Mostrar código-fonte de Teoria da radiação eletromagnética

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Lage, E., (2023) ''Teoria da radiação eletromagnética,'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V11(3):003
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autores</b>: <i>[https://sigarra.up.pt/fcup/pt/func_geral.formview?p_codigo=200244 Eduardo Lage]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2023.003 https://doi.org/10.24927/rce2023.003]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2023-003.pdf" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
----

== Resumo ==

O azul do céu e o vermelho no ocaso são manifestações da radiação eletromagnética gerada por cargas aceleradas. O campo da radiação deduz-se a partir dos potenciais retardados aqui definidos e obtidas as suas expressões exactas. Para grandes distâncias das fontes e pequenas velocidades das cargas, comparadas com a velocidade da luz, obtém-se uma boa aproximação para o campo de radiação caracterizado por depender da aceleração transversal, em relação à linha de visão do observador. Os resultados são aplicados ao estudo da radiação emitida por um oscilador harmónico e por uma carga em movimento circular, discutindo-se as difusões ''Thomson e Rayleigh'', a instabilidade de modelos clássicos de átomos e a radiação emitida por um magneto em rotação que constitui um modelo aproximado para um pulsar.



<html>
<p class='mainText'>As ondas eletromagnéticas são oscilações dos campos elétrico e magnético que se propagam
no vazio com a velocidade da luz, sendo detetadas pelas suas interações com cargas e correntes.
Inversamente, cargas e correntes que variam no tempo geram ondas eletromagnéticas —
são as soluções particulares das equações</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/048/">Ondas electromagnética</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(2):048. (2021). DOI: 

<a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.048">10.24927/rce2021.048</a>.</html></ref><html>:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi }{\partial t^2}-\Delta \varphi=\frac{\rho}{\varepsilon _0}\) (1)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{A} }{\partial t^2}-\Delta \vec{A}=\frac{\vec{i}}{\varepsilon _0c^2}\) (2)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\rho\) e \(\vec{i}\)
são as densidades de carga e corrente, as fontes do campo, enquanto que \(\varphi\) e \(\vec{A}\)
são os potenciais eletromagnéticos a partir dos quais se deduzem os campos físicos:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}=-\bigtriangledown \varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\) (3)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}=\bigtriangledown \wedge \vec{A}\) (4)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Se se projetar a equação (2) nos eixos cartesianos, facilmente se percebe que as três equações
assim obtidas são analiticamente idênticas à equação (1). Considerar-se-á, então, a solução
particular desta equação, adaptando-se imediatamente o resultado final para a solução da
equação (2). Considere-se um pequeno volume localizado na origem das coordenadas de modo
que a carga instantânea nesse volume é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\delta Q(t)=\rho\left ( \vec{0},t \right )dV\) (5)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Será óbvio que a solução da equação (1) para esta carga apresenta simetria esférica. Assim,
usando coordenadas esféricas</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/029/">Gradiente, divergência e rotacional</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V8(2):029. (2020).

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2020.029">10.24927/rce2020.029</a>.</html></ref><html>, procura-se soluções da forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi(r,t)=\frac{\psi (r,t)}{r}\) (6)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considere-se \(r\neq 0\), de modo que o segundo membro da equação (1) é nulo para aquela carga.
Obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi} {\partial t^2}-\frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}=0\; \; \; \; \; r>0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A solução genérica desta equação é a sobreposição de duas funções arbitrárias, cada uma só
dependente de um único argumento</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2018/039/">Campos (Física)</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V6(2):039. (2018). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2018.039">10.24927/rce2018.039</a>.</html></ref><html>:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\psi(r,t)=f(r-ct)+g(r+ct)\) (7)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A função \(f\), designada por solução retardada, representa uma onda esférica que se propaga
a partir da origem, enquanto a função \(g\) (solução avançada) representa uma onda esférica que
converge para a origem. Ora, é de esperar que a onda gerada pela carga \(\delta Q (t)\) se propague a
partir da carga como exige o princípio da causalidade. Assim, será ignorada a solução avançada,
o que introduz uma assimetria no tempo que não está presente nas equações de Maxwell.</p>

