Mostrar código-fonte de Modelo SIR em epidemiologia

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b>Tavares, J, (2017) Modelo SIR em epidemiologia, [http://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V5(2):020
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br> <span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<b>DOI</b>: <i>[http://doi.org/10.24927/rce2017.020 http://doi.org/10.24927/rce2017.020]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/pdf/2017/020/" target="_blank">
                <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
----

=Resumo=
Neste pequeno texto, procura-se ilustrar, através de um modelo simples (SIR), como a Matemática pode ser útil na previsão da evolução de uma epidemia e na tomada de decisão sobre estratégias de combate à sua propagação (vacinação, quarentenas, etc.).


<html>
<strong>1. introdução</strong>
    <p><strong>1.1.</strong> Ao longo dos séculos, tem havido
        muitos exemplos de epidemias de várias doenças com efeitos dramáticos na
        população humana (e não só). Uma das mais conhecidas é a Peste Negra na
        Europa no século XIV</html><ref>https://pt.wikipedia.org/wiki/Peste_negra</ref><html>, que dizimou
        entre 25 a 75 milhões de pessoas (cerca de um terço da populacão
        europeia da altura!). Nos tempos coloniais, a propagação de doenças
        europeias, tais como o sarampo e a varíola, teve um impacto desastroso
        sobre certas populacões indígenas que não tinham desenvolvido
        resistência a essas doenças.
    <p>Hoje em dia, existem ainda exemplos trágicos - a SIDA,
        o vírus Ébola, o ZIKA e muitos outros.
    <p><strong>Se conseguirmos compreender como uma doença se
        propaga numa determinada população, então estaremos melhor equipados
        para a conter, através de vacinação ou quarentena.</strong>
    <br>
    <p><strong>1.2.</strong> Muitas doenças são propagadas por
        indivíduos infectados que, por contacto com in- divíduos susceptíveis,
        os contagiam. Estas incluem gripe, sarampo, varicela, febre glandular e
        SIDA. Por outro lado, a malária é transmitida por meio de um hospedeiro,
        um mosquito, que transporta a doença de indivíduo para indivíduo.
        Algumas doenças são mais contagiosas do que outras. Sarampo e gripe são
        altamente contagiosas, enquanto a febre glandular é muito menos. Muitas
        doenças, tais como papeira e sarampo, conferem uma imunidade ao longo da
        vida; no entanto, gripe e febre tifóide têm períodos curtos de imunidade
        e podem ser contraídas mais do que uma vez.
    <br>
    <p><strong>1.3.</strong> Comecemos por esclarecer alguns
        conceitos prévios que surgem recorrentemente na modelação de
        epidemias.
    <ul>
        <li>O <strong>período de incubação</strong> da doença é o tempo entre a
            infecção e a aparência visível de sintomas. Isto não deve ser
            confundido com o
        </li>
        <li><strong>período de latência</strong>, que é o período de tempo entre
            a infecção e a capacidade de infectar alguém por contágio.
        </li>
    </ul>
    <p>O período de latência é mais curto do que o período de
        incubação – um indivíduo pode estar a propagar a doença, sem ter até
        consciência de que a tem! Para o sarampo, o período de incubação é de
        cerca de 2 semanas e o período de latência é aproximadamente 1 semana.
    <p>Vamos neste Módulo aprender a modelar matematicamente a
        dinâmica da propagação de uma doença (gripe, para sermos mais
        concretos), adoptando algumas hipóteses simplificadoras (como aliás se
        faz em qualquer modelo matemático) que serão enunciadas já de seguida.
    <br>
    <p><strong>2. hipóteses de modelação</strong>
    <p><strong>2.1.</strong> Vamos modelar a dinâmica de uma
        doença infecciosa (gripe, por exemplo), que se propaga numa certa
        população (alunos de uma escola por exemplo).
    <p>Para isso, começamos por dividir a população em 3
        grupos ou classes:
    <ul>
        <li><strong>S = {Susceptíveis}</strong> - os que podem apanhar gripe,
            mas que actualmente não estão infectados;
        </li>
        <li><strong>I = {Infecciosos}</strong> - os que estão infectados com
            gripe e podem contagiá-la a outros;
        </li>
        <li><strong>R = {Removidos}</strong> - os que não podem apanhar gripe,
            ou porque recuperaram perma- nentemente e ficaram imunes (pelo menos
            durante o período em análise), ou porque são naturalmente imunes ou
            porque morreram!
        </li>
    </ul>
    <br>
    <p><strong>2.2.</strong> Por ser mais simples, vamos
        modelar a dinâmica da doença, isto é, a evolução temporal dos tamanhos
        de cada uma das classes acima referidas, usando tempo discreto:
    <p>\(t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, ..., t_{n}, t_{n +
        1}\)
    <p>O intervalo entre dois períodos consecutivos \(\Delta t
        =
        t_{n + 1} - t_{n}, n = 1, 2, 3, ...\) supõe-se constante – é medido numa
        unidade de tempo apropriada (hora, dia, semana, ano, etc., conforme o
        contexto).
    <p>Portanto
    <p>\(t_{n + 1} = t_{n} + \Delta t, n = 0, 1, 2, ...\)
    <br>
    <p><strong>2.3.</strong> Seja \( t \enspace \epsilon \)
        {\( t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, ... \)} um qualquer dos instantes acima
        referidos, e representemos por \( S(t) \), \( I(t) \) e \( R(t) \) o
        número de indivíduos, no instante <strong>R</strong>, respectivamente. A
        modelação da forma como evoluem estes grupos, em interacção uns com os
        outros, conduzirá a um sistema acoplado de equações.
    <p>Matematicamente é mais conveniente manter o número
