Potências de números complexos (de expoente natural)

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Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2014) Potências de números complexos (de expoente natural), Rev. Ciência Elem., V2(3):325
Autores: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2014.325]


Índice


Definição

As potências de expoente natural (inteiro positivo) de um número complexo \(z\) são os números complexos \(w\) tais que \(w=z^n\) com \(n \in \mathbb{N}\).

Potências de \(i\)

Sabemos que \(i\), unidade imaginária, é uma solução da equação \(x^2+1=0\), sendo \(i=\sqrt{-1}\). Portanto, as primeiras potências de \(i\) correspondem a

\(i^2=-1\)

\(i^3=i^2\times i=-1\times i=-i\)

\(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\)

\(i^5=i^4\times i=1\times i=i\)

\(i^6=(i^2)^3=(-1)^3=-1\)

\(i^7=i^6\times i=-1\times i =-i\)

\(i^8=(i^4)^2=i^2=-1\)

Considerando \(n \in \mathbb{N}\) (\(n\) inteiro positivo), facilmente se prova que as potências de \(i\) de expoente superior a 3 são dadas por:

\[i^{4k}=1\qquad\qquad\]

\[i^{4k+1}=i \qquad\qquad\]

\[i^{4k+2}=-1 \qquad\qquad\]

\[i^{4k+3}=-i \qquad\qquad\]


  • Atenção

\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(\neq\) \(\sqrt{(-1)\times (-1)} =\sqrt{1}=1 \)

\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}\) \(=\) \(i\times i=i^2=-1\)

Potências de números complexos

Forma algébrica

Considerando \(z\) um número complexo representado na sua forma algébrica, \(z=a+bi\), com \(a\) e \(b \in \mathbb{R}\), calculamos as potências de \(z\) de expoente natural do seguinte modo:

\( z^2 \displaystyle =(a+bi)^2=a^2+2abi+b^2i^2=a^2+2abi-b^2= (a^2-b^2)+(2ab)i\)

\(z^3 \displaystyle =z^2\cdot z=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a+bi)=a^3-a b^2+2 a^2 bi+a^2 bi-b^3 i+2a b^2 i^2=a^3-3ab^2+3a^2bi-b^3i=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i\)

\(z^4 \displaystyle =z^2\cdot z^2=(a^2-b^2+2abi)\cdot (a^2-b^2+2abi)=a^4-a^2b^2+2a^3bi-b^2a^2+b^4-2ab^3i+2a^3bi-2ab^3i+4a^2b^2i^2=\)

\(\qquad =a^4-6a^2b^2+4a^3bi-4ab^3i+b^4=\) \((a^4-6a^2b^2+b^4)+(4a^3b-4ab^3)i\)

\(\vdots\)

Recorrendo ao Binómio de Newton podemos calcular as potências de expoente natural de qualquer número complexo da seguinte forma:

\(\displaystyle (a+bi)^n={n \choose 0}a^n\cdot (bi)^0+{n \choose 1}a^{n-1}\cdot(bi)^1+ \quad \cdots \quad + {n \choose n} a^0\cdot(bi)^n\)

onde \(\displaystyle {n \choose k}\) são os coeficientes binomiais, \(n\) e \(k\) inteiros, \(k \le n \), definidos como, \(\displaystyle {n \choose k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)

Forma polar

Considerando agora um número complexo \(z\) representado na forma polar, \(z=|z| cis (\alpha)=|z| \left(\cos\alpha + i\sin\alpha \right)=e^{i\alpha}\) (fórmula de Euler). Podemos calcular as potências de \(z\):

\(z^2=(|z| cis (\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))= |z|^2 cis(2\alpha)\)

\(z^3=z^2 \cdot z=(|z|^2 cis(2\alpha))\cdot (|z| cis (\alpha))=|z|^3 cis(3\alpha) \)

\(\vdots\)

\(\displaystyle z^n=(|z| cis(\alpha))^n=|z|^n cis(n\alpha)\),

através da fórmula de De Moivre \((cis(\alpha))^n = cis(n\alpha)\).

Determinar potências de números complexos (applet)

                    Potências de números complexos (fórmula de De Moivre).

Escolha o número complexo \(z\) movendo o ponto a azul. Em seguida clique no botão play para ver as sucessivas potências de \(z\).

Qual a diferença de comportamento da sucessão \((z^n)_{n=1,2,...}\),

(i). quando \(|z|<1\), isto é, quando \(z\) está dentro do círculo unitário centrado na origem,

(ii). quando \(|z|=1\), isto é, quando \(z\) está sobre a circunferência unitária centrada na origem, e

(iii). quando \(|z|>1\), isto é, quando \(z\) está fora do círculo unitário centrado na origem?

Ver



Criada em 12 de Novembro de 2012
Revista em 15 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 15 de Fevereiro de 2013