  <p class='mainText'>Regressando à equação (1), com o segundo membro incluído e representando a carga, é evidente
que, quando \(r\rightarrow 0\), se deve encontrar o potencial eletrostático:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi(r,t)\xrightarrow[r\rightarrow 0]{}\frac{\delta Q(t)}{4\pi\varepsilon _0r}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Então, pelas equações (6) e (7), obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(f(-ct)=\frac{\delta Q(t)}{4\pi\varepsilon _0}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Ora, a função \(f\) só tem um argumento, \(r − ct\). Assim, com o resultado anterior, obtém-se a
especificação completa desta função:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(f(r-ct)=\frac{\delta Q\left ( t-\frac{r}{c} \right )}{4\pi\varepsilon _0}=\frac{\rho\left ( \vec{0},t-\frac{r}{c} \right )dV}{4\pi\varepsilon _0}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Invocando a equação (6), deduz-se o potencial elétrico para esta carga situada, por hipótese,
na origem:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( \vec{r},t \right )=\frac{\rho\left ( \vec{0},t-\frac{r}{c} \right )dV}{4\pi\varepsilon _0r}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>É, agora, possível generalizar. Primeiro, suponha-se que a posição da carga é \(\vec{r}\;'\) e o ponto de
observação é \(\vec{r}\;'\), de modo que a distância entre a carga e o ponto é \(R=\left | \vec{r}\;-\vec{r}\;' \right |\), pelo que a
expressão anterior fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi \left ( \vec{r},t \right )=\frac{\rho\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )dV'}{4\pi\varepsilon _0R}\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( \vec{r},t \right )=\frac{\rho\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )dV'}{4\pi\varepsilon _0R}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Segundo, para uma distribuição contínua de cargas, a solução retardada obtém-se por simples
aplicação do princípio da sobreposição:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( \vec{r},t \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\int dV'\frac{\rho\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )}{R}\) (8)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Como referido anteriormente, a solução da equação (2) é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{A}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2}\int dV'\frac{\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )}{R}\) (9)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Estas equações são as soluções exatas para distribuições arbitrárias de cargas e correntes.
A partir delas deduzem-se os campos elétrico e magnético através das equações (3) e (4).</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-01.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 1. Raio de luz.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Interessa aqui considerar a geração de uma onda eletromagnética dentro de aproximações justificadas.
Para isso, começa-se por notar que um raio de luz (FIGURA 1) é a propagação de energia
no interior de um cone que subtende um ângulo sólido \(d\Omega\) (FIGURA 2): o fluxo de energia,
na unidade de tempo, através de qualquer base esférica à distância arbitrária, \(r\),do seu vértice é
\(Ir^2d\Omega\), onde \(I\) é a intensidade da radiação, <em>i.e.</em>, a grandeza do vetor de <em>Poynting</em></html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/048/">Ondas electromagnética</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(2):048. (2021). DOI: 

<a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.048">10.24927/rce2021.048</a>.</html></ref><html>:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{S}=\varepsilon _0c^2\vec{E}\wedge \vec{B}\)</p>

<br>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-02.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 2. O fluxo de energia mantém-se constante para distâncias à fonte cada vez maiores.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Ora, para uma onda eletromagnética propagando-se no vazio é \(B=\frac{E}{c}\), pelo que
\(I=\left | \vec{S} \right |\propto E^2\). Assim, para um raio de luz, obtém-se \(E\propto \frac{1}{r}\). É esta a característica fundamental
do campo de radiação que se deve contrastar com o decaimento espacial do campo eletrostático
para o qual é \(E\propto \frac{1}{r^2}\). Considerando a origem de coordenadas num ponto qualquer no interior da região onde se situam as fontes da radiação, então, numa primeira aproximação,
os potenciais ficam, para grandes distâncias dessas fontes:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( \vec{r},t \right )\simeq \frac{1}{4\pi \varepsilon _0r}\int dV'\rho\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )\) (11)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{A}\left ( \vec{r},t \right )\simeq \frac{1}{4\pi \varepsilon _0c^2r}\int dV'\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )\) (12)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O cálculo dos campos elétrico e magnético, equações (3) e (4), obriga a derivar estas expressões
em ordem ao tempo e às coordenadas do vetor de posição \(\vec{r}\). Ora, em relação a estas,
irão ser ignoradas as derivadas do fator \(\frac{1}{r}\), porque levam a um decaímento espacial ainda mais
rápido dos potenciais. Assim, tais derivadas serão obtidas apenas do tempo retardado:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(t^*=t-\frac{R}{c}\) (13)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \varphi\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon _0r}\int dV'\frac{\partial \rho\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\left ( -\bigtriangledown \frac{R}{c} \right )\) (14)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Ora, sendo:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}\;'\) (15)</p>

<br>

  <p class='mainText'>então:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown R=\frac{\vec{R}}{R}=\vec{e}_R\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{e}_R\) é o versor que aponta das cargas para o ponto de observação. Note-se que qualquer
derivada em ordem a uma coordenada deste versor, é de ordem \(\frac{1}{r}\) pelo que será ignorada. Reescrevendo
a equação (14):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \varphi\simeq -\frac{1}{4\pi\varepsilon _0cr}\int dV'\frac{\partial \rho\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\vec{e}_R\) (16)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Observa-se que a lei de conservação de carga</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/">Os fundamentos do Eletromagnetismo</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):016. (2021). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.016">10.24927/rce2021.016</a>.</html></ref><html> permite substituir a derivada da densidade
de carga:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\partial\rho\left ( \vec{r},t \right )}{\partial t}=-\bigtriangledown '\cdot \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\bigtriangledown '\) é o gradiente aplicado às componentes de \(\vec{r}\;'\). Assim, na equação (16), tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\partial\rho\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}=-\left [ \bigtriangledown '\cdot \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t' \right )\right ]_{t'=t^*}=-\bigtriangledown '\cdot \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )+\frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\cdot \bigtriangledown 't^*=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=-\bigtriangledown '\cdot \vec{i} \left ( \vec{r}\;',t^* \right )+\frac{\partial\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\cdot \frac{\vec{e}_R}{c}\) (17)</p>

