https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php?title=Referenciais_uniformes_equiangulares&feed=atom&action=historyReferenciais uniformes equiangulares - História de revisão2024-03-28T12:05:52ZHistórico de edições para esta página nesta wikiMediaWiki 1.21.1https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php?title=Referenciais_uniformes_equiangulares&diff=29688&oldid=prevAdmin: Criou nova página com '<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Sá, N., (2021) '' Referenciais uniformes equiangulares'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(2):...'2021-06-25T09:36:26Z<p>Criou nova página com '<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Sá, N., (2021) '' Referenciais uniformes equiangulares'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(2):...'</p>
<p><b>Nova página</b></p><div><span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Sá, N., (2021) '' Referenciais uniformes equiangulares'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(2):047<br />
<br><br />
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Nuno Sá</i></span><br><br />
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br><br />
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2021.047 https://doi.org/10.24927/rce2021.047]]</i></span><br><br />
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2021-047.pdf" target="_blank"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html><br />
----<br />
<br />
== Resumo ==<br />
<br />
Um conjunto de linhas diz-se equiangular se os ângulos internos entre qualquer par de linhas for o mesmo. E diz-se uniforme se se espalhar pelo espaço da maneira mais uniforme possível (num sentido descrito mais precisamente no texto). Os versores dum conjunto de linhas uniforme e equiangular constituem uma base para um referencial uniforme equiangular, sendo os referenciais cartesianos um caso particular deste tipo de referencial que ocorre em todas as dimensões, mas podendo haver outros, o que depende crucialmente da dimensão do espaço. O problema de classificar todos os referenciais uniformes equiangulares para dimensões arbitrárias é um problema em aberto na Matemática.<br />
<br />
<br />
<br />
<html><br />
<p class='mainText'><strong>Referenciais uniformes</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Um referencial uniforme normalizado para um espaço vetorial \(d\)-dimensional é um conjunto<br />
de \(n\geq d\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para o qual qualquer vetor desse espaço admite a decomposição</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\vec{v}=\frac{d}{n}\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\vec{u}_{i}\) sendo \(c_{i}=\vec{u}_{i}\cdot \vec{v}\) (1)</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Quando \(n = d\) o referencial uniforme é uma base ortonormada. Quando \(n > d\) a redundância<br />
da informação contida num maior número de componentes \(c_{i}\) do que a dimensão do<br />
espaço encontra aplicações teóricas na Teoria da Informação e práticas nas Telecomunicações.</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Um referencial uniforme pode ser representado na forma duma matriz \(u\) cujas componentes<br />
\(\mu_{ki}\) são a \(k\)-ésima coordenada do vetor \(\vec{u}_{i}\)</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(u=\begin{bmatrix}<br />
\mu_{11} & \mu_{12} & ... & \mu_{1n}\\<br />
... & ... & ... & ...\\<br />
\mu_{d1} & \mu_{d2} & ... & \mu_{dn}<br />
\end{bmatrix}\) (2)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Pode-se mostrar</html><ref><html>MALOZEMOV, V. & PEVNYI, A.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-009-9366-6">Equiangular tight frames</a></em>, <em>Pevnyi, Jour. Math. Sci.</em>, 157, 6, 789. 2009.</html></ref><html> que a condição (1) é equivalente a</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(u\cdot u^{T}=\frac{n}{d}I_{d}\). (3)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Retas equiangulares</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Um conjunto de retas equiangulares pode ser descrito por \(n\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para os<br />
quais o produto interno entre qualquer par deles seja o mesmo:</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left ( u\cdot u^{T} \right )_{ij}=\vec{\mu}_{i}\cdot\vec{\mu}_{j}=\left\{\begin{matrix}<br />
1 & \textrm{se} & i=j\\<br />
\pm p & \textrm{se} & i\neq j<br />
\end{matrix}\right.\) (4)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Os dois sinais possíveis para o produto interno refletem a arbitrariedade na escolha do<br />
