Dioptra

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Referência : Faria, A., (2022) Dioptra, Rev. Ciência Elem., V10(2):020
Autor: Alzira Faria
Editor: João Nuno Tavares
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2022.020]
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O uso de Geometria elementar foi essencial num número variado de aplicações, sobretudo na área da topografia, arquitetura e engenharia, tendo sido o seu uso de extrema importância para medir fisicamente distâncias e alturas com instrumentos de medição simples. A dioptra é um bom exemplo de um instrumento que permitiu o cálculo de distâncias inacessíveis recorrendo ao uso de Geometria elementar.


O desenvolvimento da topografia foi especialmente importante no Egito, pois, após cada cheia do Nilo era necessário restaurar os limites dos terrenos[1].

Richard Talbert[2] destaca a existência de dois procedimentos opostos no levantamento topográfico. Um envolve medir uma certa parte da superfície da terra, anotar elementos artificiais sobre ela e registar o resultado num mapa ou plano desenhado a uma escala adequada. O outro, que o autor designa como “traçado”, é o processo inverso: o posicionamento das características pretendidas, limites, edifícios ou obras de engenharia no solo, na posição correta e pretendida. Um agrimensor que pretenda construir, por exemplo, aquedutos ou vias férreas, terá que realizar os dois procedimentos. Primeiro tem que registar a forma do terreno e depois, com essa informação, decidir o melhor percurso e marcá-lo no terreno.

Da necessidade de efetuar medições de terras, nasceu a Geometria grega, e um elemento importante desta Geometria era o estudo dos triângulos e das respetivas semelhanças. Lucio Russo, no seu livro The Forgotten Revolution, afirma[3]: “Heródoto atribui aos egípcios a introdução da Geometria, no sentido original da medição do terreno, e especifica que esta surgiu da necessidade de estimar, para efeitos fiscais, a quantidade de parcelas de terreno que foram corroídos pelo Nilo. Quando a Geometria grega se lançou no seu espetacular curso de desenvolvimento, as suas aplicações concretas, tais como a agrimensura e a topografia, foram reclassificadas sob a rubrica de geodesia. Infelizmente, existe escassa documentação direta sobre a evolução destas técnicas desde a fase empírica, comum a muitas civilizações antigas, até à topografia e cartografia baseadas na ciência helenística”.

O desenvolvimento de uma teoria de topografia mais sofisticada e de instrumentos mais versáteis apareceu no início do século III a.C.[4] aquando da criação da biblioteca e do museu em Alexandria. Os instrumentos de levantamento topográfico começaram a basearem-se na teoria científica que foi sendo alimentada a partir da experiência prática. O conhecimento sobre a topografia Grega advém de quatro tratados técnicos, mas apenas o de Heron de Alexandria, A Dioptra, do século I d.C. está quase completo. Dos outros, existem fragmentos de manuais anónimos, que se pensam ser dos séculos III e II a.C. e que foram encontrados posteriormente em obras de autores, como Julius Africanus (Anonymus Byzantinus) e al-Karaji<[5]. O conteúdo consiste em exercícios práticos acompanhados de diagramas geométricos.

Etimologicamente, a palavra dioptra significa algo para ver através. Para o levantamento topográfico, supõe-se que tenha começado por ser um tubo de visão estreito suspenso horizontalmente por fios ou correntes. Segundo Richard Talbert[6], é possível que tenha sido adotada pelo Gregos no século VI a.C. mas concebida pela primeira vez na Pérsia para manter o alinhamento e a inclinação ao construir qanats, túneis de captação de água. Já no final do século III a.C., o tubo evoluiu para a alidade — uma barra onde, em cada extremidade, existiam pínulas ou palhetas que serviam de miras. Como era difícil alinhar o buraco com o alvo, adicionaram fendas estreitas para facilitar a visão.

Como já referido, o manuscrito que fala sobre topografia e de um dos instrumentos usados por ela é a A Dioptra. Ainda existem exemplares deste manuscrito e podem ser encontrados, um na Biblioteca Real de Viena, outro na Biblioteca da Universidade de Estrasburgo e outro na Biblioteca Nacional de Paris[7]. Segundo Papadopoulos[8], a obra começa com uma introdução à “ciência da dioptra” e descreve o instrumento como combinação de teodolito e nível de água. Heron apresenta nesta obra todos os trabalhos anteriores sobre o tema mas rapidamente os dispensa e dá instruções sobre como construir uma dioptra e como utilizá-la. Apesar de não haver conhecimento da existência de um exemplar físico da dioptra feito na antiguidade, vários autores fizeram uma interpretação do que foi dito por Heron propondo uma reconstrução e inserindo elementos básicos que lhes era úteis, ou seja, diferiam em pequenos detalhes. Segundo Gallo[9], desde o século XIX vários autores têm vindo a apresentar propostas, nomeadamente, Venturi, em 1814, Vincent, em 1858 (FIGURA 1A)) e Schöne, em 1899, voltando a aprofundar o assunto em 1903 (FIGURA 1B)). Mais tarde, surgem novas propostas de Drachmann em 1935, 1954 e 1968, a que se segue Adam, em 1982[10].


FIGURA 1. Reconstrução gráfica da dioptra. A) Venturi, 1814 e Vincent, 1858[11]. B) Schöne, 1899[12].

Na obra de Richard Talbert[13] podemos ler a descrição de uma experiência de reconstrução de uma dioptra padrão com um disco de madeira com 60 cm de diâmetro (FIGURA 2) e, uma vez que as fontes são completas, o autor descreve-a como uma reconstrução que está próxima da verdade. Funciona tanto no plano horizontal como no plano vertical.


FIGURA 2. Dioptra padrão reconstruída no modo horizontal e vertical[14].