<br>

  <p class='mainText'>No segundo membro, o primeiro termo resulta da lei de conservação de carga na qual as derivadas
em ordem às coordenadas são efectuadas com tempo fixo, posteriormente calculado no
tempo retardado; no segundo termo, a primeira parcela efetua as derivadas espaciais da densidade
de corrente incluindo o tempo retardado, corrigindo-se esta expressão na segunda parcela,
com as derivadas espaciais do tempo retardado; no último termo, ficam explicitadas estas
derivadas notando-se, apenas que \(\bigtriangledown 'R=-\bigtriangledown R\). Substituindo na equação (16), tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \varphi\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon _0cr}\int dV'\left [ \bigtriangledown '\cdot \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )-\frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\cdot\frac{\vec{e}_R}{c} \right ]\vec{e}_R\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>No segundo membro, começa-se por incluir o versor \(\vec{e}_R\) nas derivadas de \(\bigtriangledown '\), subtraindo a
ação deste gradiente naquele versor; no primeiro caso, o teorema de Gauss anula o integral e,
no segundo caso, obtém-se termos em \(\frac{1}{R}\)
que se ignoram como atrás se referiu. Assim:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\bigtriangledown \varphi\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon _0cr}\int dV'\left [ \frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\cdot\frac{\vec{e}_R}{c} \right ]\vec{e}_R\) (18)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Está calculada uma das parcelas do campo elétrico na equação (3). Quanto à outra parcela,
usando a equação (12), tem-se, simplesmente:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\partial \vec{A}\left ( \vec{r},t \right )}{\partial t}\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\frac{\partial\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Usando a equação (3), obtém-se finalmente:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )=-\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\left [ \frac{\partial\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}-\left ( \frac{\partial\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\cdot \vec{e}_R \right ) \vec{e}_R \right ]=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\vec{e}_R\wedge \left ( \vec{e}_R\wedge \frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t} \right )\) (19)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Quanto ao campo magnético, as equações (4) e (12) dão, nas aproximações referidas:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\simeq \frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\bigtriangledown \wedge \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\bigtriangledown t^*\wedge \frac{\partial\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=-\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\int dV'\frac{\vec{e}_R}{c}\wedge \frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t^* \right )}{\partial t}\) (20)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Estas expressões serão agora utilizadas para obter uma fórmula aproximada para o campo
de radiação originado por uma carga pontual \((q)\) em movimento. Para isso, começa-se
por discutir o que é o tempo retardado para tal carga. Considere-se a origem de coordenadas
no ponto de observação e designe-se por \(\vec{r}\left ( t \right )\) a posição instantânea da partícula. Então,
usando a equação (13), o tempo retardado é definido por:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(t^*=t-\frac{\left | \vec{r}\left ( t^* \right ) \right |}{c}\) (21)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Imagine-se uma onda esférica que converge para a origem no instante \(t\) (FIGURA 3). A onda
atinge antes a carga no instante retardado e a posição desta nesse instante é a sua posição
retardada \(\vec{r}\left ( t^* \right )\) — tal é o significado da equação (21).</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-03.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 3. Posições atual e retardada para uma carga em movimento \(\left ( \vec{\beta}\equiv \frac{\vec{v}}{c} \right )\).
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>São o instante e posição da carga quando emitiu a radiação que chega ao observador no instante
\(t\). Quando se olha para o Sol agora, observa-se onde estava cerca de 500 segundos antes.
Mas haverá apenas um instante retardado para cada instante t de observação? Se houvesse
dois ou mais, haveria duas ou mais imagens da mesma carga a chegarem ao observador
naquele mesmo instante \(t\), o que só seria possível se a carga tivesse viajado a velocidades
superiores à da luz. Do mesmo modo, só poderia não existir instante retardado, <em>i.e.</em>, não haver
solução da equação (21), se a imaginada onda esférica nunca atingisse a carga, o que manifestamente
significa que a carga viaja a velocidades superiores à da luz. Assim, a realização
pela experiência comum de cada objecto ter uma e uma só imagem significa que só existe uma
solução da equação (21). Da equação (21) deduz-se uma primeira aproximação para o instante
retardado, admitindo que a velocidade da carga é muito menor que a velocidade da luz:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{r}\left ( t^* \right )\simeq \vec{r}\left ( t \right )-\frac{\vec{v}\left ( t \right )}{c}\left | \vec{r}\left ( t^* \right ) \right |\rightarrow \left | \vec{r}\left ( t^* \right ) \right |\simeq \left | \vec{r}\left ( t \right ) \right |-\frac{\vec{r}\left ( t \right )\cdot \vec{v}\left ( t \right )}{c}\) (22)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Assim, para velocidades da carga muito menores que a velocidade da luz, a distância à posição
retardada é, praticamente, a distância à posição atual. Como tal, a equação (21) fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(t^*=t-\frac{\left | \vec{r}\left (  t\right ) \right |}{c}\) (23)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Doravante, a condição de baixas velocidades \(\left ( v\ll c \right )\) será assumida.</p>