        total de indivíduos constante, e por isso contamos todos os indivíduos
        mortos em <strong>R</strong>. Assim, supomos que
    <p>\( S(t) + I(t) + R(t) \equiv N \enspace (constante)
        \enspace \enspace \enspace\)
        (2.1)
    <p>para todo o \( t \enspace \epsilon \) {\(
        t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, ... \)}. Em geral pomos \( t_{0} = 0 \).
    <br>
    <p><strong>2.4.</strong> As hipóteses do modelo são as
        seguintes:
    <ul>
        <li><strong>H1</strong> A população em análise é muito numerosa o que
            permite ignorar efeitos aleatórios, devidos às diferenças entre os
            indivíduos e outros factores.
        </li>
        <li><sup>H2</sup> Também assumimos que, em qualquer momento, a população
            é homogeneamente misturada, isto é, supomos que os infecciosos
            (infectados e contagiosos) e susceptíveis estão sempre distribuídos
            aleatoriamente na área em que a população vive (não se consideram
            eventuais heterogeneidades espaciais).
        </li>
        <li><strong>H3</strong> A doenca é transmitida por proximidade ou
            contacto entre um infeccioso e um susceptível.
        </li>
        <li><strong>H4</strong> Um susceptível fica infectado logo após a
            transmissão, isto é, ignoramos o período de latência da doença,
            fixando-o igual a zero.
        </li>
        <li><strong>H5</strong> Os infectados eventualmente recuperam e, uma vez
            recuperados, ficam para sempre imunes (pelo menos durante o periodo
            em análise).
        </li>
        <li><strong>H6</strong> Ignoramos nascimentos, mortes ou efeitos
            migratórios.
        </li>
    </ul>
    <br>
    <p><strong>2.5.</strong> Consideremos agora um intervalo
        de tempo \( \left[ t, \enspace t + \Delta t \right] \), onde \( t
        \enspace \epsilon \) {\(t_{0}, t_{1}, t_{2}, t_{3}, ... \)}, e
        representemos por
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2017-020-00.jpg" width="500">
    </figure>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p>É claro que
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org//static/images/articles/2017-020-01.jpg" width="500">
    </figure>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p><strong>2.6</strong> Vamos calcular em primeiro lugar o
        { Número de infetados recuperados no intervalo \( \left[ t, \enspace
        \Delta t \right] \) }. Este número não deve depender do número de
        indivíduos suscetíveis \( S(t) \), mas apenas do número de infetados \(
        I(t) \). No nosso modelo, assumimos que esse número (de infetados
        recuperados) é directamente proporcional ao número de infetados \( I(t)
        \) e também à duração do intervalo de tempo \( \Delta t \). Escrevemos
        pois
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2017-020-02.jpg" width="500">
    </figure>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p>onde \( \gamma \) é uma constante positiva de
        proporcionalidade, chamada <strong>taxa de recuperação</strong> ou
        <strong>taxa de remoção</strong>. \( \gamma \) é uma taxa
        <em>per-capita</em> e por unidade de tempo. O seu recíproco, \( 1/
        \gamma \), pode ser identificado como o tempo de residência no
        compartimento infeccioso, isto é, o tempo médio em que um indivíduo é
        infecioso. Para a gripe, o período infecioso é tipicamente de 1 a 3
        dias. Se o considerarmos igual a 2 dias, por exemplo, isto significa que
        a taxa de recuperação é \( \gamma = 1/2 \) (por indivíduo e por dia) e
        portanto num dia metade dos infetados recuperam – passam para o
        compartimento <strong>R</strong>.
    <br>
    <p>2.7. Vamos agora calcular { Número de suscetíveis
        infetados no intervalo \( \left[ t, \enspace
        \Delta t \right] \) }. Para modelar este número, podemos pensar da
        seguinte forma – é claro que o número de indivíduos infetados aumenta
        quando suscetíveis contraem a doença por contágio (que envolve algum
        tipo de contacto entre um suscetível e um infetado).
    <p>Suponhamos que cada indivduo contacta, por unidade de
        tempo, em média com \( c \) outros, escolhidos aleatoriamente. \( c \)
        diz-se a <strong>taxa de contacto <em>per-capita</em> e por unidade de
            tempo</strong>. Pela hipótese [H2] — população homogeneamente
        misturada — \( c \) é constante (uma hipótese muito questionavel!...).
    <p>A doença é transmitida apenas quando uma pessoa
        infeciosa contacta com um suscetível. Se a população total é constituída
        por \( N \) pessoas, a probabilidade de que alguém encontre um
        suscetível é igual a \( S(t)/N \), e portanto, uma pessoa infeciosa tem
        (em média) contacto com \( cS(t)/N \) susceptíveis, por unidade de
        tempo. Se \( p \) é a probabilidade de que um contacto resulte em
        contágio e, uma vez que existem \( I(t) \) indivíduos infetados no
        total, isso significa que o número de novas infeções, no intervalo de
        tempo \( \left[ t, \enspace \Delta t \right] \), é \( \left(cpS(t)I(t)/N
        \right) \Delta t \) e podemos escrever
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2017-020-03.jpg" width="500">
    </figure>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p>onde pusemos \( \beta = cp \). A constante \( \beta \)
        é chamada o coeficiente de transmissão e tem unidades tempo<sup>−1</sup>.
    <p>Reunindo todas estas informações, obtemos as equações
        seguintes para as variações do número de suscetíveis, infetados e
        recuperados no intervalo \( \left[ t, \enspace \Delta t \right] \)</p>
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2017-020-04.jpg" width="500">
    </figure>
</center></html>


