https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php?title=Envolventes&feed=atom&action=historyEnvolventes - História de revisão2024-03-29T09:53:03ZHistórico de edições para esta página nesta wikiMediaWiki 1.21.1https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php?title=Envolventes&diff=29776&oldid=prevAdmin: Criou nova página com '<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007 <br> <span style=...'2022-03-29T09:20:16Z<p>Criou nova página com '<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007 <br> <span style=...'</p>
<p><b>Nova página</b></p><div><span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007<br />
<br><br />
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br><br />
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br><br />
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2022.007 https://doi.org/10.24927/rce2022.007]]</i></span><br><br />
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<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html><br />
----<br />
<br />
== Resumo ==<br />
<br />
Neste curto artigo vamos explorar um processo dinâmico de produzir superfícies regradas planas, a partir do movimento de retas num plano, que geram, por sua vez, curvas especiais, como envolventes, evolutas e outras, sob certas condições técnicas que não são especificadas, para manter o artigo num nível elementar. A generalização natural consiste em gerar superfícies regradas no espaço, usadas, por exemplo, em obras arquitetónicas de Calatrava e outros.<br />
<br />
<br />
<br />
<html><br />
<p class='mainText'><strong>Um modelo</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Os padrões que vamos analisar neste artigo têm todos uma característica comum: são formados<br />
pelas diversas posições de uma reta \(R\) que se desloca no plano, com um movimento<br />
que depende de uma variável \(t\) (tempo), que varia num certo intervalo \(T\). Por outras palavras,<br />
em cada instante \(t\in T\), a reta \(R\) ocupa uma posição que designamos por \(R(t)\), e o<br />
padrão é formado por todas essas retas \(\left \{ R\left ( t \right ) \right \}_{t\in T}\).</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Como se sabe, a equação de uma reta no plano, quando neste se fixa um referencial cartesiano,<br />
é da forma:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(ax+by+c=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Como a reta se move com o tempo \(t\), a equação da sua posição no instante \(t\) será pois do<br />
tipo:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(a(t)x+b(t)y+c(t)=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>onde \(a (t)\), \(b (t)\) e \(c (t)\) são funções de \(t\), bem determinadas pela lei do movimento de \(R\)<br />
(vamos supôr que \(R(0) = R\)). Vejamos um exemplo concreto.</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Um exemplo concreto</strong></p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(R\left ( t \right ):\; \; \; \; \; \left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Aqui as funções \(a\), \(b\) e \(c\) são respetivamente, \(a (t) = 1 − 2t\), \(b (t) \equiv 1\) e \(c (t) = 2t (t − 1)\).<br />
Suponhamos ainda que t varia no intervalo \(T = [−5, 5]\). O padrão é o seguinte (veja o <em>applet</em><br />
Geogebra na versão online):</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-small"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-01.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 1. A reta vermelha move-se envolvendo uma parábola.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Neste exemplo as retas \(\left \{ R\left ( t \right ) \right \}_{t}\) parecem envolver uma parábola. O exemplo foi construído<br />
da seguinte maneira: considerámos as duas retas \(y = x\) e \(y = −x\) (as bissetrizes dos<br />
quadrantes) no plano. Sobre a reta \(y = x\), desloca-se um ponto \(A\), para cima, com velocidade<br />
uniforme, partindo do ponto \((−5,−5)\), no instante \(t = −5\). No instante \(t\geq -5\), o ponto<br />
\(A\) estará na posição \(A(t) = (t, t)\). Sobre a reta \(y = −x\) desloca-se, para baixo, um outro<br />
ponto \(B\), com a mesma velocidade uniforme, partindo do ponto \((−6, 6)\), no instante \(t = −5\). O ponto \(B\) no instante \(t\geq -5\) estará na posição \(B (t) = (−1 + t, 1 − t)\).</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Para cada \(t\) no intervalo \(T = [−5, 5]\), a reta \(R(t)\) é a que une os pontos \(A(t)\) e \(B (t)\). A<br />
sua equação é:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>como o leitor poderá verificar sem qualquer dificuldade — exatamente a equação que ilustrámos<br />