  <p class='mainText'>Interessa, aqui, considerar o campo eletromagnético gerado por uma carga
em movimento em pontos muito afastados da região onde se move a carga.
Assim, com uma origem de coordenadas escolhida dentro dessa região, tem-se \(R\approx r\), a distância da origem ao observador, e \(\vec{e}_R\simeq \vec{e}_r\), o versor que
aponta dessa origem para o observador. Nestas condições, as equações (19) e (20) ficam:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\vec{e}_r\wedge \left [ \vec{e}_r\wedge \int dV'\frac{\partial \vec{i}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right )}{\partial t} \right ]=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\vec{e}_r\wedge \left [ \vec{e}_r\wedge \frac{d}{dt}\int dV'\vec{i}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right ) \right ]\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c^2}\frac{\vec{e}_r}{c}\wedge \frac{d}{dt}\int dV'\vec{i}\left ( \vec{r}',t-\frac{r}{c} \right )=\frac{\vec{e}_r}{c}\wedge \vec{E}\left ( \vec{r},t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Para uma corrente de transporte é \(\vec{i}=\rho\vec{v}\), de modo que, para uma carga pontual, \(q\),
tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )\simeq \frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\vec{e}_r\wedge \left [ \vec{e}_r\wedge \vec{a}\left ( t-\frac{r}{c} \right ) \right ]\) (24)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{\vec{e}_r}{c}\wedge \vec{E}\left ( \vec{r},t \right )\) (25)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{a}\) é a aceleração da carga. O campo elétrico é determinado pela aceleração transversal da
carga, <em>i.e.</em>, perpendicular à direção definida pela carga e o observador. Tal facto explica o ângulo
de <em>Brewster</em></html><ref><html>LAGE, E.,
<em>As equações de Fresnel, Rev. Ciência Elem.</em>, V11(1):000. (2023).</html></ref><html>: na ótica geométrica haveria um raio refletido naquela direção, mas os dipolos
que constituem o meio dielétrico estão a vibrar exatamente naquela direção pelo que não há
emissão nessa direção e, portanto, não há onda refletida.</p>

  <p class='mainText'>Note-se que \(\vec{E}\), \(\vec{B}\), \(\vec{e}_r\) formam um triedro direto. Com estes resultados, obtém-se o fluxo
de energia:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{S}\left ( \vec{r},t \right )=\varepsilon _0c^2\vec{E}\wedge \vec{B}=\varepsilon _0c\left | \vec{E}\left ( \vec{r},t \right ) \right |^2\vec{e}_r\) (26)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Estes resultados são válidos, apenas, dentro das hipóteses referidas (grandes distâncias
de observação, cargas com baixas velocidades). A solução exata das equações de campo
para uma carga pontual, designadas por equações de Liénard-Wichert, pode ser encontrada
na bibliografia, no final deste artigo.</p>

  <p class='mainText'>Os exemplos seguintes clarificam estes resultados.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>1.º Oscilador harmónico.</strong></p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 4 representa um oscilador harmónico unidimensional</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2019/033/">O oscilador harmónico</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V7(2):033. (2019). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2019.033">10.24927/rce2019.033</a>.</html></ref><html>, um modelo simples para a
emissão de radiação por dipólos elétricos moleculares. Com o eixo \(z\) na direção das oscilações,
consideram-se coordenadas esféricas para identificar a posição do observador.</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-04.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 4. Carga a oscilar num potencial harmónico.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Designando por \(\omega _0\) a frequência própria do oscilador, a sua posição em qualquer instante é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(z=z_0\cos\left ( \omega _0t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(z_0\) é a amplitude da oscilação. Assim, a aceleração transversal para o observador é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{a}_T=\omega _{0}^{2}z_0\cos\left ( \omega_0t \right )\sin\theta\vec{e}_\theta\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{e}_\theta\) é o versor dirigido no sentido em que \(\theta\) cresce. Usando a equação (24), o campo
elétrico da onda radiada é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )\simeq -\frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\vec{a}_T\left ( t-\frac{r}{c} \right )=-\frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\omega_{0}^{2}z_0\sin\theta\textrm{Re}\left [ e^{-i\omega_0\left ( t-\frac{r}{c} \right )} \right ]\vec{e}_\theta\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A onda recebida pelo observador está polarizada linearmente. Para um observador a grandes
distâncias do oscilador, a superfície esférica da fase pode ser substituída pelo plano tangente,
pelo que o factor de fase se escreve:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\omega_0\left ( t-\frac{r}{c} \right )=\omega_0t-\vec{k}\cdot\vec{r}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>com \(\vec{k}=\frac{\omega_0}{c}\vec{e}_r\) o vetor de onda. Para o observador, trata-se de uma onda plana monocromática
como foi já considerada em <em>Ondas eletromagnéticas</em>.</p>

  <p class='mainText'>O fluxo de energia da radiação emitida é definido pelo vetor de <em>Poynting</em>, equação (26), obtendo-
se para a intensidade (média do fluxo sobre um ciclo de oscilação:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(I\left ( \theta \right )=r^2\left \langle \vec{S}\cdot\vec{e}_r \right \rangle=\varepsilon _0cr^2\left \langle \left | \vec{E} \right |^2 \right \rangle=\frac{\varepsilon _0c}{2}\left ( \frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2}\omega_{0}^{2}z_0\sin\theta \right )^2\) (27)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Esta intensidade é designada por dipolar, sendo preponderante no plano perpendicular às
oscilações (FIGURA 5). A potência total emitida é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\int d\Omega I\left ( \theta \right )=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0}\frac{\left ( \omega_{0}^{2}z_0 \right )^2}{3c^3}\)</p>

