Mostrar código-fonte de Progressão harmónica

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2014) Progressão harmónica, ''[http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.]'', V2(4):266
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<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Rodrigue|José Francisco Rodrigues]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[http://doi.org/10.24927/rce2014.266 http://doi.org/10.24927/rce2014.266]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2014-266.pdf" target="_blank">
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Uma '''progressão harmónica''' é uma sucessão de [[Números reais|números reais]] não nulos,\(\left(u_n\right)\),  cuja sucessão dos inversos \(\displaystyle \left( \frac{1}{u_n} \right)\) é uma [[Progressão aritmética|progressão aritmética]]. 

Portanto:

\(\displaystyle \frac{1}{u_2}-\frac{1}{u_1}=\frac{1}{u_3}-\frac{1}{u_2}=
\frac{1}{u_4}-\frac{1}{u_3}=\cdots=
\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}= \cdots = r\),

sendo \(r\) a razão da progressão aritmética. 


Por exemplo, a sucessão   \(\displaystyle \, \frac{1}{1}, \, \frac{1}{2} ,\, \frac{1}{3} , \, \cdots ,\, \frac{1}{n} ,\, \cdots\, \) é uma progressão harmónica uma vez que a sucessão dos inversos,\(\displaystyle\,  1, 2, 3,\cdots, n, \, \cdots\), é a progressão aritmética de razão \(\displaystyle r = 1\).


Deduz-se, então que: 

\(\displaystyle u_2 = \frac{2u_1 u_3}{u_1 +u_3} ,\quad  u_3 = \frac{2u_22u_4}{u_2 +u_4},\quad u_4 = \frac{2u_3 u_5}{u_3 +u_5}, \cdots,  \quad u_n = \frac{2u_{n-1} u_{n+1}}{u_{n-1} +u_{n+1}}, \cdots \)

isto é, cada termo é a [[Média harmónica|média harmónica]] dos seus termos vizinhos imediatos, tal como, no exemplo anterior:


\(\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{1}\times \frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{1} + \frac{1}{3}} , \quad \frac{1}{3}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{2}\times  \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{4}}, \quad \frac{1}{4}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{3}\times  \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{5}}, \,\cdots ,\,\frac{1}{n}=\frac{2 \times \displaystyle \frac{1}{n-1}\times  \frac{1}{n+1}}{\displaystyle \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1}}, \cdots\)
 
---- <br>Criada em 14 de Janeiro de 2010<br> Revista em 16 de Maio de 2012<br> Aceite pelo editor em 16 de Maio de 2012<br>
[[Category:Matemática]]