Mostrar código-fonte de Forças em campos magnéticos

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Lage, E., (2021) ''Forças em campos magnéticos'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(1):017
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Eduardo Lage</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2021.017 https://doi.org/10.24927/rce2021.017]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2021-017.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

O movimento de partículas carregadas em campos magnéticos estacionários é de grande importância em Física e Astrofísica estando na base dos grandes aceleradores, como LHC no CERN, de que o ciclotrão foi precursor. E também determinam a natureza dos transportadores no efeito Hall. As forças entre correntes elétricas, mensuráveis em diversos tipos de dispositivos, foram historicamente utilizadas na definição do ampére, a unidade da intensidade da corrente no SI. Para correntes localizadas e submetidas a um campo magnético quase uniforme, a força que este exerce deriva de uma energia potencial que faz intervir apenas o momento magnético daquele sistema de correntes.

É apresentada uma breve discussão sobre a relação entre os trabalhos, em espiras, da força de Laplace e da força eletromotriz originada pela indução de Faraday, mostrando- se que ambos derivam de ser nula a potência da força de Lorentz.



<html>
<p class='mainText'>Partículas com carga elétrica (eletrões, protões, iões, etc.) em movimento numa região
onde existe um campo magnético, ficam submetidas à força de Lorentz</html><ref><html>LAGE, E., 
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/">Os fundamentos do eletromagnetismo</a></em>, Rev. <em>Ciência Elem.</em>, V9(1):016. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.016.</html></ref><html>, apresentando
uma rica variedade de comportamentos com inúmeras aplicações. A FIGURA 1 representa
um exemplo simples para um campo uniforme: projetando nos eixos a equação de movimento,
tem-se:</p>

  <br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{x}}{dt}=0\rightarrow v_{x}=\textrm{constante}\)</p>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{y}}{dt}=\omega _{c}v_{z}\) (1)</p>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{z}}{dt}=\omega _{c}v_{y}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\omega _{c}=\frac{qB}{m}\) (2)</p>

<br>

  <p class='mainText'>é a frequência ciclotrónica (\(q\) e \(m\) são a carga e massa da partícula). Se \(v_{x}=0\), o movimento
é uniforme e circular com um raio:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(R=\frac{1}{\omega _{c}}\sqrt{v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}\) (3)</p>

<br>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. Movimento de uma carga positiva num campo magnético uniforme.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Um ciclotrão (E. Lawrence, 1932) é constituído por dois semicilindros (os “Dês”) onde
se fez o vácuo, mergulhados num campo magnético uniforme com a direção do eixo dos
cilindros.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-big">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. Diagramas do ciclotrão original de Lawrence.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Entre as faces planas dos “Dês” é aplicada uma tensão de radiofrequência que origina
um campo elétrico capaz de acelerar as partículas antes de penetrarem no campo
magnético. O correspondente movimento circular fá-las regressar à região do campo
RF, tendo este a frequência ciclotrónica pelo que, em cada volta da partícula num “Dê”,
se encontra nas condições para nova aceleração. Deste modo, a partícula vai ganhando
energia, aumentando o raio da trajetória circular. O aumento relativista da massa da partícula
origina uma diminuição da frequência ciclotrónica – o campo RF sincroniza a sua
frequência com aquela, designandose por sincrociclotrão um tal acelerador.</p>

  <p class='mainText'>Regressando à FIGURA 1, é este movimento helicoidal que desvia raios cósmicos ou
o vento solar para os polos magnéticos da Terra onde colidem e ionizam moléculas da
alta atmosfera originando as auroras boreais. Uma carga acelerada emite radiação: num
pulsar, uma estrela de neutrões em rápida rotação cujo eixo não coincide com o dipolo
magnético2, o fortíssimo campo magnético origina emissões de grande intensidade na direção NS magnética a qual roda com a estrela, como se fosse um farol. Esta radiação
é recebida na Terra, caso esta se encontre no alinhamento da emissão: a extrema regularidade
destes impulsos de radiação, com períodos de rotação característicos de cada
pulsar, faz destes faróis cosmológicos relógios de precisão extrema e que, por isso, são
usados como referências na navegação de sondas espaciais em viagens de longo curso.</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 3 representa o movimento de uma partícula carregada sob ação de campos
elétrico (segundo \(y\)) e magnético (segundo \(z\)) uniformes e ortogonais. As equações de
movimento ficam:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{x}}{dt}=\frac{qB}{m}v_{y}\)</p>