[[Ficheiro:2017-020-05.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 1. Diagrama de fluxo do modelo SIR.''']]


<html>
<p>&nbsp;</p>
    <p>Esta discussão pode ser resumida e visualidada no
        diagrama de fluxo da Figura 1, cuja explicação deixamos à imaginação do
        leitor.
    <p>Um bom exercício é pensar como mudar as hipóteses
        simplicadoras noutras mais realistas e desenhar diagramas análogos ao da
        Figura 1 e, a partir deles, escrever equações análogas às equações SIR
        (2.6). Um exemplo possível é o da Figura 2 – qual a interpretação?
</html>


[[Ficheiro:2017-020-06.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 2. Diagrama de fluxo do modelo SIR.''']]


<html>
    <br>
    <p><strong>3. Um exemplo concreto</strong>
    <p><strong>3.1.</strong> Na tabela seguinte mostra-se os
        números de infetados relativos a um surto de gripe numa escola com \( N
        = 763 \) alunos, durante 14 dias. O gráfico correspondente mostra-se na
        Figura 3
<center><p>&nbsp;</p>
    <table border="1">
        <tr>
            <td><strong>Dia</strong></td>
            <td>1</td>
            <td>2</td>
            <td>3</td>
            <td>4</td>
            <td>5</td>
            <td>6</td>
            <td>7</td>
            <td>8</td>
            <td>9</td>
            <td>10</td>
            <td>11</td>
            <td>12</td>
            <td>13</td>
            <td>14</td>
        </tr>
        <tr>
            <td><strong>Infetados</strong></td>
            <td>3</td>
            <td>7</td>
            <td>22</td>
            <td>78</td>
            <td>233</td>
            <td>300</td>
            <td>256</td>
            <td>233</td>
            <td>189</td>
            <td>128</td>
            <td>72</td>
            <td>33</td>
            <td>11</td>
            <td>6</td>
        </tr>
    </table>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p>Na Figura 3 representam-se os gráficos de \( S(n) \),
        \( I(n) \) e \( R(n) \), obtidos através das equações SIR (2.6), com os
        valores seguintes para os parâmetros: \( \gamma = 0.44 \) e \( \beta =
        1.68 \), correspondentes uma taxa de contacto \( c = 2 \) e a uma
        probabilidade de contágio \( p = 0.84 \). Como condições iniciais
        supomos que o surto começou com um único infeccioso em \( t_{0} = 0 \),
        de tal forma que \( I(0) = 1 \) e \( S(0) = 762 \). Examine
        detalhadamente o ficheiro Excel <a
                href="http://rce.casadasciencias.org/static/docs/extras/ModeloSIR_gripe.xlsx">ModeloSIR
            gripe.xlsx</a>. Mude os parâmetros com os cursores lá incluídos, e
        observe como mudam os gráficos.</p>
</html>


