencial \(\varphi \) é não
nulo apenas dentro da cunha e obedece às seguintes condições (usam-se coordenadas
cilíndricas):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\Delta \varphi =\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left ( r\frac{\partial \varphi }{\partial r} \right )+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial ^{2}\varphi }{\partial \phi^{2}}=0\)</p>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( r,0 \right )=\varphi\left ( r,\beta \right )=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>As condições fronteira sugerem a separação de variáveis: \(\varphi\left ( r,\phi \right )=R\left ( r,\phi \right )=R\left ( r \right )\Phi \left ( \phi \right )\)</p>

  <br>
<center>
  <figure class="image-small">
      <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-12.jpg">
  </figure>
  <figcaption>FIGURA 12. Bloco condutor (verde), ao potencial nulo, onde foi cavada uma cunha deixando um espaço livre.
  </figcaption>
</center>
  <br>

  <p class='mainText'>Procedendo como atrás e designando por \(k^2\) a constante de separação, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{d^{2}\Phi }{d\phi^{2}}+k^{2}\Phi =0\)</p>

<p class='mainText centered'>\(r\frac{d}{dr}\left ( r\frac{dR}{dr} \right )-k^{2}R=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>com as condições fronteira \(\Phi \left ( 0 \right )=\Phi \left ( \beta \right )=0\). Assim, a solução da 1.ª equação anterior
é \(\Phi \left ( \phi \right )\propto \sin\left ( k\phi \right )\) com \(\sin\left ( k\beta \right )=0\) e, portanto, \(k=\frac{n\pi}{\beta}\), com \(n = 1, 2, 3, ...\). Quanto
à 2.ª equação, a solução é combinação linear de \(r^k\) e \(r^−k\), devendo ignorar-se a segunda
função por divergir na origem. Deste modo, a solução geral do problema é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( r,\phi \right )=\sum_{n}^{}A_nr^{\frac{n\pi}{\beta}}\sin\left ( n\pi\frac{\phi}{\beta} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>As constantes \(A_n\) poderão ser determinadas se se conhecer a carga total no bloco; será,
aqui, ignorado esse cálculo. Interessa mais determinar a densidade de carga na superfície
do condutor que limita a cunha:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\rho _{s}\left ( r,0 \right )}{\varepsilon _{0}}=E_{\phi}\left ( r,0 \right )=-\frac{1}{r}\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial \phi} \right )_{\phi =0}=\sum_{n}^{}\frac{n\pi}{\beta}A_nr^{\frac{n\pi}{\beta}-1}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Nas vizinhanças da cunha, o primeiro termo é dominante e poderá divergir se \(\beta\) for suficientemente
grande, originando uma acumulação de carga junto da cunha, efeito conhecido
por poder das pontas, princípio de funcionamento dos pára-raios. A FIGURA 13 e a tabela
anexa ilustram estas considerações.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-003-13.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 13. Cunha cavada em condutor para crescentes ângulos de abertura e densidade de carga perto da aresta.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>O método das imagens e o método da separação de variáveis não estão restritos à Eletrostática.
O método das imagens, baseado, como está, numa solução em busca de um
problema, tem um âmbito de aplicação relativamente restrito. Pelo contrário, o método
de separação de variáveis atravessa toda a Física empregando-se na Mecânica Clássica
ou Quântica, em Mecânica de Fluidos, na propagação de ondas de diversas naturezas, etc.
Como tal, este método será encontrado no tratamento de outros tópicos de interesse.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Apêndice — Demostração da unicidade de solução em Eletrostática</strong></p>

  <p class='mainText'>Com efeito, admita-se que existem duas soluções independentes \(\varphi_1\) e \(\varphi_2\) da equação (1)
sujeita às condições fronteira equações (2) e (3), considerando-se a FIGURA 1 como exemplo
típico mas sem perda de generalidade. Então, \(\varphi=\varphi_1-\varphi_2\) deve satisfazer:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\Delta\varphi=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>no espaço livre (vazio); e também:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi=0\) no Condutor A</p>

<p class='mainText centered'>\(\int_{\Sigma _{B}}^{}dS\vec{n}\cdot\bigtriangledown \varphi=0\) (10)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considere-se, agora, a energia eletrostática para este campo \(\varphi\):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(U_e=\int dV\frac{\varepsilon _0}{2}\vec{E}^{2}=-\int dV\frac{\varepsilon _{0}}{2}\vec{E}\cdot \bigtriangledown \varphi=-\frac{\varepsilon _0}{2}\int dV\bigtriangledown \cdot \left ( \varphi \vec{E} \right )+\frac{\varepsilon _0}{2}\int dV\varphi\bigtriangledown \cdot \vec{E}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O último termo é nulo porque \(\vec{E}=0\) dentro dos condutores e \(\bigtriangledown \cdot \vec{E}=-\Delta\varphi =0\) no
espaço livre. O penúltimo termo também é nulo porque, usando o teorema de Gauss obtém-
se (versores \(\vec{n}\) dirigidos para o exterior das superfícies):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \varphi \vec{E} \right )=-\int_{\Sigma _{A}}^{}dS\vec{n}\cdot\vec{E}\varphi-\int_{\Sigma _B}^{}dS\vec{n}\cdot \vec{E}\varphi\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Ora, pelas condições (10), é \(\varphi=0\) em \(\Sigma _A\), o que anula o primeiro integral, e como \(\varphi\)
é constante em \(\Sigma _B\), o outro integral fica \(\varphi\int_{\Sigma _{B}}^{}dS\vec{n}\cdot \vec{E}=-\varphi\int_{\Sigma _{B}}^{}dS\vec{n}\cdot\bigtriangledown \varphi\) também
nulo pelas mesmas condições. Assim, é \(U_e= 0\), mas \(U_e\) só faz intervir o quadrado do
campo, pelo que tem de ser \(\vec{E}=0\), <em>i.e.</em>, \(\vec{E}_{1}=\vec{E}_{2}\), contrariando a hipótese de haver duas
soluções distintas para o problema eletrostático.</p>
</html>

=Referências=
<references/>
---- <br>Criada em 11 de Março de 2020<br> Revista em 22 de Fevereiro de 2021<br> Aceite pelo editor em 15 de Março de 2022<br>
[[Category:Física]]