<p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{y}}{dt}=\frac{q}{m}\left ( E-v_{x}B \right )\) (4)</p>

<p class='mainText centered'>\(\frac{dv_{z}}{dt}=0\)</p>

<br>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3. Movimento de uma carga sob campos elétrico e magnético or togonais.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>É interessente observar que o movimento será retilíneo e uniforme, com a velocidade \(v_{x}=\frac{E}{B}\)
se a partícula entrar apenas com esta velocidade na região dos campos: o
dispositivo tanto serve como seletor de velocidades como medidor das intensidades dos
campos elétrico ou magnético. Para \(v_{x}\left ( 0 \right )\neq \frac{E}{B}\), a solução das equações de movimento,
admitindo, para simplificar, \(v_{z}=0\), é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(v_{x}\left ( t \right )=\left [ v_{x}\left ( 0 \right )-\frac{E}{B} \right ]cos\left ( \omega _{c}t \right )+\frac{E}{B}\)</p>

<p class='mainText centered'>\(v_{y}\left ( t \right )=-\left [ v_{x}\left ( 0 \right )-\frac{E}{B} \right ]sen\left ( \omega _{c}t \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O movimento é plano e consiste na sobreposição de um movimento uniforme na direção
perpendicular aos campos, com um movimento circular uniforme no plano perpendicular
ao campo magnético (FIGURA 3).</p>

  <p class='mainText'>No efeito Hall (FIGURA 4), uma corrente elétrica (intensidade \(I\)) atravessa longitudinalmente
uma amostra de metal ou semicondutor.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-04.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 4. O efeito Hall.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Os transportadores podem ter carga negativa (eletrões) ou positiva (vazios), são desviados
por um campo magnético uniforme \(\left ( B_{z} \right )\) que os faz acumular numa das faces laterais
até originarem um campo elétrico \(E_{y}-v_{x}B_{z}=0\) que anula a força de Lorentz na
situação estacionária e define a tensão Hall \(V_{H}=E_{y}w=v_{x}B_{z}w\). O sinal deste campo
depende do sinal de \(v_{x}\), o qual é definido pelo tipo de transportadores. Para eletrões,
é \(I=-n_{e}\left | q_{e} \right |v_{x}wt\), onde \(n_{e}\) é a densidade eletrónica, pelo que \(V_{H}=-\frac{IB_{z}}{n_{e}\left | q_{e} \right |t}\); para vazios, obtém-se, de forma análoga,
\(V_{H}=\frac{IB_{z}}{n_{v}\left | q_{e} \right |t}\), onde \(n_{v}\) é a densidade de
vazios. Em qualquer caso, define-se a resistência Hall por \(R_{H}=\frac{\left | V_{H} \right |}{I}\) que, contudo,
não é dissipativa, ao contrário da resistência habitual da amostra, origem da queda de
tensão que acompanha a corrente. O efeito Hall é atualmente utilizado em sensores na
medição de campos magnéticos.</p>

  <p class='mainText'>Correntes elétricas em condutores retilíneos e paralelos (distantes \(a\)), atraem-se se
tiverem o mesmo sentido e repelem-se se tiverem sentidos opostos (FIGURA 5).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-05.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 5. Correntes paralela atraem-se.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Com efeito, o campo magnético criado pela corrente \(I_{2}\) é</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Campo magnético estacionário</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html>
\(\frac{B_{\phi }}{\mu_{0}}=\frac{I_{2}}{2\pi r}\)
onde \(r\) é a
distância ao eixo do segundo condutor, o qual se identificou com o eixo z de coordenadas
cilíndricas. Este campo atua sobre a corrente \(I_{1}\) com a força de Laplace que, por unidade
de comprimento daquele condutor, é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{d\vec{F}_{12}}{dl}=-I_{1}B_{\phi }\left ( a \right )\vec{e}_{r}=-\mu_{0}\frac{I_{1}I_{2}}{a}\vec{e}_{r}\) (5)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Assim, para \(I_{1}=I_{2}=1A\) e \(a = 1m)\), a força é atrativa valendo \(2\times 10^{-7}\frac{N}{m}\), resultado
que serviu para definir a unidade de corrente até muito recentemente.</p>