[[Ficheiro:2017-020-07.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 3. Números de infetados relativos a um surto de gripe
            numa escola com \( N = 763 \) alunos, durante 14 dias.''']]


[[Ficheiro:2017-020-08.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 4. Modelo SIR para propagação de gripe. Solução
            numérica das equações para um surto de gripe num colégio com \( N =
            763 \) alunos. O surto foi iniciado por um infeccioso, \( I(0) = 1
            \), e o número total de suscetíveis \( S(0) = 762 \). Os valores do
            coeficiente de transmissão e da taxa de remoção foram \( \gamma =
            0.44 \) e \( \beta = 1.68 \), respectivamente, correspondentes a uma
            taxa de contacto \( c = 2 \) e a uma probabilidade de contágio \( p
            = 0.84 \).''']]


<html>
    <p>Finalmente na Figura 5 comparam-se os dois gráficos – o
        de infectados, dados pela amostra, e o de infectados dados pelo modelo
        das equações SIR. Claro que o ajuste não é perfeito, mas é razoável!...
        As previsões do modelo parecem concordar bem com os dados da amostra. O
        número de infecciosos começa pequeno, aumenta substancialmente ao longo
        de 6 dias, e depois diminui gradualmente. Assim, nas últimas fases do
        surto, há uma possibilidade muito menor de um qualquer infeccioso entrar
        em contacto com alguém que ainda não foi infectado.
    <p>Resumindo: o que temos à partida é
    <ul>
        <li>uma <strong>amostra</strong>, dada pela tabela acima referida,
            recolhida por observações directas reali- zadas ao longo de 14 dias,
            e
        </li>
        <li>um <strong>modelo</strong> – o das equações SIR, que deduzimos sob
            certas hipótese.
        </li>
    </ul>
    <p>Talvez mudando estas hipóteses, que não são de forma
        alguma inquestionáveis, e portanto o modelo, obtivessemos um mais
        próximo dos dados reais da amostra.
</html>


[[Ficheiro:2017-020-09.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 5. Gráficos dos infetados, dados pela amostra, e de
            infetados dados pelo modelo das equações SIR.''']]


<html>
    <p>Mas podemos talvez melhorar a situação, escolhendo de
        forma apropriada os parâmetros que temos ao dispôr – o coeficiente de
        transmissão \( \beta \) e a taxa de recuperação \( \gamma \). Existe um
        método de estimação destes parâmetros, muito usado nestas situações – o
        chamado <strong>método dos mínimos quadrados</strong>.
    <p>A ideia é escolher os parâmetros \( \beta \) e \(
        \gamma \) de tal forma que a função soma dos desvios quadráticos
    <p>\( \mathrm{F} \left( \gamma , \enspace \beta \right) =
        \sum_{n=10}^{4} \left[ I_{amostra} \left( n \right) - I_{modelo} \left(
        n \right) \right]^2 \enspace \enspace \enspace \) (3.1)
    <p>tenha o menor valor possível.
    <p>Veja a Figura 6 e o ficheiro <a
            href="http://rce.casadasciencias.org/static/docs/extras/ModeloSIR_gripe_EMQ.xlsx">Modelo
        SIR gripe EMQ.xlsx</a></p>
    <br>
    <p><strong>4. Taxa de contacto e número de
        contacto</strong>
    <p><strong>4.1.</strong> Os modelos de doenças infecciosas
        são frequentemente formulados de uma maneira um pouco diferente da que
        fizemos acima – em vez de números absolutos, como antes, usamos agora
        proporções da população. Para grandes populações, em particular, esta é
        uma abordagem natural, porque o tamanho exato da população pode não ser
        conhecido.
    <br>
    <p class="main-text"><strong>4.2</strong> Retomando o modelo SIR, vamos
        definir
    </p>
    <p class="main-text">\( s = \frac{S}{N} \), \( i = \frac{I}{N} \), \( r =
        \frac{R}{N} \enspace \enspace \enspace \) (4.1)</p>
    <p class="main-text">e reconstruir o modelo usando proporções. Observe agora
        que
    </p>
    <p class="main-text">\( s + i + r = 1 \)</p>
    <p class="main-text">porque estamos a medir frações da população. Vamos
        continuar a presumir que não há nascimentos ou imigração, de modo que o
        tamanho total da população \( N \) se mantem constante, apesar de \( N
        \) não aparecer nas nossas equações. Neste contexto, dividindo ambos os
        membros das equações (2.6) por \( N \) , obtemos as chamadas equações
        sir seguintes
    </p>
    <p class="main-text">\( \Delta s(t) = - \beta s (t) i(t) \Delta t
        \)</p>
    <p>\( \Delta i(t) = \left[ \beta s (t) - \gamma \right]
        i(t) \Delta t \enspace \enspace \enspace \) (4.2)
    <p>\( \Delta r(t) = \gamma i(t) \Delta t \)
    <p>onde \( \beta \) é, como antes, o coeficiente de
        transmissão.
</html>


