Mostrar código-fonte de Fórmulas da soma e da diferença de dois ângulos

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., Geraldo, A., (2017) '' Fórmulas da soma e da diferenaça de dois ângulos'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(3):076
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>João Nuno Tavares e Ângela Geraldo</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2017.076 https://doi.org/10.24927/rce2017.076]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2017-076.pdf" target="_blank">
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__TOC__ 
==Adição de dois ângulos==
[[Imagem:Formulasadicao2.png|thumb|upright|300px|'''Figura 1''']]
Consideremos um [[Círculo trigonométrico|círculo trigonométrico]] e sejam \(\alpha\) e \(\beta\) dois [[Medida_dos_ângulos|ângulos positivos]] de vértice no centro \(O\) do círculo. Por simplicidade vamos considerar o caso em que  a  soma \(\alpha+\beta\) é menor do que \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \mbox{  rad}\). Os outros casos tratam-se de forma análoga, recorrendo a relações trigonométricas.

Os lados extremidades dos ângulos \(\alpha\) e \(\beta\) intersectam a circunferência em dois pontos, denominados \(P\) e \(Q\), respetivamente. Por esses dois pontos, traçamos dois segmentos de reta perpendiculares a \(OA\), \([PM]\) e \([QN]\), respectivamente (Fig.1). Por \(Q\) tracemos um segmento de reta \([QR]\) perpendicular a \(OP\) e por \(R\) tracemos um segmento de reta \([HR]\) paralelo a \(OA\) e um segmento de reta \([RS]\) perpendicular a \(OA\) (ver figura 1).

Obtemos assim três triângulos retângulos \([OPM]\), \([ORS]\) e \([HQR]\) que são semelhantes.

Como se trata de um círculo cujo raio tem uma unidade, as definições de [[Seno de um ângulo agudo|seno]] e [[Cosseno de um ângulo agudo|cosseno]] de um ângulo agudo permitem-nos estabelecer as seguintes relações:

\(\sin \alpha= \overline{PM}\)  ;  \(\cos \alpha= \overline{OM}\)   ;  \(\sin \beta= \overline{QR}\)  ;   \(\cos \beta= \overline{OR}\) 

<span style="color:green">\(\sin (\alpha+\beta)\)</span>\(= \overline{QN}=\overline{QH}+\overline{RS}\)  ;     <span style="color:green">\(\cos (\alpha+\beta)\)</span>\(= \overline{ON}=\overline{OS}-\overline{HR}\)

O facto de \([ORS]\) e \([OPM]\) serem triângulos semelhantes permite estabelecer a seguinte igualdade 
\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{OS}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{OR}}{\overline{OP}}\)
que, atendendo as relações estabelecidas anteriormente é equivalente a
\(\displaystyle \frac {\overline{RS}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{OS}}{\cos \alpha}=\frac{\cos \beta}{1}\).
Daqui resulta que, <span style="color:green">\(\overline{RS}\)</span> \(=\sin \alpha \, \cos \beta\) e <span style="color:green">\(\overline{OS}\)</span> \(=\cos \alpha \, \cos \beta\).

Atendendo ao facto de \([HQR]\) e \([OPM]\) também serem triângulos semelhantes podemos da mesma forma estabelecer a seguinte igualdade
\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\overline{PM}}=\frac{\overline{QH}}{\overline{OM}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{OP}}\)
que, usando as relações estabelecidas anteriormente para o seno e cosseno dos ângulos é equivalente a
\(\displaystyle \frac {\overline{HR}}{\sin \alpha}=\frac{\overline{QH}}{\cos \alpha}=\frac{\sin \beta}{1}\).
Daqui resulta que, <span style="color:green">\(\overline{HR}\)</span>\(=\sin \alpha \, \sin \beta\) e <span style="color:green">\(\overline{QH}\)</span>\(=\cos \alpha \, \sin \beta\).