na secção anterior. Eis algumas questões:</p><br />
<br />
<p class='mainText'><br />
<ul><br />
<li>como podemos mostrar com rigor que as retas \(R(t)\) envolvem uma parábola?</li><br />
<li>o que significa envolver?</li><br />
<li>como calculamos a equação dessa parábola?</li><br />
</ul><br />
</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Antes de responder a estas e outras questões, vamos analisar mais alguns exemplos.</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Mais exemplos</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Os exemplos seguintes são obtidos juntando vários módulos idênticos ao descrito na secção<br />
anterior. Assim, na FIGURA 2A), à esquerda (e no <em>applet</em> da versão online) temos três módulos,<br />
formando um triângulo equilátero, cada um deles envolvendo uma parábola. Já na<br />
FIGURA 2B) temos quatro módulos, formando um quadrado, cada um deles envolvendo uma<br />
parábola.</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-02.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 2. A) As retas azul, verde e vermelha movem-se envolvendo três parábolas. B) As retas azul, verde, vermelha e<br />
amarela movem-se envolvendo quatro parábolas.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>O leitor não terá dificuldade em descrever como são formados nas FIGURAS 2A) e 2B)<br />
(ver os <em>applets</em> na versão online). Espera-se que se sinta suficientemente estimulado para<br />
construir os seus próprios exemplos com Geogebra, ou qualquer outro programa de Geometria<br />
Dinâmica. Mãos à obra, então!</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-03.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 3.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>A teoria — Definição de envolvente</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Considere de novo uma família de retas \(\left \{ T\left ( t \right ) \right \}_{t}\), que continuamos a imaginar como as<br />
sucessivas posições resultantes de um determinado movimento de uma reta dada \(R\). A envolvente<br />
da família de retas \(\left \{ T\left ( t \right ) \right \}_{t\in T}\) é uma curva \(E\) que, em cada um dos seus pontos,<br />
é tangente a alguma das retas \(R(t)\). Para explicar como calculamos a envolvente, vamos<br />
de novo usar o exemplo concreto que considerámos no início:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(R\left ( t \right )\doteq \left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Ponto característico</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Fixemos um instante \(t\) arbitrário e a reta \(R(t)\). Para um \(h > 0\) muito pequeno, consideremos<br />
a reta \(R(t + h)\). Qual a equação desta reta? É evidentemente:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(R(t + h) = (1 − 2 (t + h)) x + y +2 (t + h) ((t + h) − 1) = 0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Estas duas retas intersetam-se num ponto situado na reta \(R(t)\). O problema é determinar<br />
(com \(t\) fixo), a posição limite deste ponto, quando \(h\rightarrow 0\). A este ponto limite chama-se<br />
o ponto característico \(C (t)\) da reta \(R(t)\) (FIGURA 4).</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-small"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-04.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 4. Ponto característico.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Envolvente</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Quando \(t\) varia, o ponto característico \(C (t)\) descreve uma curva que é exatamente a envolvente<br />
das retas \(R(t)\). No exemplo que temos vindo a tratar, será uma parábola.</p><br />
<br />
<p class='mainText'>Vejamos então como calcular a equação da envolvente. Para um \(t\) fixo e um \(h\) muito<br />
pequeno, mas diferente de \(0\), o ponto de interseção das duas retas próximas \(R(t)\) e<br />
\(R(t + h)\), calcula-se procurando a solução \((x, y)\) das duas equações seguintes:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}<br />
R\left ( t \right ) & = & \left ( 1-2t \right )+x+y+2t\left ( t-1 \right ) & = & 0\\<br />
R\left ( t+h \right ) & = & \left ( 1-2\left ( t+h \right )\right )x+y+2\left ( t+h \right )\left (\left ( t+h \right )-1 \right ) & = & 0<br />
\end{matrix}\right.\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Mas não podemos fazer \(h = 0\) nestas equações — senão elas coincidiam e haveria uma<br />
infinidade de soluções. Em vez disso, substituímos o sistema anterior pelo equivalente (não<br />
esqueça que \(h\neq 0\)):</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}<br />