[[Ficheiro:2017-020-10.jpg|thumb|center|350px|'''Figura 6. Solução numérica das equações para um surto de
            gripe num colégio com \( N = 763 \) alunos. O surto foi iniciado por
            um infeccioso, \( I(0) = 1 \), e o número total de suscetíveis \(
            S(0) = 762 \). Os valores do coeficiente de transmissão e da taxa de
            remoção foram estimados pelo método dos mínimos quadrados como \(
            \beta = 2.216 \) dia<sup>—1</sup> e \( \gamma = 0.59 \)
            dia<sup>—1</sup>, respectivamente. Ver ficheiro Excel <a
                    href="http://rce.casadasciencias.org/static/docs/extras/ModeloSIR_gripe_EMQ.xlsx">Modelo
                SIR gripe EMQ.xlsx</a>.''']]


<html>
    <p>O valor de \( \beta \) depende é claro das
        particularidades da doença sob estudo. Por exemplo, como a varicela é
        altamente contagiosa, parece plausível que uma criança da escola
        primária possa ter contato, suficiente para espalhar varicela, com
        quatro outras crianças durante um dia. Neste caso, podemos tomar \(
        \beta = 4 \) e \( \Delta t = 1 \) dia. Para uma doença menos contagiosa,
        \( \beta \) pode ser um número tão pequeno como 0.02.
    <br>
    <p><strong>5. Valores limiar (<em>threshold</em>) e
        parâmetros críticos</strong>
    <p><strong>5.1.</strong> Para analisar o modelo sir e
        ganhar alguma intuição biológica sobre os parâmetros do modelo, vamos
        usar as equações (4.2):
    <p>\( \Delta s(t) = - \beta s (t) i(t) \Delta t
        \)
    <p>\( \Delta i(t) = \left[ \beta s (t) - \gamma \right]
        i(t) \Delta t \enspace \enspace \enspace \) (5.1)
    <p>\( \Delta r(t) = \gamma i(t) \Delta t \)
    <p>Diremos que uma epidemia ocorre se \( \Delta i(t) > 0
        \), para algum intervalo temporal \( \left[ t, \enspace t + \Delta t
        \right] \) (isto é, se nesse período a proporção de infecciosos cresce).
        Se \( \Delta i(t) ≤ 0 \) para todos os períodos, o tamanho da classe
        infecciosa não aumenta e não existe qualquer foco da doença.
    <br>
    <p><strong>5.2.</strong> O primeiro passo para a
        compreensão da dinâmica da doença, é pois entender o sinal de \( \Delta
        i(t) \). Vejamos então como determinar se
    <p>\( \Delta i(t) = \left[ \beta s (t) - \gamma \right]
        i(t) \Delta t \enspace \enspace \enspace \) (5.2)
    <p>é positivo, negativo ou nulo.
    <p>É claro que se \( i(t) = 0 \) então \( \Delta i(t) = 0
        \) - se não há infectados, não há doença. Suponhamos agora que \( i(t) >
        0 \). Então \( \Delta i(t) \) será positivo, negativo ou nulo, se o
        mesmo acontece com \( \beta s(t) - \gamma \). Como \( \beta > 0 \),
        podemos concluir que
    <p>se \( s(t) > \gamma / \beta \), então \( \Delta i(t) >
        0 \)
    <p>se \( s(t) = \gamma / \beta \), então \( \Delta i(t) =
        0 \enspace \enspace \enspace \) (5.3)
    <p>se \( s(t) < \gamma / \beta \), então \( \Delta i(t) <
        0 \)
    <br>
    <p><strong>5.3.</strong> Observe que, a partir de nossas
        fórmulas originais, temos sempre que \( \Delta s(t) ≤ 0 \), ∀\( t \) e,
        por isso, a
        proporção de susceptíveis nunca pode aumentar.
    <p>Isto significa que, se a proporção inicial de
        susceptíveis, \( s_{0} \), satisfaz
    <p>\( s_{0} < \frac{ \gamma }{ \beta } \)
    <p>então \( s(t) < \frac{ \gamma }{ \beta } \) e portanto,
        pela terceira implicação de (5.3), \( \Delta i(t) < 0 \) para todo \( t
        \), e a doença diminui – não há epidemia.
    <p>No entanto, quando a proporção inicial de susceptíveis,
        \( s_{0} \), satisfaz \( s(t) > \frac{ \gamma }{ \beta } \), o número de
