Referência : Monteiro, G. (2013), WikiCiências, 4(02):0766
Autor: Guilherme Monteiro
Editor: Guilherme Monteiro ---- ----
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=(displaystyle lim_{x	o 0}displaystylefrac{sin x}{x})= ==Quando a variável (x) é expressa em radianos== {| class="wikitable" cellspacing="20" |- | || Da figura observamos: * O triângulo (ODB) é semelhante ao triângulo (OAC) e daí que (displaystylefrac{BD}{OD}=displaystylefrac{AC}{OA}), isto é, (displaystylefrac{r sin x}{rcos x}=displaystylefrac{AC}{r}), o que implica que (AC=displaystyle rfrac{ sin x}{ cos x} =r an x). * (DB < mbox{arc} AB < AC) isto é (displaystyle r sin x 0 ), obtemos ( sin x < x< an x ) Supondo que (x> 0), embora próximo de (0), sabemos que (sin x> 0) e podemos dividir as desigualdades anteriores por (sin x> 0), para obter ( 1 (displaystylelim_{x	o 0}displaystylefrac{sin x}{x}=1) Como (displaystyle	an x=frac{sin x}{cos x}), resulta também que
(displaystylelim_{x	o 0}displaystylefrac{	an x}{x}=1)
Note que este resultado é válido quando (x) é expresso em radianos . |} ==Quando a variável (xº) é expressa em graus== {| class="wikitable" cellspacing="20" |- | || Como no ponto anterior, temos que * (AC=displaystyle rfrac{ sin xº}{ cos xº} =r an xº), e * (DB < mbox{arc} AB < AC), isto é (displaystyle r sin xº < displaystylefrac{pi}{180º} r xº < displaystyle r an xº ) já que agora (a=mbox{arc} AB= displaystylefrac{pi}{180º}rxº ), uma vez que, por hipótese, (xº) é expresso em graus. De facto (egin{array}{ccc} 360º longleftrightarrow 2pi r xº longleftrightarrow a end{array}), o que implica que (a=mbox{arc} AB= displaystylefrac{pi}{180º}rxº). Dividindo todos os membros por (r>0), obtemos (displaystyle sin xº < displaystylefrac{pi}{180º} xº < displaystyle an xº ) Supondo que mais uma vez que (xº> 0), embora próximo de (0), sabemos que (sin xº> 0) e podemos dividir as desigualdades anteriores por (sin xº> 0), para obter ( 1 < displaystylefrac{pi}{180º}displaystylefrac{xº}{sin xº}< displaystylefrac{1}{cos xº} ) Fazendo (xº	o 0), e atendendo a que (displaystylelim_{xº	o 0}cos xº=1), obtemos por enquadramento que
(displaystylelim_{xº	o 0}displaystylefrac{sin xº}{xº}= displaystylefrac{pi}{180º})
|} Note que este resultado é mais complicado do que o anterior, devido ao aparecimento do factor extra (displaystylefrac{pi}{180º}) que resulta de ser (displaystyle xº=frac{180º}{pi}x). Por isso há toda a conveniência em exprimir a variável em radianos, para que o limite seja: (displaystylelim_{x	o 0}displaystylefrac{sin x}{x} =1). =(displaystyle lim_{x	o 0}displaystylefrac{cos x -1 }{x}=0)= Supômos que (x) é expresso em radianos e aplicamos a [[Fórmula_trigonométrica|fórmula trigonométrica]] (cos p-cos q=-2sin displaystyle frac{p+q}{2}sin displaystyle frac{p-q}{2}). Vem então que
(displaystylefrac{cos x -1 }{x}=displaystylefrac{cos x -cos 0 }{x}= displaystylefrac{-2sin displaystyle frac{x}{2} sin displaystyle frac{x}{2} }{x})
Daí que (displaystyle lim_{x	o 0}displaystylefrac{cos x -1 }{x}=-displaystyle lim_{x	o 0} displaystyle frac{sin(x/2) }{x/2} displaystyle lim_{x	o 0} sin(x/2) =-1	imes 0=0 ). ---- 
Criada em 2 de Janeiro de 2013
Revista em 7 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 7 de Fevereiro de 2013
[[Category:Matemática]] ---- 
Criada em 08 de Fevereiro de 2013
Revista em 08 de Fevereiro de 2013
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