  <p class='mainText'>Se os fios condutores forem complanares, mas ortogonais (FIGURA 6), cada um experimenta
agora uma distribuição de forças de resultante nula, mas de momento resultante
não nulo que tende a rodar os fios de modo a ficarem paralelos.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-06.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 6. Forças em correntes ortogonais.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Na balança de correntes (FIGURA 7), um quadro de espiras retangulares, paralelas, é
suspenso verticalmente do braço de uma balança.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-07.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 7. Balança de correntes.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>O quadro é mergulhado na região entre polos de um íman, que cria um campo uniforme
e horizontal \(\vec{B}_{a}\) perpendicular ao quadro. Se este for percorrido por uma corrente \(i\), a porção horizontal, de comprimento l, de cada espira experimenta a força vertical \(F_{z}=IlB_{a}\) que é medida através do peso acrescentado ao outro prato da balança para
equilibrar. Este método permite, assim, determinar a intensidade da corrente ou do campo
magnético do íman. Para um sistema de correntes localizadas numa região finita do
espaço sob ação de um campo magnético aplicado \(\vec{B}^{\left ( a \right )}\), a resultante das forças é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{F}=\int dV\vec{i}\left ( \vec{r} \right )\wedge \vec{B}^{\left ( a \right )}\left ( \vec{r} \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Conclui-se imediatamente que se o campo aplicado for uniforme na região das correntes,
esta resultante é nula. Escolha-se um ponto naquela região para origem do sistema
de eixos cartesianos. Se o campo aplicado variar ligeiramente na região, tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{F}=\int dV\vec{i}\left ( \vec{r} \right )\wedge \left ( \vec{r}\cdot \bigtriangledown  \right )\vec{B}^{\left ( a \right )}\left ( 0 \right )\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>significando que as derivadas devem ser tomadas na origem. Considere-se, por exemplo,
a componente \(F_{x}\) da força. Vem:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_{x}=\int dV\left [ i_{y}\left ( \vec{r} \right )\left ( x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z} \right )B_{z}^{\left ( a \right )-i_{z}}\left ( \vec{r} \right )\left ( x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z} \right )B_{y}^{\left ( a \right )} \right ]\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Ora</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Campo magnético estacionário</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html>, o tensor \(\int dVi_{k}\left ( \vec{r} \right )x_{j}\) é anti-simétrico e os seus elementos não diagonais definem
o momento magnético do sistema de correntes, por exemplo \(\int dVxi_{y}\left ( \vec{r} \right )=\mu _{z}\),
obtendo-se as outras componentes por permutação circular. Deste modo, a expressão
anterior fica:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_{x}=\mu_{z}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial x}+\mu_{x}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial z}+\mu_{z}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial x}=\vec{\mu}\cdot \frac{\partial \vec{B}^{\left ( a \right )}}{\partial x}\)</p>

<br>


  <p class='mainText'>Atendendo a que \(\bigtriangledown \cdot\vec{B}^{\left ( a \right )}=0\), os termos que multiplicam \(\mu_{x}\) dão \(\mu_{x}\frac{\partial B_{x}^{\left ( a \right )}}{\partial x}\), obtendo-se a expressão final:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(F_{x}=\mu_{x}\frac{\partial B_{x}^{\left ( a \right )}}{\partial x}+\mu_{y}\frac{\partial B_{y}^{\left ( a \right )}}{\partial x}+\mu_{z}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial x}=\vec{\mu}\cdot \frac{\partial \vec{B}^{\left ( a \right )}}{\partial x}\) (6)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Analogamente se obtém as outras componentes.</p>