        infecciosos cresce no primeiro período \( \left[ 0, \enspace \Delta t
        \right] \), isto é \( \Delta i(0) > 0 \), o que provoca uma
        epidemia.
    <p>Por este motivo, a razão \( \frac{ \gamma }{ \beta } \)
        é um exemplo de um valor limiar ou crítico (<em>threshold</em>); a
        relação de \( s_{0} \) com \( \frac{ \gamma }{ \beta } \) é um
        determinante importante da dinâmica da doença. Como \( \frac{ \gamma }{
        \beta } \) representa a taxa de remoção \( \gamma \) relativa ao
        coeficiente de transmissão \( \beta \), chamamos-lhe a <strong>taxa de
            remoção relativa</strong>.
    <br>
    <p><strong>6. O número básico de reprodução \( \Re_{o}
        \)</strong>
    <p><strong>6.1.</strong> Uma abordagem ligeiramente
        diferente para o comportamento que descrevemos no ponto anterior,
        envolve reescrever a equação para \( \Delta i(t) \) na forma
    <p>\( \Delta i(t) = \gamma \left( \frac{ \beta }{ \gamma }
        s(t) - 1 \right) i(t) \Delta t \)
    <p>Uma análise semelhante do sinal de \( \Delta i(t) \),
        utilizando esta expressão, mostra que a pergunta \( \frac{ \beta }{
        \gamma } \) agora é como a quantidade \( s_{0} \) se compara com 1. Os
        epidemiologistas chamam à expressão
    <p>\( \Re_{o} = \frac{ \beta }{ \gamma } s_{0} \enspace
        \enspace \enspace \) (6.1)
    <p>o <strong>número de reprodução básico</strong> da
        infecção.
    <p>Da discussão anterior concluímos que se \( \Re_{o} > 1
        \), então \( \Delta i(0) > 0 \) e portanto ocorre uma epidemia.
    <br>
    <p><strong>6.2.</strong> Vamos considerar o número básico
        de reprodução
    <p>\( \Re_{o} = \frac{ \beta }{ \gamma } s_{0} = \left(
        \beta s_{0} \right) \frac{1}{ \gamma } \)
    <p>de um ponto de vista mais biológico, a fim de
        compreender o seu nome e importância conceptual.
    <p>Como vimos em (2.5), no modelo SIR o termo
    <p>\( \beta \frac{ S(0) I(0)}{N} \Delta t \)
    <p>mede o número de indivíduos infectados, no período
        inicial \( \left[ 0, \enspace \Delta t \right] \).
    <p>Em particular, pondo \( I(0) = 1 \) e \( s_{0} = S(0)/N
        \) , vemos que
        \( \beta s_{0} \Delta t \) é o número de susceptíveis infectados por
        contacto com um único infeccioso, no período inicial da epidemia. Daí
        que \( \Delta s_{0} \) é o número de susceptíveis infetados, por
        contacto com um único infeccioso, por unidade de tempo, no período
        inicial da epidemia.
    <p>Na verdade, se introduzirmos um infeccioso numa
        população de indivíduos todos susceptíveis ( \( S(0) = N − 1 \), \( I(0)
        = 1 \), \( R(0) = 0 \)), esse doente infeccioso pode, eventualmente,
        infectar muitos mais do que \( \beta s_{0} \) susceptíveis, uma vez que
        ele pode permanecer contagioso por muitos períodos de tempo. Por
        exemplo, suponhamos que uma criança permanece contagiosa com varicela
        durante 7 dias. Se usamos 1 dia como período (unidade tempo), a criança
        poderia infectar \( \beta s_{0} \times 7 \) susceptíveis ao longo de uma
        semana.
    <p>Por outro lado, se o período de contágio é de 7 dias,
        então em cada dia esperamos que aproximadamente 1/7 ou cerca de 14% do
        número total de infecciosos se mova da classe <strong>I</strong> para a
        classe <strong>R</strong>. Como a taxa de remoção γ mede a fracção da
        classe infecciosa “curada” durante um único período (1 dia, neste caso),
        vemos que uma boa estimativa para \( \gamma \) é \( \gamma \approx 1/7
        \approx 0.1429 \).
    <p>Simultanemente, encontramos uma boa interpretação para