<br>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-05.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 5. Emissão dipolar.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Consequentemente, o oscilador perde energia e vai amortecendo as oscilações. A energia do
oscilador é \(E_{osc}=\frac{1}{2}m\omega_{0}^{2}z_{0}^{2}\), pelo que:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{dE_{osc}}{dt}=-\frac{\delta W}{\delta t}\rightarrow \frac{dE_{osc}}{dt}-\gamma E_{osc}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde a constante de amortecimento, \(\gamma\), é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\gamma=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0}\frac{2\omega_{0}^{2}}{3mc^3}\rightarrow \frac{\gamma}{\omega_0}=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0\left ( \frac{c}{\omega_0} \right )}\frac{2}{3mc^2}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A última expressão mostra que a razão \(\frac{\gamma}{\omega_0}\)
é aproximadamente o quociente da energia
potencial elétrica para uma distância da ordem do comprimento de onda \(\left ( \lambda=\frac{2\pi c}{\omega_0} \right )\), pela
energia em repouso do oscilador. Para a carga de um eletrão e para frequências no visível \(\left ( \omega_0\approx 10^{14}s^{-1} \right )\), obtém-se \(\frac{\gamma}{\omega_0}\sim 10^{-9}\).</p>

  <p class='mainText'>Há um outro importante efeito que o amortecimento, qualquer que seja a sua natureza, introduz
na radiação emitida pelo oscilador. Com efeito, a equação de movimento do oscilador dá:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{d^2z}{dt^2}+\gamma\frac{dz}{dt}+\omega_{0}^{2}z=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Procurando soluções da forma \(e^{-i\omega t}\), encontram-se duas soluções complexas para \(\omega\):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\omega\pm =-i\frac{\gamma}{2}\pm \sqrt{\omega_{0}^{2}-\left ( \frac{\gamma}{2} \right )^2}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O movimento genérico do oscilador é, pois, a sobreposição de duas oscilações amortecidas
com a mesma frequência (a parte real de \(\omega_\pm \)). Para simplificar, admita-se que \(\gamma\ll \omega_0\); então,
a solução da equação de movimento é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(z\left ( t \right )=z_0e^{-\frac{\gamma t}{2}}\cos\omega_0t\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A diminuição da amplitude processa-se muito lentamente: o oscilador efectua muitas vibrações
com a frequência \(\omega_0\) antes de diminuir ligeiramente a sua amplitude. Deste modo,
pode-se tomar a média do fluxo de energia radiada para um ciclo de vibração, obtendo-se uma
intensidade que decai exponencialmente no tempo:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(I\left ( t \right )=I_0e^{-\gamma t}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(I_0\) é a intensidade atrás deduzida. Esta constante de amortecimento, \(\gamma\), aparece, também,
como a largura da risca espectral de frequência \(\omega_0\). Com efeito, a aceleração da carga:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(a(t)=\ddot{z}\simeq -\omega_{0}^{2}z_0e^{-\frac{\gamma t}{2}}\cos\left ( \omega_0t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>não é mais monocromática. Um detetor, por exemplo, rede de difração</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/016/">Ondas</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V8(1):016. (2020). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2020.016">10.24927/rce2020.016</a>.</html></ref><html> é sensível às diferentes
frequências na decomposição de Fourier da radiação associada com esta aceleração. Ora:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\hat{a}(\omega)=\int_{0}^{\infty }dte^{i\omega t}a(t)=\omega_{0}^{2}z_0\frac{i\omega-\frac{\gamma}{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^2-i\gamma\omega}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A intensidade registada no detetor é proporcional a \(\left | \hat{a}(\omega) \right |^2\):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\left | \hat{a}\left ( \omega \right ) \right |^2\simeq \left ( \omega_{0}^{2}z_0 \right )^2\frac{\omega^2}{\left ( \omega_{0}^{2}-\omega^2 \right )^2+\gamma^2\omega^2}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>A função da frequência no segundo membro, é conhecida por Lorentziana (FIGURA 6). Está
concentrada nas vizinhanças da frequência natural do oscilador, apresentando uma largura \(\gamma\).
É, então, esta a largura da risca de frequência \(\omega_0\) observada num espectroscópio.</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-06.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 6. <em>Lorentziana</em>.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Imagine-se agora que o oscilador é actuado por uma força externa originada por uma onda
eletromagnética que sobre ele incida. A equação de movimento fica:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{d^2z}{dt^2}+\gamma\frac{dz}{dt}+\omega_{0}^{2}z=\frac{qEa}{m}e^{-i\omega t}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(E_a\) é a amplitude do campo eléctrico da onda incidente. A resposta do oscilador a esta excitação
é a solução particular da equação de movimento, apresentado a amplitude complexa:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(z=\frac{qEa}{m}\frac{1}{\omega_{0}^2{-\omega^2}-i\gamma \omega}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>Como consequência da aceleração assim induzida, o oscilador emite radiação dipolar com
uma intensidade proporcional à média no tempo da aceleração:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(I\propto \frac{\omega^4}{\left ( \omega_{0}^{2}-\omega^2 \right )^2+\gamma^2\omega^2}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(I_a\) é a intensidade da onda incidente. Reencontra-se a Lorentziana: a intensidade
radiada é máxima na ressonância. Na atmosfera, as moléculas comportam-se como osciladores
sob acção da luz solar. As frequências próprias destas moléculas (azoto, oxigénio)
são muito superiores às frequências na luz visível (essas frequências próprias estão
associadas com as energias de fótões que a molécula pode absorver). Nestas condições
\(\left ( \omega_0\gg \omega \right )\), a intensidade radiada é proporcional à quarta potência da frequência (dispersão
<em>Rayleigh</em>, FIGURA 7).</p>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-07.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 7. Difusão <em>Rayleigh</em> no visível.
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>Com o Sol alto, a luz azul é muito mais difundida que a luz vermelha (a frequência do azul é quase
1,6 vezes maior que a do vermelho) — o céu é azul. Mais para Este, a radiação que lá chega já
pouco azul ou amarelo contém pelo que o céu no ocaso é avermelhado.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>2.º A instabilidade do átomo clássico de hidrogénio.</strong></p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 8 representa um eletrão (carga \(−q\), massa \(m\)) descrevendo um movimento circular
(raio \(b\)) em torno de um prótão (carga \(q\), massa \(M\gg m\)) praticamente imóvel. Este seria o
modelo clássico do átomo de hidrogénio.</p>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2023-003-08.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 8. Carga com movimento circular, marcando-se a velocidade (azul) e aceleração (vermelho).
</figcaption></center>
<br>

