Equações trigonométricas. Exemplos

Referência : Tavares, J., (2014) Equações trigonométricas. Exemplos, Rev. Ciência Elem., V2(1):116
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.116]

Equações trigonométricas

São equações numéricas envolvendo funções trigonométricas.

Do tipo $\sin x=\sin\alpha$

Do tipo $\cos x=\cos\alpha$

Do tipo $\tan x=\tan\alpha$

Do tipo $\sin x=\cos\alpha \,$ e $\, \cos x=\sin\alpha$

Exemplos

$\triangleright \quad 2\sin x-1=0$

Figura 1 - Raízes da equação $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$

O primeiro passo será simplificar a equação:

$\displaystyle 2\sin x-1=0 \, \Leftrightarrow \, \sin x=\frac{1}{2}$

A figura 1 esclarece o próximo passo: calcular as soluções da equação no intervalo $\left[0,2\pi\right]$.

Uma dessas soluções é $\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$ pois, $\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

Outra solução é $\displaystyle x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$ pois, $\displaystyle \sin \frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$.

Considerando agora a periodicidade da função seno, de período $2\pi$, temos então todas as soluções da equação inicial:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad$ ou $\quad \displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$.

$\triangleright \quad \sin 3x=\sin x$

Usando o que vimos anteriormente sobre equações do tipo $\sin x=\sin\alpha$ esta equação resolve-se facilmente:

as soluções de $\displaystyle \sin 3x=\sin x \quad$ são $\quad 3x=x+2k\pi\quad$ ou $\quad 3x=\pi-x+2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$, ou seja,

$x=k\pi \quad$ ou $\quad \displaystyle x= \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, com $k \in \mathbb{Z}$.

$\triangleright \displaystyle \quad \cos 4x=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)$

Mais uma vez podemos usar o que vimos anteriormente, neste caso sobre as equações do tipo $\cos x=\sin\alpha$. Como já havíamos concluído $\displaystyle \cos \alpha=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ portanto:

$\displaystyle \cos \,4x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)$ ou seja, $\displaystyle \cos \,4x=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)$ é equivalente a $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)$.

Ora, as soluções de$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{5}-x\right)\quad$ são $\quad \displaystyle \frac{\pi}{2}-4x=\frac{\pi}{5}-x+2k\pi \quad$ ou $\quad \displaystyle \frac{\pi}{2}-4x=\pi-\left(\frac{\pi}{5}-x\right)+2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$, ou seja, obtemos todas as solução na forma:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{10}-\frac{2k\pi}{3} \quad$ ou $\quad \displaystyle x= -\frac{3\pi}{50} - \frac{2k\pi}{5}$, com $k \in \mathbb{Z}$.

$\triangleright \quad 2\cos 3x+\sqrt{2}=0 \,$ no intervalo $\, \left]-\pi/4, \pi\right]$

Figura 2 - Raízes da equação trigonométrica $\displaystyle \cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ no intervalo $\left]-2\pi, 2\pi\right[$

Começamos por simplificar a equação trigonométrica,

$\displaystyle 2\cos 3x+\sqrt{2}=0 \, \Leftrightarrow \, \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

A figura 2 mostra as duas soluções da equação no intervalo $\left]-2\pi, 2\pi\right[$ que são

$\displaystyle 3x=-\frac{3\pi}{4} \,\mbox{e}\quad 3x=\frac{3\pi}{4}$, pois $\displaystyle \cos \left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\cos \frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Assim, considerando a periodicidade da função cosseno, de período $2\pi$, temos então todas as soluções da equação $\displaystyle \cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\displaystyle 3x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi \quad$ ou $\quad \displaystyle 3x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$, ou seja,

$\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3} \quad$ ou $\quad \displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}$, com $k \in \mathbb{Z}$.

Como queremos apenas determinar as raízes da equação trigonométrica no intervalo $\displaystyle \left]-\frac{\pi}{4}, \pi\right]$) consideramos então alguns valores para $k$:

para $k=-1$, vem $\quad \displaystyle x=-\frac{11\pi}{12}$ ou $\quad \displaystyle x=-\frac{5\pi}{12} \qquad$, para $\quad k=0$, $\quad \displaystyle x=-\frac{\pi}{4}$ ou $\quad \displaystyle x=\frac{\pi}{4} \qquad$, para $\quad k=1$, $\displaystyle x=\frac{5\pi}{12}$ ou $\quad \displaystyle x=\frac{11\pi}{12} \qquad$, e para $\quad k=2$, $\displaystyle x=\frac{13\pi}{12}$ ou $\quad \displaystyle x=\frac{19\pi}{12}$

Portanto, as soluções da equação trigonométrica inicial no intervalo $\displaystyle \left]-\frac{\pi}{4}, \pi\right]$ são $\displaystyle x= \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12} \right\}$.