        \(1/ \gamma \) – é o tempo médio em que um indivíduo está infeccioso. Na
        prática, podemos estimar \(1/ \gamma \) em doenças reais, observando
        indivíduos infectados e determinando o tempo médio em que eles
        permanecem infecciosos.
    <p>Concluindo</p>
<center><p>&nbsp;</p>
    <figure class="image-medium">
        <img src="http://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2017-020-11.jpg" width="500">
    </figure>
</center><p>&nbsp;</p>
    <br>
    <p>6.3. Portanto \( \Re_{o} \) é interpretado como o
        número médio de infecções secundárias que seria produzido por um
        infeccioso numa população total de susceptíveis de tamanho \( S(0)
        \).
    <p>Note que o valor limiar \( \Re_{o} = 1 \) faz todo o
        sentido do ponto de vista biológico. Se \( \Re_{o} > 1 \), então um caso
        primário de doença gera mais do que um caso secundário da doença, o
        tamanho da classe infecciosa aumenta, e o resultado é uma epidemia. Se
        \( \Re_{o} = 1 \), então um indivíduo doente produz apenas um novo caso
        da doença, e nenhuma epidemia pode ocorrer; não pode haver crescimento
        do número de infecciosos. Quando \( \Re_{o} < 1 \), a doença morre. Em
        suma, um epidemia ocorre se e somente se o número de reprodução básica
        \( \Re_{o} > 1 \).
    <br>
    <p><strong>6.4.</strong> Como o número básico de
        reprodução tem uma interpretação tão significativa, os epi-
        demiologistas tentar achar uma expressão para \( \Re_{o} \) para
        qualquer modelo que eles propõem. Eis algumas estimativas típicas de \(
        \Re_{o} \) para algumas doenças infecciosas comuns (na era de
        pré-vacinação)
<center><p>&nbsp;</p>
    <table border="1">
        <tr>
            <td><strong>Doença</strong></td>
            <td></td>
            <td>\( \Re_{0} \)</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>gripe</td>
            <td>≈</td>
            <td>3-4</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>sarampo</td>
            <td>≈</td>
            <td>16-18</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>varíola</td>
            <td>≈</td>
            <td>4</td>
        </tr>
        <tr>
            <td>varicela</td>
            <td>≈</td>
            <td>10-12</td>
        </tr>
    </table>
</center><p>&nbsp;</p>
    <p>Veja o cálculo de \( \Re_{o} \) nas folhas Excel <a
            href="http://rce.casadasciencias.org/static/docs/extras/ModeloSIR_gripe.xlsx">ModeloSIR
        gripe.xlsx</a> e <a
            href="http://rce.casadasciencias.org/static/docs/extras/ModeloSIR_gripe_EMQ.xlsx">ModeloSIR gripe
        EMQ.xlsx</a>.
    <p>Embora num modelo complicado, tal como doenças
        sexualmente transmissíveis (HIV), podem incluir vários parâmetros
        adicionais, uma combinação deles deve ser interpretável como um \(
        \Re_{o} \) dessa doença. O número de reprodução básico \( \Re_{o} \)
        desempenha um papel crucial em decisões de saúde pública, porque um
        programa de prevenção da doença só será eficaz na prevenção de novos
        surtos quando ele garante que \( \Re_{o} \leq 1\).
    <br>
    <p><strong>Exemplo</strong>
    <p>Suponhamos, para uma determinada doença, um doente
        infeccioso é introduzido numa população de 500 indivíduos susceptíveis.
        Vamos usar o modelo SIR, com período de tempo \( \Delta t = 1 \) dia
        (supondo que é adequado para descrever esta doença). Suponhamos, além
        disso, que os dados indicam que o coeficiente de transmissão é \( \beta
        = 0.5 \) e que o tempo médio de infecção é de 10 dias, após os quais o
        doente recupera (ou morre!). Portanto, neste caso, \( \gamma = 0.1 \) e