  <p class='mainText'>A aceleração do eletrão é centrípeta, \(a = \omega^2b\), sendo a frequência angular \(\omega\) determinada
pela lei fundamental da dinâmica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(m\omega^2b=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0b^2}\rightarrow \omega^2b=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0mb^2}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O campo eléctrico de radiação gerado pelo eletrão num ponto a grandes distâncias do átomo
\(\left ( r\gg b \right )\) é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2r}\vec{a}_T\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{a}_T\) é a aceleração transversal, <em>i.e.</em>, perpendicular ao versor \(\vec{e}_r\) das coordenadas esféricas
representadas na figura. Facilmente se encontra:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{a}_T=-\omega^2b\left [ \vec{e}_\theta\cos\theta\cos\left ( \omega t-\phi \right )+\vec{e}_\phi\sin\left ( \omega t-\phi \right ) \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O vetor de <em>Poynting</em> fica:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{S}=\varepsilon _0c\left | \vec{E} \right |^2\vec{e}_r=\varepsilon _0c\left ( \frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2r} \right )^2\left ( \omega^2b \right )^2\left [ \left ( \cos\theta\cos\left ( \omega t-\phi \right ) \right )^2+\left ( \sin\left ( \omega t-\phi \right ) \right )^2 \right ]\vec{e}_r\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Efetuando a média para um período de revolução, obtém-se para a intensidade radiada naquela
direção:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(I\left ( \theta,\phi \right )=\varepsilon _0c\left ( \frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2} \right )^2 \left ( \omega^2b \right )^2\left ( 1+\left ( \cos\theta \right )^2 \right )\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O fluxo de energia dá-se predominantemente na direção perpendicular ao plano do movimento.
Assim, a potência total radiada é:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\int d\Omega I\left ( \theta,\phi \right )=\frac{\varepsilon _0c}{2}\left ( \frac{q}{4\pi\varepsilon _0c^2} \right )^2 \left ( \omega^2b \right )^2\frac{8\pi}{3}=\frac{1}{3}\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0c^3}\left ( \omega^2b \right )^2\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>Note-se que esta também é, fundamentalmente, a energia radiada num acelerador circular
de partículas, embora aí a velocidade das cargas seja próxima da velocidade da luz no vazio.
Por tal motivo, esta radiação é designada por sincrotrónica. Com a aceleração da carga atrás
deduzida, a potência radiada fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{\delta W}{\delta t}=\frac{c}{3b}\frac{\left ( \frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0b} \right )^3}{\left ( mc^2 \right )^2}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Considere-se \(b\simeq 10^{-10}m\left ( 1\dot{\textrm{A}} \right )\) tal como se estima na teoria cinética dos gases. Então,
para a carga do eletrão, é \(\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0b}\simeq 17\textrm{eV}\), enquanto que \(mc^2=5\times 10^5\textrm{eV}\), obtendo-se \(\frac{\delta W}{\delta t}\simeq 2\times 10^{10}\textrm{eV/s}\). Ora, sendo \(b\) o raio da órbita, a energia do electrão no seu movimento
é \(\frac{1}{2}m\left ( \omega b \right )^2-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0b}\simeq -8,5\textrm{eV}\), pelo que em cerca de \(10^{-9}s\) o electrão cairia para
o núcleo! </p>

  <p class='mainText'>Este resultado era do conhecimento de J. J. Thomson quando, em 1897, descobriu o electrão
e apresentou o primeiro modelo do átomo: eletrões em repouso numa esfera de prótões. O modelo
seria descartado após as experiências de difusão de partículas alfa (núcleos de hélio) por
<em>Rutherford</em>, onde se verificou existir um núcleo de raio \(10^{5}\) vezes menor que o raio do átomo.
<em>Rutherford</em> recupera o modelo planetário do átomo, percebendo-se melhor a enorme audácia
de N. Bohr quando, em 1913, postula que o eletrão se situa em órbitas estacionárias onde não
radia, só aparecendo radiação quando o eletrão salta de uma dessas órbitas para outra de menor
energia, emitindo então um fótão, o quantum da radiação.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>3.º A difusão <em>Thomson</em>.</strong></p>