Deduzimos então, das igualdades e relações estabelecidas anteriormente, que:

{| class="wikitable" style="text-align: center;" align="center"
|- 
! style="background: #efefef;" | \[\quad \sin (\alpha +\beta)=\sin \alpha \, \cos \beta + \sin \beta \, \cos \alpha \quad\]
||
! style="background: #efefef;" | \[\quad \cos (\alpha +\beta)=\cos \alpha \, \cos \beta - \sin \alpha \, \sin \beta \quad\]
|}

Sabemos ainda que, para todo o ângulo \(\alpha +\beta\) com \(\cos (\alpha+\beta) \neq 0\) se tem \(\displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta}\).

Dividindo ambos os termos da fração por \(\cos \alpha \, \cos \beta\) (\(\cos \alpha \neq 0\) e \(\cos \beta \neq 0\)) a igualdade anterior é equivalente a:

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad \displaystyle \tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan \alpha \, \tan \beta} \quad\]
|}


===Uma outra prova da fórmula do seno da soma===

 

A demostração seguinte deve-se a  Volker Priebe e Edgar A. Ramos ``''Proof without Words: The Sine of a Sum''"; Mathematics Magazine, Vol. 73, No. 5 (Dec., 2000), p. 392. A figura fala por si:

[[Ficheiro:Seno_soma.png]]

Mas eis algumas indicações:


# os dois rectângulos têm a mesma largura e o mesmo comprimento (e portanto a mesma área). Porquê?
# o quadrilátero azul claro contido no rectângulo da esquerda é um paralelogramo. Porquê? A área desse paralelogramo  é igual a \(\sin(\alpha+\beta)\). Porquê?
# A área do paralelogramo azul claro contido no rectângulo da esquerda é igual à soma das áreas dos dois rectângulos azul claro contidos no rectângulo da direita. Porquê? A soma destas áreas é pois  \(\sin\alpha    \cos \beta + \cos\alpha   \sin \beta\). Porquê?
# Portanto:

<div style="text-align: center;">
\(\sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha   \cos \beta + \cos\beta   \sin \alpha \)
</div>

==Subtração de dois ângulos==

O problema da subtração de dois ângulos pode ser reduzido ao anterior se considerarmos a diferença \(\alpha -\beta\) como a soma do ângulo \(\alpha\) com o ângulo \(-\beta\), ou seja,

\(\sin (\alpha - \beta)=\sin \, [\alpha + (-\beta)]\, = \sin \alpha \, \cos(-\beta)+\sin (-\beta) \, \cos \alpha\quad\) como \(\quad\cos (-\beta)=\cos(\beta)\) e \(\sin (-\beta)=-\sin \beta\) temos então que:
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad \sin (\alpha - \beta)=\sin \alpha \, \cos \beta - \sin \beta \, \cos \alpha \quad\]
|}
Da mesma forma, temos que \(\cos (\alpha - \beta)=\cos \, [\alpha + (-\beta)]\, = \cos \alpha \, \cos(-\beta)-\sin \alpha \, \sin (-\beta)\) é então equivalente a:
{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad \cos (\alpha - \beta)=\cos \alpha \, \cos \beta + \sin \alpha \, \sin \beta \quad\]
|}

Sabemos ainda que, para todo o ângulo \(\alpha -\beta\) com \(\cos (\alpha-\beta) \neq 0\) se tem \(\displaystyle \tan (\alpha-\beta)=\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta}\).

Dividindo ambos os termos da fração por \(\cos \alpha \, \cos \beta\) (\(\cos \alpha \neq 0\) e \(\cos \beta \neq 0\)) a igualdade anterior é equivalente a:

{| border="0" style="text-align: center;" align="center"
|-
! style="background: #efefef;" | \[\quad \displaystyle \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \, \tan \beta} \quad\]
|}


==Referências==

# J. Jorge G. Calado (1974) ''"Compêndio de Trigonometria"'' 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.


---- <br>Criada em 15 de Janeiro de 2013<br> Revista em 30 de Março de 2013<br> Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017<br>
[[Category:Matemática]]