    <p>\( \Re_{o} = \frac{ \beta }{ \gamma } s_{0} \approx
        \frac{0.5}{0.1}1 = 5 \)
    <p>Como \( \Re_{o} = 5 > 1 \) espera-se uma epidemia. A
        folha Excel mostra que o número de infectados tem um pico para \(n =
        21\) ou 22 dias, aproximadamente igual a 250. Metade da população está
        doente o que traduz uma epidemia severa, sem dúvida.
    <br>
    <p><strong>7. Estratégias de imunização.
        Vacinação</strong>
    <p><strong>7.1.</strong> Uma população pode ser protegida
        da doença de várias maneiras. Por exemplo,

    <ul>
        <li>o número de indivíduos susceptíveis podem ser reduzido através de
            vacinas,
        </li>
        <li>a taxa de contacto pode ser reduzida através de quarentenas ou
            campanhas de saúde pública, ou
        </li>
        <li>a taxa de remoção pode ser aumentada através de um melhor tratamento
            médico do doente.
        </li>
    </ul>
    <p>Em suma, uma sociedade pode tentar mudar qualquer um
        dos parâmetros ou condições iniciais do modelo que descreve a doença.
    <br>
    <p><strong>7.2</strong> Vacinações, quando disponíveis,
        são uma maneira atraente para controlar a dinâmica da doença, mas os
        riscos privados e públicos de imunização deve ser equilibrado. Um dos
        principais objetivos de qualquer programa de imunização é conseguir
        imunidade global, (ou seja, garantir que nenhuma epidemia possa ocorrer,
        mesmo se alguns casos da doença estão presentes). No entanto, existem
        indivíduos que recebem vacinas mas têm algum pequeno risco de efeitos
        secundários.
    <br>
    <p><strong>7.3.</strong> Como uma aplicação do número
        básico de reprodução \( \Re_{o} \), vamos considerar a vacinação de uma
        população. Admitindo que seria possível vacinar instantaneamente uma
        proporção \( P \) de uma população, que proporção P devemos vacinar para
        conseguir a erradicação da doença infecciosa?
    <p>A resposta é fácil utilizando o conceito de \( \Re_{o}
        \). Como \( \Re_{o} = s_{0} \), se vacinarmos uma proporção \( P \) da
        população de susceptíveis, então isto implica que o número básico de
        reprodução muda para
    <p>\( \Re_{o} = \frac{ \beta }{ \gamma } \left( 1 -P
        \right) s_{0} = \left( 1 - P \right) \Re_{o} \)
    <p>uma vez que a nova fracção de susceptíves é agora \(
        \left( 1 - P \right) s_{0} \).
    <p>Como devemos ter \( \Re_{o}^{vac} < 1 \) para
        erradicação, resolvendo em ordem a \( P \), obtemos a fórmula simples
    <p>\( P > 1 - \frac{1}{ \Re_{o} } \enspace \enspace
        \enspace\) (7.1)
    <p>Para a varíola, por exemplo, em que \( \Re_{o} \approx
        4 \), calculamos \( P \approx 75% \) da população, mas para o sarampo,
        em comunidades não vacinadas, onde normalmente \( \Re_{o} \approx 15 \),
        então \( P \approx 93% \). Está claro deste cálculo porque é que, em
        todo o mundo, a varíola foi escolhida como alvo prioritário para a
        erradicação.

    <p><strong>7.4.</strong> Estudo de imunização em doenças
        realistas requer o uso de modelos mais complicados. A dinâmica da
        doença, muitas vezes é diferente conforme a idade, estrato social, e
        outros factores, e, por isso, é usual dividir a população de
        susceptíveis, infecciosos e removidos em vários estratos ou subgrupos.

    <p>Um modelo pode dividir a população em vários subgrupos
        por idade, sexo ou outros fatores, e ser usado para determinar quais
        grupos devem ser alvo de uma campanha de imunização. Considerações
        sociais e médicas são cruciais.

    <script type="text/javascript" src="
    https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.1/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script>

</html>

=Referências=
<references/>

---- <br>Criada em 15 de Junho de 2017<br> Revista em 15 de Junho de 2017<br> Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2017<br>
[[Category:Matemática]]