  <p class='mainText'>Imagine-se uma onda electromagnética plana e monocromática a incidir sobre uma carga elétrica
livre. Escolhendo o eixo \(z\) com a direção do vetor de onda incidente, a carga movese no plano perpendicular, oscilando com a frequência da onda incidente e emitindo radiação com
a mesma frequência, designada por difusão <em>Thomson</em> (1898). A aceleração é, simplesmente, \(\vec{a}=\frac{q}{m}\vec{E}_ae^{-i\omega t}\) (ignora-se o efeito, muito menor, do campo magnético). Usando a geometria
da FIGURA 8, encontra-se facilmente a intensidade da radiação emitida:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(I\left ( \theta,\phi \right )=\frac{\varepsilon _cc}{2}\left ( \frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0mc^2} \right )^{2}\left [ \left ( \cos\theta \right )^2\left | E_x\cos\phi+E_y\sin\phi \right |^2+\left | E_x\sin\phi+E_y\cos\phi \right |^2 \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Para radiação incidente não polarizada, obtém-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(I\left ( \theta,\phi \right )=\frac{1}{4}\left ( \frac{q^2}{e\pi\varepsilon _0mc^2} \right )^2\left [ \left ( \cos\theta \right )^2+1 \right ]I_{inc}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(I_{inc}\) é a intensidade da radiação incidente. A intensidade total radiada obtém-se por integração
sobre o ângulo sólido:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(I=\int d\Omega I=\frac{4}{3}\left ( \frac{q^2}{4\pi\varepsilon _0mc^2} \right )^2I_{inc}=\frac{4\pi}{3}r_{c}^{2}I_{inc}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>onde \(r_c\) é o raio clássico do eletrão. Recordar-se-á que \(I\) é a potência total difundida enquanto
\(I_{inc}\) é a potência incidente na unidade de área.</p>

  <p class='mainText'>A difusão <em>Thomson</em> é importante no estudo de plasmas ou em Cosmologia onde aparece
sobreposta à radiação cósmica de fundo.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>4.º Radiação emitia por um magneto em rotação.</strong></p>

  <p class='mainText'>Um pulsar é uma estrela de neutrões com a massa do Sol e o raio da Terra. É o que resta da
explosão de uma supernova, rodando rapidamente (com períodos do milissegundo) e conservando
um fortíssimo campo magnético cujo eixo não coincide com o eixo de rotação. Cargas
elétricas, sobretudo eletrões, confinados pelo campo magnético, descrevem órbitas helicoidais
em torno do eixo magnético, originando uma fortíssima radiação que atingirá a Terra se o planeta,
por acaso, se encontrar na direção do feixe emitido. O movimento das cargas é semelhante
ao que ocorre num solenóide gigante, podendo este ser modelizado por um magneto
em rotação. Considere-se então a radiação emitida por uma magnetização \(\vec{M}\)
definindo uma
corrente \(\vec{i}=\bigtriangledown \wedge \vec{M}\). Substituindo na equação (12), obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{A}\left ( \vec{r},t \right )\simeq \frac{\mu_0}{4\pi r}\int dV'\left ( \bigtriangledown '\wedge \vec{M}\left ( \vec{r}\;',t' \right ) \right )_{t'=t-\frac{R}{c}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde se usou a relação de Maxwell \(\varepsilon _0\mu_0c^2=1\).</p>

  <p class='mainText'>Procedendo como anteriormente, substitui-se o integrando pela identidade:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left ( \bigtriangledown '\wedge \vec{M}\left ( \vec{r}\;',t' \right ) \right )_{t'=t-\frac{R}{c}}=\bigtriangledown '\wedge \vec{M}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )+\frac{1}{c}\bigtriangledown 'R\wedge \dot{\vec{M}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=\bigtriangledown '\wedge \dot{\vec{M}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )-\frac{\vec{e}_R}{c}\wedge \dot{\vec{M}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{R}{c} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, o ponto sobre a magnetização indica derivada em ordem ao tempo. O primeiro termo do
último membro, substituído no integral, dá 0, pelo teorema de Gauss. Deste modo, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{A}\left ( \vec{r},t \right )\simeq -\frac{\mu_0}{4\pi rc}\int dV'\vec{e}_R\wedge \dot{\vec{M}}\left ( \vec{r},t-\frac{R}{c} \right )\simeq -\frac{\mu_0}{4\pi rc}\vec{e}_r\wedge \int dV'\dot{\vec{M}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right )=\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(=-\frac{\mu_0}{4\pi rc}\vec{e}_r\wedge \dot{\vec{\mu}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde se admitiu grande distância entre o magneto e o observador para se ter \(R\simeq r\). Nesta
expressão final, \(\vec{\mu}\) é o momento magnético do sistema. O campo de radiação é agora facilmente
deduzido a partir das equações (3) e (4):</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=\frac{\mu_0}{4\pi rc}\vec{e}_r\wedge \ddot{\vec{\mu}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right )\)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=\bigtriangledown \wedge \vec{A}\simeq -\frac{\mu_0}{4\pi rc}\bigtriangledown \wedge \left [ \vec{e}_r\wedge \dot{\vec{\mu}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right ) \right ]\simeq \)</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\simeq \frac{\mu_0}{4\pi rc^2}\vec{e}_r\wedge \left [ \vec{e}_r\wedge \ddot{\vec{\mu}}\left ( \vec{r}\;',t-\frac{r}{c} \right ) \right ]=\frac{1}{c}\vec{e}_r\wedge \vec{E}\)</p>

