Relações trigonométricas num triângulo retângulo

Referência : Tavares, J.N., (2013) Relações trigonométricas num triângulo retângulo, Rev. Ciência Elem., V1(1):023
Autores: João Nuno Tavares
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2013.023]

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Razões trigonométricas

Seja \(\alpha\) um ângulo agudo \((0<\alpha<90º)\) de um triângulo retângulo, como se mostra no applet, podemos definir as três razões trigonométricas como:

Figura 1 - Triângulo Retângulo

\(\sin\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto adjacente}}{\mbox{comprimento da hipotenusa}} = \frac{b}{c}\)

\(\tan\alpha =\displaystyle \frac{\mbox{comprimento do cateto oposto}}{\mbox{comprimento do lado adjacente}} = \frac{a}{b}\)

Fórmula Fundamental da Trigonometria

A Fórmula Fundamental da Trigonometria é uma consequência direta da aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo da figura 1. Assim,

\((\mbox{hipotenusa})^2 = (\mbox{cateto oposto})^2+(\mbox{cateto adjacente})^2\)

Usando as letras da figura obtemos,

\(c^2=a^2+b^2\)

Dividindo ambos os membros da equação por \(a^2\neq 0\) concluímos, então, que \(1=\displaystyle \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \), isto é,

\[\qquad \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad\]

Outras relações

Considerando agora a divisão das razões trigonométricas \(\sin\alpha\) e \(\cos\alpha\) obtemos, \(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = {\Large\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha \), isto é,

\[\quad\tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\qquad\]

Olhando novamente para a fórmula fundamental da trigonometria, \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), e aplicando a ambos os membros da mesma uma divisão por \(\,\cos^2\alpha\,\) obtemos mais uma relação trigonométrica:

\[\qquad\tan^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha}\qquad\]

Considerando esta aplicação podemos verificar mais algumas relações trigonométricas, neste caso, entre os dois ângulos agudos do triângulo retângulo representado, \(\alpha\) e \(\beta\). Resulta facilmente do facto da soma dos ângulos internos de um triângulo ser \(180º\) que \(\alpha+\beta=90º\). Como se mostra na aplicação: \[\sin\alpha=\displaystyle\frac{a}{c}=\cos\beta=\cos(90º-\alpha)\qquad\] \[\cos\alpha=\displaystyle\frac{b}{c}=\sin\beta=\sin(90º-\alpha)\qquad\] \[\qquad\sin\alpha = \cos(90º-\alpha)\qquad\] \[\qquad\cos\alpha = \sin(90º-\alpha)\qquad\] Mova os pontos B e C e verifique a validade das relações estabelecidas acima.

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Criada em 09 de Novembro de 2012
Revista em 27 de Dezembro de 2012
Aceite pelo editor em 27 de Dezembro de 2012