sentido do vetor que representa cada reta. O ângulo comum feito entre todos os pares de<br />
retas é \(\theta=\textrm{cos}^{-1}p\).</p><br />
<br />
<p class='mainText'>A existência de retas equiangulares é um problema antigo, dependente da dimensão \(d\)<br />
do espaço e do número \(n\) de retas. Pode não ter solução ou ter uma ou mais soluções, cada<br />
uma para um diferente valor do “ângulo” \(p\), mas tem que ser \(n\leq d\left ( d+1 \right )/2\). Este valor<br />
máximo de \(n\) só é possível para certas dimensões</html><ref><html>LEMMENS, P. & SEIDEL, J.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://research.tue.nl/en/publications/equiangular-lines">Equiangular lines</a></em>, <em>Jour. Algebra</em>, 24, 494. 1973.</html></ref><html>. Alguns conjuntos concretos de linhas<br />
equiangulares em diversas dimensões podem ser encontrados em</html><ref><html>TREMAIN, J.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://arxiv.org/pdf/0811.2779.pdf">Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets</a></em>, <em>arXiv:0811.2779</em>. 2008.</html></ref><html>.</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Quando os vetores dum referencial uniforme representam retas equiangulares, eles podem<br />
então ser descritos por matrizes retangulares \(n \times d\) que obedeçam às equações (3) e<br />
(4) para \(u\cdot u^{T}\) e para \(u^{T} \cdot u\). Pode-se mostrar</html><ref><html>MALOZEMOV, V. & PEVNYI, A.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-009-9366-6">Equiangular tight frames</a></em>, <em>Pevnyi, Jour. Math. Sci.</em>, 157, 6, 789. 2009.</html></ref><html><sup>,</sup> </html><ref><html>SUSTIK, M. <em>et al.</em>,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://www.researchgate.net/publication/264498243_Complex_Two-Graphs_via_Equiangular_Tight_Frames">Complex Two-Graphs via Equiangular Tight Frames</a></em>, <em>Lin. Alg. Appl.</em>, 426, 619. 2007.</html></ref><html> que, quando a solução existe, o ângulo \(p\)<br />
entre as linhas é dado por</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(p^{2}=\frac{n-d}{d\left ( n-1 \right )}\) (5)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>e que tem que ser</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(d\leq n\leq \frac{d\left ( d+1 \right )}{2}\) (6)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Exemplos</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Na FIGURA 1 apresentamos três casos para ilustrar o conceito de referencial uniforme<br />
equiangular. Temos:</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Esquerda \(u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\<br />
0 & \frac{1}{\sqrt{2}}<br />
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}<br />
\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\<br />
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}<br />
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\<br />
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1<br />
\end{bmatrix}\)</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Meio \(u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\<br />
0 & \frac{1}{\sqrt{v}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}<br />
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}<br />
2 & 0\\<br />
0 & 2<br />
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\<br />
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\<br />
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\<br />
-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1<br />
\end{bmatrix}\);</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Direita \(u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\<br />
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}<br />
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}<br />
\frac{3}{2} & 0\\<br />
0 & \frac{3}{2}<br />
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}<br />
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\<br />
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\<br />
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1<br />
\end{bmatrix}\).</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-01.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 1. O sistema de eixos da esquerda é equiangular, pois só tem duas retas, mas não é uniforme - falha a equação (3).<br />
O do meio é uniforme mas não é equiangular, pois cada reta faz ângulos de 45° ou de 90° com as outras - falha a equação<br />
(4). O da direita é um referencial uniforme equiangular.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Soluções</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Não dispomos de um método sistemático para encontrar referenciais uniformes equiangulares<br />