R\left ( t \right ) & = & 0\\<br />
\frac{R\left ( t+h \right )-R\left ( t \right )}{h} & = & 0<br />
\end{matrix}\right.\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Fazemos agora \(h\rightarrow 0\) na segunda equação, com \(t\) fixo, e representamos o resultado<br />
por \(\partial _{t}R\left ( t \right )\):</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{R\left ( t+h \right )-R\left ( t \right )}{h}=\partial _{t}R\left ( t \right )\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>A equação da envolvente calcula-se finalmente, eliminando t nas duas equações seguintes:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}<br />
R\left ( t \right ) & = & 0\\<br />
\partial _tR\left ( t \right ) & = & 0<br />
\end{matrix}\right.\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>que são, no nosso exemplo concreto:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}<br />
\left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right ) & = & 0\\<br />
-2x+2\left ( t-1 \right )+2t & = & 0<br />
\end{matrix}\right.\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>A segunda equação dá \(t = (1 + x) /2\), valor que substituímos na primeira, para obter a<br />
equação da envolvente:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(y=\frac{1+x^{2}}{2}\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Exemplo de Steiner</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Consideremos duas retas — uma definida por dois pontos \(A\) e \(B\), e outra definida por dois<br />
pontos \(C\) e \(D\). Para cada \(t\) definimos dois pontos:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(P(t)=A+t\frac{\overrightarrow{AB}}{\left \| \overrightarrow{AB} \right \|}\) na reta \(AB\), e \(Q(t)=C+\frac{1}{t}\frac{\overrightarrow{CD}}{\left \| \overrightarrow{CD} \right \|}\) na reta \(CD\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>e ainda a reta \(R(t)\) definida pelos dois pontos \(P (t)\) e \(Q(t)\). É possível provar que a envolvente<br />
dessas retas é uma elipse (FIGURA 5 e o applet na versão online):</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-small"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-05.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 5.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'><strong>Evoluta de uma curva plana</strong></p><br />
<br />
<p class='mainText'>Consideremos uma curva \(\alpha (t)\), com \(\alpha'\left ( t \right )\neq0\). Para cada \(t, \alpha (t)\) admite uma reta<br />
tangente bem definida e portanto uma reta normal \(N (t)\), também bem definida. Pondo<br />
\(\alpha (t) = (x (t) , y (t))\), então a reta normal \(N (t)\) é definida pela condição seguinte:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(\left ( X-x\left ( t \right ),Y-y(t) \right )\cdot\left ( x'\left ( t \right ),y'\left ( t \right ) \right )=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>Aqui \((X, Y )\) representa um ponto genérico sobre a reta \(N (t)\). A equação de \(N (t)\) é pois:</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText centered'>\(x'(t)\left ( X-x(t) \right )+y'\left ( t \right )\left ( Y-y\left ( t \right ) \right )=0\)</p><br />
<br />
<br><br />
<br />
<p class='mainText'>A envolvente das retas normais \(N (t)\) chama-se a evoluta da curva \(\alpha\). Na FIGURA 6 (veja<br />
os applets na versão online), mostram-se as evolutas de uma elipse e de uma parábola.</p><br />
<br />
<br><br />
<center><br />
<figure class="image-medium"><br />
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-06.jpg"><br />
</figure><br />
<figcaption>FIGURA 6.<br />
</figcaption><br />
</center><br />
<br><br />
</html><br />
<br />
=Referências=<br />
# <html>PEDIGO, J. <em>et al.</em>,<br />
<em>Wonderful Curves Sampler Quilt Block Book: 30 Blocks, 14 Projects, Endless Possibilities</em>, Landauer<br />
Publishing, ISBN-10: 1947163728.</html><br />
# <html>BOLTYANSKY, V.,<br />
<em>Envelopes. Popular lectures in mathematics</em>, Pergamon Press and MIR Editions. 1964.</html><br />
# <html>HANNA, G. & JAHNKE, H. N.,<br />
<em><a class="a-link" target="_blank"<br />
href="https://www.semanticscholar.org/paper/Arguments-from-Physics-in-Mathematical-Proofs%3A-An-Hanna-Jahnke/4267b30f759dcc54b91f9a974d222d8375e25df8">Arguments from Physics in Mathematical Proofs: An Educational Perspective</a></em>, <em>For the<br />
Learning of Mathematics</em>, 22, 3, pp. 38-45.</html><br />
<br />
---- <br>Criada em 7 de Janeiro de 2022<br> Revista em 10 de Janeiro de 2022<br> Aceite pelo editor em 15 de Março de 2022<br><br />
[[Category:Matemática]]</div>Admin