Números de Fibonacci
Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2019) Números de Fibonacci, Rev. Ciência Elem., V7(2):018
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [http://doi.org/10.24927/rce2019.018]
Índice |
Números de Fibonacci
| Os números de Fibonacci são números inteiros definidos pela fórmula de recorrência seguinte:
\(F(0)=1, \ \ F(1)=1, \ \ F(n+2)=F(n+1)+F(n), \ \ \forall n=2,3,...\) A partir do terceiro, cada número é pois igual à soma dos dois imediatamente anteriores. Clique no play do applet para gerar os sucessivos números de Fibonacci. É interessante notar que a sucessão \(\displaystyle\frac{F(n)}{F(n-1)}\) converge para um limite \(\Phi\) que é o chamado número de ouro. |
Neste modelo:
\(F(n)=\mbox{número total de pares de coelhos no ano}\ \ n\)
O processo inicia-se no ano \(n=0\) com um único par de coelhos jovens. Ao fim de cada ano, cada par dá origem a um novo par de descendentes. No entanto, cada par necessita de um ano para procriar o seu par de descendentes.
Fórmula de Binet
É possível mostrar a seguinte fórmula, chamada fórmula de Binet
\( F(n)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n- \left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) \)
Algoritmos em \(\mathcal{PYTHON}\)
Apresentamos em seguida dois procedimentos em \(\mathcal{Python}\) para a obtenção de qualquer número da sequência de números de Fibonacci, um deles um algoritmo recursivo e o outro um algoritmo iterativo.
| Algoritmo recursivo para números de Fibonacci
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Algoritmo iterativo para números de Fibonacci
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Depois de uma das funções anteriores estar definida, quer seja a recursiva ou a iterativa, para obtermos, por exemplo, \(F(8)\) basta usarmos a instrução \(\mbox{fibonacci}(8)\).
No caso de querermos obter uma lista dos números de Fibonacci, e não só números isolados, podemos utilizar o procedimento abaixo descrito (em que o argumento da função \(\mbox{range}\) representa o número de números da sequência que queremos obter). No exemplo abaixo obtemos os dez primeiros números de Fibonacci.
Recursos relacionados disponíveis na Casa das Ciências:
Criada em 10 de Dezembro de 2012
Revista em 7 de Fevereiro de 2019
Aceite pelo editor em 21 de Junho de 2019