para todas as dimensões. Sabemos que existem as seguintes soluções triviais:</p><br />
<br />
<p class='mainText'><br />
<ul><br />
<li>Para \(d = 1\) qualquer valor de \(n\) fornece uma solução com \(p = 1\).</li><br />
<li>Quando \(n = d\) os referenciais ortonormados são soluções com \(p = 0\).</li><br />
<li>Quando \(n = d + 1\) há sempre solução com \(p = 1/d\).</li><br />
</ul><br />
</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Fora destes casos, sabemos que, para que haja solução (mas sem a garantir), é necessário<br />
que se verifiquem as seguintes condições</html><ref><html>SUSTIK, M. <em>et al.</em>,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://www.researchgate.net/publication/264498243_Complex_Two-Graphs_via_Equiangular_Tight_Frames">Complex Two-Graphs via Equiangular Tight Frames</a></em>, <em>Lin. Alg. Appl.</em>, 426, 619. 2007.</html></ref><html>:</p><br />
<br />
<p class='mainText'><br />
<ul><br />
<li>Se \(n = 2d\)</li><br />
</ul><br />
</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(n=a^{2}+b^{2}+1\) com \(a,b\in \mathbb{N}\) (7)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><br />
<ul><br />
<li>Caso contrário</li><br />
</ul><br />
</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\sqrt{\frac{d\left ( n-1 \right )}{n-d}}\) e \(\sqrt{\frac{\left ( n-d \right )\left ( n-1 \right )}{d}}\) são inteiros ímpares. (8)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Para as dimensões mais baixas conhecem-se todas as soluções. Em duas dimensões só<br />
há as duas soluções triviais: os dois eixos cartesianos e os três eixos do exemplo da direita<br />
na FIGURA 1. Em três dimensões há as três soluções representadas na FIGURA 2, uma delas<br />
não sendo trivial. Na TABELA 1 indicamos os valores de \(n\) e de \(p\) para as soluções não triviais<br />
existentes até à dimensão \(d = 11\). Tabelas mais extensas podem ser encontradas em4.</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-02.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 2. Em 3 dimensões há três soluções: \(n = d = 3\) eixos ortogonais fazendo ângulos de 90° (trivial), \(n = d+1 = 4\) eixos<br />
fazendo ângulos de \(\textrm{cos}^{-1}\left ( 1/3 \right )=70,53\)° (trivial) e \(n = 2d = 6\) eixos fazendo ângulos de \(\textrm{cos}^{-1}\left ( 1/\sqrt{5} \right )=63,43\).<br />
Todas elas são facilmente visualizáveis usando os eixos que unem as faces opostas ou os vértices opostos de sólidos platónicos.<br />
No primeiro caso as 6 faces dum cubo ou os 6 vértices dum octaedro, no segundo caso as 8 faces dum octaedro ou os<br />
8 vértices dum cubo e no terceiro caso as 12 faces dum dodecaedro ou os 12 vértices dum icosaedro.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figcaption>TABELA 1. O problema dos referenciais uniformes equiangulares é muito irregular na dimensão: para certas dimensões não<br />
há soluções não triviais e para outras há mais do que uma.<br />
</figcaption><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-t1.jpg"><br />
</figure><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Espaços complexos</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>A definição de referencial uniforme equiangular, equações (3) e (4), mantém-se para espaços<br />
vetoriais complexos, apenas com a seguinte modificação em (4):</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left | \vec{\mu}_{i}\cdot \vec{\mu}_{j} \right |=p\) se \(i\neq j\) (9)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>As equações (2) e (5) mantêm-se válidas no caso complexo, mas não (6), que passa a ser</html><ref><html>RENES, J., J.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1737053">Symmetric informationally complete quantum measurements</a></em>, <em>Math Phys.</em>, 45, 2171. 2004.</html></ref><html>:</p><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(d\leq n\leq d^{2}\). (10)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Os referenciais uniformes equiangulares máximos, isto é, para os quais \(n=d^{2}\), desempenham<br />
um importante papel na Teoria da Informação Quântica, visto que os espaços vetoriais<br />
da Mecânica Quântica são complexos, com possíveis aplicações no domínio da computação<br />
quântica.</p><br />
</html><br />
<br />
=Referências=<br />
<references/><br />
---- <br>Criada em 23 de Fevereiro de 2021<br> Revista em 19 de Março de 2021<br> Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2021<br><br />
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