  <p class='mainText'>Na experiência de Stern-Gerlach (1922), um feixe colimado de iões de prata entra
numa região onde existe um campo magnético não homogéneo com \(\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial z}\)
constante
(FIGURA 8).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-08.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 8. A experiência de Stern-Gerlach.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Os iões têm um momento magnético devido ao eletrão solitário no estado \(5s^1\. Assim,
são atuados pela força \(F_{z}=\mu_{z}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial _{z}}\). Em Física Clássica, \(\mu_{z}\) poderia ter qualquer
valor entre \(\pm \mu_{B}\) (\(\mu_{B}\) é o magnetão de Bohr</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Campo magnético estacionário</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html>), prevendo-se, então, uma distribuição contínua
no alvo, mas não é isso que é observado. Com efeito, segundo a teoria quântica, é
\(\vec{\mu}=-2\mu_{B}\vec{s}\) onde \(\vec{s}\) é o <em>spin</em> que só pode tomar os valores \(\pm \frac{1}{2}\) (em unidades de \(\frac{h}{2\pi}\))
em qualquer direção. Portanto, a previsão desta teoria é o feixe dividir-se em dois, porque \(F_{z}=\pm \mu _{B}\frac{\partial B_{z}^{\left ( a \right )}}{\partial z}\), originando, apenas, dois “pontos” no alvo, o que é confirmado
pela experiência, uma demonstração inequívoca do <em>spin</em> do eletrão.</p>

  <p class='mainText'>Defina-se a energia de interação magnética, designando, agora, por \(\vec{r}\) a posição da
origem escolhida no sistema de correntes em relação a uma origem fixa no laboratório:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(U\left ( \vec{r}' \right )=\vec{\mu}\cdot \vec{B}^{\left ( a \right )}\left ( \vec{r}' \right )\) (7)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Se se deslocar rigidamente o sistema de correntes de \(\delta \vec{u}=\delta u\vec{e}_{x}\), a variação desta
energia é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(dU=-\vec{\mu}\cdot \left [ \vec{B}^{\left ( a \right )}\left ( \vec{r}+\delta \vec{u} \right ) -\vec{B}^{\left ( a \right )}\left ( \vec{r}' \right ) \right ]=-\vec{\mu}\cdot\frac{\partial \vec{B}^{\left ( a \right )}}{\partial x}\delta u\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Ora, o trabalho realizado pelas forças do campo neste deslocamento é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\delta W=F_{x}\delta u\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>com \(F_{x}\) determinado na eq. (6). Deste modo, tem-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\delta W=-dU\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Imagine-se, agora, uma rotação rígida</html><ref><html>LAGE, E., 
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/044/">O sólido rígido</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V8(3):044. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.044.</html></ref><html> do sistema de correntes definida por \(\delta \vec{\Omega }\).
Nestas condições, o momento magnético alterou-se de \(\delta \vec{u}=\delta \vec{\Omega }\wedge \vec{\mu}\), originando \(dU=-\delta \vec{\mu}\cdot\vec{B}^{\left ( a \right )}=-\left ( \delta \vec{\Omega }\wedge \vec{\mu} \right )\cdot \vec{B}^{\left ( a \right )}=-\left ( \vec{\mu}\wedge \vec{B}^{\left ( a \right )} \right )\cdot \delta \vec{\Omega }\).</p>

 <p class='mainText'>Por outro lado, o trabalho realizado pelas forças escreve-se \(\delta W=\vec{M}\cdot \delta \vec{\Omega }\)

onde \(\vec{M}\)
é o momento das forças. Então, pela relação anterior entre trabalho e variação da energia
magnética, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{M}=\vec{\mu}\wedge \vec{B}^{\left ( a \right )}\) (8)</p>

