Pi

Referência : Tavares, JN, Geraldo, A (2017) Pi, Rev. Ciência Elem., V5(01):004
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues
DOI: doi.org/10.24927/rce2017.004

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Resumo

O número \(\pi\) define-se através de

\(\pi=\displaystyle \frac{\mbox{perímetro de uma circunferência}}{\mbox{diâmetro dessa circunferência}}\)

A definição anterior tem uma dificuldade - como se define o perímetro de uma circunferência? No seu livro "Medição de um círculo", Arquimedes mostrou que \(\pi\) tem um valor situado entre \(3\displaystyle \frac{10}{71}\) e \(3\displaystyle \frac{10}{70}\). A ideia é encaixar a circunferência entre polígonos regulares, respetivamente inscritos e circunscritos, com um número de lados cada vez maior.

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Figura 1

A figura 1 mostra uma circunferência de raio 1, e um polígono regular inscrito com n lados (na figura n=5). \(s_n=AB =\) comprimento de um lado desse polígono. D bisseta o arco AB e portanto \(s_{2n}=AD=DB\) = comprimento de um lado de um polígono regular inscrito com 2n lados.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ACD, retângulo em C, obtemos

\(s_{2n}^2=AD^2=AC^2+CD^2=AC^2+(OD-OC)^2=\left(\displaystyle \frac{s_n}{2}\right)^2+(1-OC)^2\)

Uma segunda aplicação do teorema de Pitágoras, desta vez ao triângulo ACO, retângulo em C, dá

\(OC=\sqrt{OA^2-AC^2}= \sqrt{1- \left(\displaystyle \frac{s_n}{2}\right)^2}\)

Substituindo na primeira equação e fazendo alguns cálculos simples obtemos então (verifique)

\(s_{2n}=\sqrt{2-\sqrt{4-s_n^2}}\)

o que nos permite calcular \(s_{2n}\) à custa de \(s_n\).

Figura 2

Se agora fizermos n=6 (um hexágono regular inscrito), sabemos que \(s_6=1\) (figura 2). Aplicando sucessivamente a fórmula anterior, e após alguns cálculos simples, vem que

\(\begin{eqnarray*} s_{12} &=& \sqrt{2-\sqrt{3}}\nonumber\\ s_{24} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\nonumber\\ s_{48} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\nonumber\\ s_{96} &=& \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}\nonumber \end{eqnarray*}\)

e assim sucessivamente.

O perímetro de um polígono regular de 96 lados, inscrito numa circunferência de raio 1, é pois igual a \(\displaystyle 96\times s_{96}\) o que dá uma boa aproximação do perímetro dessa circunferência. Como

\(\pi=\displaystyle \frac{\mbox{perímetro de uma circunferência}}{\mbox{diâmetro dessa circunferência}}\),

obtemos a seguinte aproximação de \(\pi\)

\(\pi\approx 48 \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}\approx 3.14103 \approx 3\displaystyle \frac{10}{71}\)

Figura 3

Arquimedes repetiu o mesmo argumento, agora para uma sequência de polígonos regulares circunscritos de 6, 12, 24, 48 e 96 lados. O leitor poderá deduzir a fórmula seguinte (veja a figura 3 e as notações lá usadas):

\(S_{2n}=\displaystyle \frac{2\sqrt{4+S_n^2}-4}{S_n} \ \ \ \ \ \ \ \ (*)\)

Figura 4

Arquimedes começa mais uma vez com um hexágono, mas desta vez circunscrito (como na figura 4). Deduz então que \(S_6=2 \sqrt{3}/3\) e, usando a fórmula de recorrência (*), obtém os valores de \(S_{12},S_{24},S_{48}\) e, finalmente, \(S_{96}\). Por aproximação, calcula então o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito à circunferência de raio 1, igual a \(96\times S_{96}\) e, finalmente, dividindo esse perímetro por 2 (= ao diâmetro da circunferência de raio 1), obtem o valor aproximado de \(\pi\)(por excesso):

\(\pi\approx 3.14271\approx \displaystyle3\frac{1}{7}\)

Referências

C.H. Edwards, Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag, New York, 1979.
T.L. Heath, The Works of Archimedes. Cambridge University Press, 1897 (Dover reprint).

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Criada em 12 de Novembro de 2012
Revista em 15 de Março de 2017
Aceite pelo editor em 15 de Março de 2017