  <br>

  <p class='mainText'>O magneto roda com a
velocidade angular \(\vec{\omega}\), pelo que \(\dot{\vec{\mu}}=\vec{\omega}\wedge \vec{\mu}\).
Escrevendo o
momento
magnético como soma de uma componente paralela ao eixo de rotação, \(\vec{\mu}_{\left |  \right |}\), e outra perpendicular
àquele eixo, \(\vec{\mu}_{\perp }\), é apenas esta que varia no tempo, tendo-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\dot{\vec{\mu}}_\perp =\vec{\omega}\wedge \vec{\mu}_\perp \rightarrow \ddot{\vec{\mu}}_\perp =-\omega^2\vec{\mu}_\perp \)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Observe-se que \(\left | \vec{\mu}_\perp  \right |=\mu\sin\alpha\), onde \(\alpha\) é o ângulo entre os eixos de rotação e magnético.
O fluxo de energia radiada é obtido através do vetor de <em>Poynting</em>:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{S}=\vec{E}\wedge \frac{\vec{B}}{\mu_0}=\frac{1}{\mu_0c}\left | \vec{E} \right |^2\vec{e}_r=\frac{\mu_0\omega^4}{\left ( 4\pi c \right )^2c}\left [ \vec{e}_r\wedge \left ( \vec{e}_r\wedge \vec{\mu_\perp }\left ( t-\frac{r}{c} \right ) \right ) \right ]^2\frac{\vec{e}_r}{r^2}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Note-se a proporcionalidade a \(\omega\)</html><ref><html>LAGE, E.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/">Os fundamentos do Eletromagnetismo</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):016. (2021). 

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
                href="http://doi.org/10.24927/rce2021.016">10.24927/rce2021.016</a>.</html></ref><html> tal como na difusão <em>Rayleigh</em>. Para uma observação ao longo
do eixo de rotação, a radiação tem polarização circular e para uma observação normal àquele
eixo, a radiação apresenta polarização linear. Para outras latitudes, a polarização é elíptica.</p>

  <p class='mainText'>A radiação emitida por um pulsar não só informa sobre a sua frequência de rotação como
sobre o momento magnético efectivo e o ângulo que este faz com o eixo de rotação. A frequência
de rotação é extremamente estável tornando os pulsares em relógios de grande precisão
utilizados para navegação de sondas espaciais de longo curso.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>Apêndice: Campo electromagnético gerado por carga pontual em movimento arbitrário.</strong></p>

  <p class='mainText'>Considere-se a FIGURA 3 onde \(\vec{r}(t)\) e \(\vec{r}\) designam respetivamente, a posição instantânea
da carga e a posição do observador (imóvel), ambas referidas a uma origem de um sistema
de eixos cartesianos arbitrário. A posição do observador em relação à carga é notada por \(\vec{R}\equiv \vec{r}-\vec{r}(t)\), definindo-se o versor \(\vec{e}(t)\equiv \frac{\vec{R}(r)}{R(t)}\). O instante retardado, \(t^*\) é determinado
pela solução da equação \(t^*=t-\frac{R^*}{c}\), onde \(R^*=R(t^*)\) é a distância do observador à posição retardada da carga (doravante, o asterisco designa grandezas referidas ao instante
retardado). Os potenciais de Liénard-Wichert são as soluções das equações de Maxwell para
os potenciais eletromagnéticos gerados pela carga pontual:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\varphi\left ( \vec{r},t \right )=\frac{q}{4\pi\varepsilon _0R^*}\frac{1}{1-\frac{\vec{v}^*\cdot\vec{e}^*}{c}}\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{A}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{\vec{v}^*}{c^2}\varphi\left ( \vec{r},t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\vec{v}\) é a velocidade instantânea da carga. O potencial magnético, \(\vec{A}\)
, é idêntico ao que se
obteria para uma carga em movimento uniforme apenas tendo que se referir a velocidade ao
instante retardado. O potencial eléctrico é o potencial de Coulomb calculado na posição retardada
com uma correcção que o faz aproximar do seu valor na posição actual (veja-se a expressão
aproximada para o tempo retardado, equação (22)).</p>

  <p class='mainText'>As intensidades dos campos elétrico e magnético deduzem-se destes potenciais usando as
equações (3) e (4). O cálculo é bastante extenso não sendo aqui reproduzido, remetendo-se o
leitor interessado para a bibliografia sugerida. O resultado final é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{4\pi\varepsilon _0}{q}\vec{E}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{1}{R^{*2}}\frac{1}{\left ( 1-\frac{\vec{v}^*\cdot \vec{e}^*}{c} \right )^3}\left [ \left ( \vec{e}^*-\frac{\vec{v}^*}{c} \right )\left ( 1-\frac{v^{*2}}{c^2} \right )+\frac{R^*}{c^2}\vec{e}^*\wedge \left ( \left ( \vec{e}^*-\frac{\vec{v}^*}{c} \right )\wedge \vec{a}^* \right ) \right ]\)</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=\frac{\vec{e}^*}{c^2}\wedge \vec{E}\left ( \vec{r},t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(\vec{a}\) é a aceleração da carga.</p>

  <p class='mainText'>O campo elétrico é a soma de um campo de Coulomb, variando como \(R^{*^{-2}}\), corrigido por
termos que só dependem da velocidade, com o campo de radiação, variando como \(R^{*^{-1}}\). Para
baixas velocidades da carga, \(v\ll c\), o campo de radiação reduz-se à equação (24).</p>
</html>

=Referências=
<references/>
---- <br>Criada em 26 de Abril de 2022<br> Revista em 14 de Junho de 2022<br>Aceite pelo editor em 15 de Março de 2023<br>
[[Category:Física]]