<br>

  <p class='mainText'>As equações (6) e (8) são análogas às obtidas para um dipolo elétrico</html><ref><html>LAGE, E., 
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/015/">Eletrostática</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V9(1):015. (2021). DOI: 10.24927/rce2021.015.</html></ref><html>. Um dipolo magnético
abandonado livremente tende a orientar-se paralelamente ao campo aplicado e a
mover-se para onde o campo é mais intenso, em ambos os casos procurando minimizar
a energia de interação magnética, eq. (7). O movimento de limalhas de ferro nas proximidades
de um íman exemplifica bem estes resultados (FIGURA 9).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-09.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 9. Limalhas de ferro alinham-se com o campo magnético.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Usando a eq. (7) e considerando que o campo aplicado tem origem noutro dipolo magnético</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Campo magnético estacionário</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html>, obtém-se a energia de interação entre dipolos:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(U=-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{3\vec{\mu}_{2}\cdot\left ( \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \right )\vec{\mu}_{1}\cdot\left ( \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \right )-\vec{\mu}\cdot\vec{1}\left | \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \right |^{2}}{\left | \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \right |^{5}}-\frac{\mu_{0}}{4\pi}\vec{\mu}_{2}\cdot\vec{\mu}_{1}\delta \left ( \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \right )\) (9)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O último termo só existe se os dois dipolos estiverem sobrepostos – tal acontece, por
exemplo, na interação magnética eletrão-protão no hidrogénio, ambos possuidores de
momentos magnéticos intrínsecos. Tal termo levanta a degenerescência de <em>spin</em> no estado
\(1s\) (porque a função de onda deve ser não nula no núcleo), originando a linha de
21 cm identificadora do hidrogénio em Cosmologia. Ignorando este termo, a energia de
interação entre dipolos magnéticos é inteiramente semelhante à energia de interação
entre dipolos elétricos.</p>

  <p class='mainText'>Um supercondutor (do tipo \(I\)) expele qualquer campo magnético do seu interior (efeito
Meissner). Assim, se se aproximar um magneto do supercondutor, são geradas correntes
superficiais que anulam o campo no seu interior, originando um campo, no exterior, que
repele o magneto fazendo-o levitar (FIGURA 10).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-10.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 10. Levitação magnética.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Um modelo simples que captura o essencial desta experiência, consiste em considerar
um dipolo magnético a uma certa distância da superfície plana e horizontal de um supercondutor
(FIGURA 11).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-11.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 11. Dipolo magnético em frente a supercondutor.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>O anulamento do campo no interior deste, exige que seja nula a componente vertical
do campo magnético imediatamente no acima da superfície. O método das imagens</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Imagens elétricas e o método de separação de varíaveis</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html> permite,
então, determinar o campo em toda a região acima da superfície e, dessa forma,
calcular a força que se exerce sobre o dipolo. Para isso, começa-se por recordar a expressão
do campo criado por um dipolo magnético:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\vec{B}\left ( \vec{r} \right )=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{3\left ( \vec{\mu}\cdot \vec{n} \right )\vec{n}-\vec{\mu}}{r^{3}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(\vec{r}\) é a distância do dipolo ao ponto de observação e \(\vec{n}\) é um versor que aponta do
dipolo para o mesmo ponto. Se o dipolo fizer um angulo \(\theta\) com a vertical, é imediato reconhecer
que o dipolo-imagem deve estar à mesma distância do plano (azul na FIGURA 12) e
fazer um ângulo \(\pi -\theta\) com a vertical (FIGURA 12).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-12.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 12. O dipolo e sua imagem.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Usando a eq. (9), com o último termo obviamente ausente, a energia de interação entre
os dois dipolos é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(U=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\mu^{2}}{\left ( 2z \right )^{3}}\left [ 1+\left ( cos\theta \right )^{2} \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(z > 0\) é a cota do dipolo original (origem de coordenadas na interseção do eixo vertical
que passa pelo dipolo, eixo \(x\) na interseção do plano definido pelo dipolo e a vertical). Esta
energia é mínima para \(\theta=\frac{\pi}{2}\) (dipolos paralelos), o que se considera doravante. É, então,
esta a energia para a FIGURA 11. Para obter a cota de equilíbrio, suponha-se que se desloca o
dipolo de \(\delta z\); a sua imagem desloca-se em sentido contrário. O trabalho realizado pelas forças
do campo é, então \(F_{z}\times 2\delta z=-dU\), <em>i.e.</em>, \(F_{z}=-\frac{1}{2}\frac{\partial U}{\partial z}\). Esta força equilibra o peso
mg do dipolo (\(m\) é a sua massa), obtendo-se, para a cota no equilíbrio \(z=\left [ \frac{3\mu_{0}\mu^{2}}{64\pi mg} \right ]^{\frac{1}{4}}\).</p>

