Ondas Eletromagnéticas no vácuo
Referência : Faraco, T. A., Aguiar, A. M., Teixeira, F. O., (2021) Ondas Eletromagnéticas no vácuo, Rev. Ciência Elem., V9(2):048
Autor: Thales A. Faraco, Aruã M. de Aguiar e Franciele O. Teixeira
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2021.048]
Durante o século XIX, os fenômenos clássicos relacionados à eletricidade e ao magnetismo foram estudados por vários físicos. Em 1864, James Maxwell estabeleceu conexões entre essas pesquisas anteriores e formulou uma elegante teoria, na qual fenômenos elétricos e magnéticos foram unificados.
Maxwell demonstrou que a força de Lorentz, juntamente com outras quatro equações compõe as relações fundamentais do eletromagnetismo clássico e descrevem todos os fenômenos eletromagnéticos. Essas quatro equações são conhecidas atualmente como Equações de Maxwell e relacionam os vetores campo elétrico \(\vec{E}\) e magnético \(\vec{B}\) entre si e com as suas fontes.
Além disso, Maxwell generalizou a Lei de Ampère e previu a existência de ondas eletromagnéticas, que foram confirmadas experimentalmente anos mais tarde por Hertz (1888).
A Força de Lorentz é expressa pela seguinte relação:
\(\vec{F}=q\left ( \vec{E}+\vec{v}\times \vec{B} \right )\) (1)
onde \(q\) é a carga elétrica e \(\vec{v}\) a velocidade dessa carga.
Equações de Maxwell
A seguir, estão representadas as Equações de Maxwell no vácuo em seu formalismo integral, onde \(q\) é a carga elétrica, \(I_{c}\) a corrente de condução, \(\epsilon_{0}\) a permissividade elétrica do vácuo e \(\mu_{0}\) a permeabilidade magnética do vácuo.
\(\oint_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{q}{\epsilon_{0} }\) (Lei de Coulomb-Gauss-Maxwell) (2A)
\(\oint_{s}^{}\vec{B}\cdot d\vec{S}=0\) (Lei de Gauss-Maxwell) (2B)
\(\oint_{c}^{}\vec{E}\cdot d\vec{l}=-\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{B}\cdot d\vec{S}\) (Lei de Faraday-Lenz-Maxwell) (2C)
\(\oint_{c}^{}\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}I_{c}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S}\) (Lei de Ampère-Maxwell) (2D)
O termo acrescentado por Maxwell à Lei de Ampère, chamado de Corrente de Deslocamento \(\left ( I_{d}=\epsilon _{0}\frac{d}{dt}\int_{s}^{}\vec{E}\cdot d\vec{S} \right )\), generalizou essa lei, a qual só era válida para processos estacionários.
As Equações de Maxwell também podem ser expressas no formalismo diferencial (utilizando os Teoremas da Divergência e de Stokes), onde \(\rho\) é a densidade de carga e \(\vec{J}\) a densidade de corrente.
\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon _{0}}\) (3A)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\) (3B)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) (3C)
\(\nabla \times \vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) (3D)
De maneira resumida, pode-se enunciar as Equações de Maxwell da seguinte forma:
- Lei Coulomb-Gauss-Maxwell: Cargas elétricas geram campos elétricos.
- Lei de Gauss-Maxwell: Inexistência de monopolos magnéticos.
- Lei de Faraday-Lenz-Maxwell: Fluxo magnético variável no tempo gera campo elétrico circulante e, por consequência, uma força eletromotriz e uma corrente elétrica induzida. O sentido dessa corrente induzida é tal que se opõe a variação do fluxo que lhe deu origem.
- Lei de Ampère-Maxwell: Corrente elétrica e fluxo elétrico variável no tempo geram campo magnético circulante.
Equação de Onda
Mostra-se, agora, que as Equações de Maxwell levam, inevitavelmente, à existência das ondas eletromagnéticas.
Para começar, supõe-se uma região no vácuo onde as fontes (cargas e correntes) estejam muito distantes, ou seja, \(\rho = 0\) e \(J = 0\). Assim, as Equações de Maxwell no formato diferencial passam a ser escritas como:
\(\nabla \cdot \vec{E}=0\) (4A)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\) (4B)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) (4C)
\(\nabla \times \vec{B}=-\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\) (4D)
Para desacoplar as Equações de Maxwell, utiliza-se a seguinte identidade do cálculo vetorial para o vetor campo elétrico \(\vec{E}\):
\(\nabla \times \left ( \nabla \times \vec{E} \right )=\nabla \left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )-\nabla ^{2}\vec{E}\) (5)
Então, substituindo as equações 4A e 4C em 5, obtém-se:
\(\nabla \times \left ( -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \right )=\nabla \left ( 0 \right )-\nabla ^{2}\vec{E}\)
\(-\frac{\partial \left ( \nabla \times \vec{B} \right )}{\partial t}=-\nabla ^{2}\vec{E}\) (6)
Substituindo, agora, a equação 4D em 6, tem-se:
\(\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\nabla ^{2}\vec{E}\)
\(\nabla ^{2}\vec{E}=\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial ^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}\) (7)
De maneira similar, pode-se mostrar que:
\(\nabla ^{2}\vec{B}=\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial ^{2}\vec{B}}{\partial t^{2}}\) (8)
Assim, cada componente dos campos elétrico e magnético satisfaz a equação de onda tridimensional:
\(\nabla ^{2}f=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}\) (9)
Esse resultado levou Maxwell a perceber que a luz era uma onda eletromagnética e também que as ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo com a mesma velocidade da luz nesse meio:
\(v=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon _{0}}}=c=3\times 10^{8}m/s\) (10)
Vale salientar que a luz, assim como as demais ondas eletromagnéticas (ondas de rádio, microondas...) possuem as seguintes características em comum:
- São transversais (\(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) são perpendiculares entre si e à direção de propagação da onda);
- A razão entre o módulo de \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) é constante (\(E = cB\));
- A onda se desloca no vácuo com velocidade definida e invariável;
- Diferentemente das ondas mecânicas, as ondas eletromagnéticas não necessitam de meio material para se propagarem.
Equação da Continuidade
A Equação da Continuidade é um outro resultado interessante que pode ser obtido a partir das Equações de Maxwell.
Tomando a derivada temporal da equação 3A, obtém-se:
\(\frac{\partial }{\partial t}\left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )=\frac{1}{\epsilon _{0}}\frac{\partial \rho}{\partial t}\) (11)
Utilizando a seguinte identidade do cálculo vetorial para o vetor campo magnético \(\vec{B}\):
\(\nabla \cdot \left ( \nabla \times \vec{B} \right )=0\) (12)
juntamente com a equação 3D, tem-se:
\(\mu_{0}\nabla \cdot \vec{J}+\mu_{0}\epsilon _{0}\frac{\partial }{\partial t}\left ( \nabla \cdot \vec{E} \right )=0\) (13)
Substituindo a equação 11 em 13, obtém-se:
\(\nabla \cdot \vec{J}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\),
Essa é a Equação da Continuidade e está associada a conservação da carga elétrica.
Referências
- GRIFFITHS, D., Eletrodinâmica, São Paulo: Pearson Education, 3 ed.. 2010.
- HALLIDAY, D. et al. Fundamentos de Física 3: Eletromagnetismo, Rio de Janeiro: Editora LTC, 10 ed.. 2016.
Criada em 26 de Maio de 2020
Revista em 28 de Maio de 2020
Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2021