  <p class='mainText'>O campo imediatamente acima do supercondutor, reduz-se no plano à soma das componentes
  horizontais dos campos do dipolo e sua imagem; sendo nulo no supercondutor,
há uma descontinuidade originada por correntes superficiais</html><ref><html>LAGE, E., 
<em>Campo magnético estacionário</em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em> no prelo.</html></ref><html>:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(i_{x}^{\left ( s \right )}\left ( x \right )=-\frac{\mu}{2\pi}\frac{1}{\left ( r'^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\frac{3r'^{2}\textrm{cos}\phi \textrm{sen}\phi}{r'^{2}+z^{2}}\)</p>

<p class='mainText centered'>\(i_{y}^{\left ( s \right )}\left ( x \right )=-\frac{\mu}{2\pi}\frac{1}{\left ( r'^{2}+z^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}\left [\frac{3r'^{2}\left ( \textrm{cos}\phi \right )^{2}}{r'^{2}+z^{2}}-1 \right ]\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Aqui, \(r'\) e \(\phi\) são coordenadas polares no plano e z é a cota atrás obtida. São estas
correntes que determinam o efeito Meissner.</p>

<br>

  <p class='mainText'><strong>O trabalho da força de Laplace</strong></p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 13 representa uma espira, não necessariamente plana, percorrida por uma co
rente constante \(I\) cujo sentido define o sentido da circulação na espira de que \(d\vec{l}\) é um
pequeno vetor, tangente à espira e de grandeza igual ao elemento de comprimento naquela
linha, ficando, assim, também definida a normal unitária à superfície (em estriado
azul) que nela se apoia. A espira desloca-se no espaço onde reside um campo magnético
estacionário \(\vec{B}\) (linhas de força a vermelho). Cada ponto da espira sofre um deslocamento
\(\vec{w}\) (linhas negras), não necessariamente uniforme. Deste modo, fica construído
um cilindro deformado do qual a base inferior é a superfície que se apoia na espira na
sua posição inicial e a base superior é a superfície que se apoia na espira na sua posição
final, sendo a superfície lateral do cilindro definida pelo campo de deslocamentos. Note-
-se que o sentido da circulação determina (regra do saca-rolhas) o sentido da normal em
cada base: este aponta para o exterior do cilindro na base superior e para o seu interior
na base inferior.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-big">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-017-13.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 13. Espira em deslocamento num campo magnético.
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Na superfície lateral, o pequeno vetor \(d\vec{l}\wedge \vec{w}\) aponta para o exterior do cilindro
e a sua grandeza é o elemento de área nesta superfície. Ora, a força de Laplace
que atua sobre o elemento \(d\vec{l}\) é \(Id\vec{l}\wedge \vec{B}\), pelo que o trabalho realizado no deslocamento
fica: \(Id\vec{l}\wedge \vec{B}\cdot\vec{w}=-Id\vec{l}\wedge \vec{w}\cdot \vec{B}\), o que, somado ao longo do circuito, dá \(-I\oint d\vec{l}\wedge \vec{w}\cdot\vec{B}\), <em>i.e.</em>, o produto da corrente pelo fluxo do campo magnético através
da superfície lateral do cilindro e para o seu interior. Ora, o fluxo do campo através de
todo o cilindro é nulo, pelo que aquele fluxo iguala a diferença \(\delta \Phi \) dos fluxos entre a base
superior e a base inferior. Mais simplesmente, \(\delta \Phi \) é a variação do fluxo através da espira.
Resumindo: o trabalho realizado pelas forças de Laplace no deslocamento do circuito é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\delta W_{L}=I\delta \Phi \) (10)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Este resultado é muito útil e reproduz facilmente algumas conclusões anteriores.
Por exemplo, se a espira for muito pequena, envolvendo uma área \(S\), tem-se:
\(I\Phi =IS\vec{n}\cdot \vec{B}=\vec{\mu}\cdot\vec{B}\), onde \(\vec{\mu}\) é o momento magnético, pelo que o trabalho numa
translação da espira, é \(\delta W=\vec{\mu}\cdot\delta \vec{B}\), como atrás se encontrou.</p>

  <p class='mainText'>A eq. (10) merece alguns comentários adicionais. Com efeito, é sabido que o campo
magnético não realiza trabalho, o que parece estar em contradição com aquela equação.
Ora, ao deslocar-se através do campo magnético. A mesma variação de fluxo gera (Faraday)
uma força eletromotriz \(\varepsilon =-\frac{d\Phi }{dt}\), portanto, uma potência \(I\varepsilon\) que, integrada no
intervalo de tempo do deslocamento, é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\delta W_{F}=-I\delta \Phi \) (11)</p>

<br>

  <p class='mainText'>(Lembra-se que a corrente é mantida constante). Este “trabalho de Faraday” compensa
exactamente o “trabalho de Laplace” e, na verdade, existe um outro “trabalho de Faraday”,
igual ao anterior, porque, no seu deslocamento o campo magnético da espira faz
variar o fluxo no circuito que gera o campo magnético que a espira atravessou. A soma
destes três trabalhos do campo eletromagnético corresponde à diminuição da energia
magnética em todo o espaço, conforme se discutiu em “Os fundamentos do eletromagnetismo”
e se voltará a discutir a propósito da lei de indução de Faraday.</p>

  <p class='mainText'>Um comentário final sobre a força de Lorentz como origem das eqs. (10) e (11). Voltando
à FIGURA 13, designe-se por \(\vec{v}\) a velocidade das cargas ao longo da espira e por \(\vec{V}\) a sua velocidade na translação da espira. Para cada carga, a força de Lorentz é \(q\left ( \vec{v}+\vec{V} \right )\), sendo, evidentemente, nula a sua potência:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(0=\left ( \vec{v}+\vec{V} \right )\wedge \vec{B}\cdot\left ( \vec{v}+\vec{V} \right )=\vec{v}\wedge \vec{B}\cdot\vec{V}+\vec{V}\wedge \vec{B}\cdot\vec{v}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Se \(n\) for o número de transportadores por unidade de comprimento da espira, a intensidade
da corrente é \(I=nq\left | \vec{v} \right |\). Multiplicando por \(nqdl\) a identidade acima, substituindo
\(nq\vec{v}dl\) por \(Id\vec{l}\) e integrando ao longo da espira, obtém-se:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(I\oint d\vec{l}\wedge \vec{B}\cdot \vec{V}+I\oint \vec{V}\wedge \vec{B}\cdot d\vec{l}=0\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>O primeiro termo é a potência da força de Laplace para a translação da espira; o segundo
termo é a potência da indução de Faraday na espira (\(\vec{V}\wedge \vec{B}\) é a força de Lorentz
sobre a unidade de carga que, por integração ao longo da espira, é a força eletromotriz). Ficará, assim, mais claro por que os dois trabalhos são iguais e de sinais opostos.</p>

  <p class='mainText'>Uma discussão mais completa e profunda da lei de Faraday deverá ocupar um outro
trabalho.</p>
</html>

=Referências=
<references/>
---- <br>Criada em 12 de Dezembro de 2020<br> Revista em 3 de Fevereiro de 2021<br> Aceite pelo editor em 31 de Março de 2021<br>
[[Category:Física]]