Quando está montada horizontalmente sobre um tripé, com a ajuda de uma junta giratória, é usada para projetar linhas retas em qualquer direção, para marcar o solo e, segundo Richard Talbert, também pode ser usada para traçar retas perpendiculares a retas já traçadas por meio de diâmetros em ângulo reto inscritos no disco. Ainda, segundo o autor, um quarto da borda é graduado em graus e foi usado para observações celestes, mas não para levantamentos terrestres.

No seu nível mais básico, o uso da dioptra consiste em traçar ângulos retos, projetar linhas pela mira através da alidade em ambas as direções e construir triângulos semelhantes a outros triângulos já construídos.

Sabe-se que, se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos do vértice, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro (FIGURA 3). Assim, se dois triângulos têm lados correspondentes proporcionais, então eles são semelhantes — critério LLL. Este resultado será usado diversas vezes nos exemplos que serão vistos à frente.


FIGURA 3. Semelhança de triângulos.

Os exemplos do uso da dioptra, especialmente os de Heron, são em levantamentos de terras, obras de Engenharia e ainda mapeamento. Por exemplo, na guerra, o uso da dioptra é fundamental e típico. Um exército em marcha pode ver-se obrigado à necessidade de construir uma ponte se encontrarem um rio que lhes impede a passagem.


Calcular a distância de um ponto de uma das margens de um rio a um ponto da margem oposta

Podemos ver uma aplicação da dioptra para calcular a distância de um ponto de uma das margens de um rio a um ponto da margem oposta. Na FIGURA 4 consideramos que \(CD\) e \(MN\) são as margens de um rio. Posiciona-se a dioptra na margem \(MN\) no ponto A e vira-se a alidade até que o ponto \(N\), na margem \(MN\), seja visível através dela. Roda-se a alidade e escolhe-se uma marca, que vamos designar por \(B\), do outro lado do rio, na margem \(CD\), de forma que seja vista através da alidade e que \(AB\) forme um ângulo reto com \(AN\). Para simplificar, o autor[15] supõe que as margens sejam paralelas. Assim, AB é perpendicular a ambas as margens do rio e será considera a largura do rio.


FIGURA 4. Largura de um rio.

Para proceder à descoberta da distância horizontal de \(A\) a \(B\), ainda com o auxílio da dioptra, temos o ponto \(A\) junto a nós e o ponto \(B\) afastado. Posicionando a dioptra no ponto \(A\), roda-se a alidade até que o ponto \(B\) seja avistado. Dá-se a volta para o outro lado da alidade, ajustando o plano de visão se necessário e, sem mover mais nada, marca-se o ponto \(T\), que se encontra do nosso lado e no alinhamento de \(A\) e \(B\). Depois, com o auxílio da dioptra, traça-se um segmento de reta \(TE\) perpendicular a \(BT\). Move-se a dioptra para o ponto \(E\) e ajusta-se a alidade de forma a visualizar \(B\) e na interseção de \(BE\) com a linha perpendicular a \(AT\) que passa por \(A\) marcamos o ponto \(A′\). Desta forma, estamos perante dois triângulos retângulos, \(BAA′\) e \(BTE\), com \(AA′\) paralelo a \(TE\). Temos que,


\(\frac{TE}{AA'}=\frac{TB}{AB}\)

Como \(TB=TA+AB,\frac{TE}{AA'}=\frac{TA+AB}{AB}\Leftrightarrow AB\cdot TE=TA\cdot AA'+AB\cdot AA'\)

\(AB=\frac{TA\cdot AA'}{TE-AA'}\)


Assim encontramos a medida procurada \(AB\) uma vez que \(AA′\), \(TE\) e \(TA\) podem ser medidas no local.

Quando se pretendem fazer medições em altura, a dioptra é suspensa verticalmente (FIGURA 2) numa base horizontal sobre um tripé, onde atua como o seu próprio prumo. A linha do diâmetro está na vertical e a alidade na horizontal. A imagem é observada numa vara alta colocada na vertical e segura por um assistente que, na direção do topógrafo, move um cursor para cima ou para baixo de forma a fazer coincidir com a linha horizontal de visão.

Das várias funções associadas à dioptra, o nivelamento é uma das mais importantes, principalmente quando aplicada à construção de canais de irrigação e mais tarde nos aquedutos. Das várias fontes existentes ilustradas com diagramas maioritariamente de representação geométrica e com uso de instrumentos, temos conhecimento de quatro métodos diferentes, propostos por Al-Karaji (dois métodos), Philo de Bizâncio e Heron[16]. Três deles, ainda não muito perfeitos, propostos por Al-Karaji e Philo, e um método proposto por Heron que tornou possível alcançar um grande avanço de tal forma que prevalece até à atualidade. Al-Karaji preocupou-se apenas com o nivelamento para a irrigação e, em ambos os métodos que propõe, tem em conta a altura do instrumento acima do solo. Esta altura, em teoria, deveria ser sempre a mesma, mas devido à irregularidade do terreno e da forma como é fixado ao chão, as leituras podem-se tornar imprecisas.

Todo o processo dos diferentes métodos consiste em alternar entre as posições da equipa e a posição e altura do instrumento. Na que se supõe ser a primeira proposta de Al-Karaji (FIGURA 5) pretende-se determinar a altura \(x\) (inclinação do terreno) e, para isso, é fixada uma vara numa posição aleatória. Move-se o instrumento a uma distância \(d_1\) para um dos lados da vara, faz-se a leitura na vara e fixa-se o ângulo de inclinação do instrumento. Sem alterar a configuração do instrumento obtida, move-se o instrumento uma distância \(d_2\), igual a \(d_1\), para o outro lado da vara (FIGURA 5) e faz-se a leitura da nova medida. O valor pretendido \(x\) é obtido fazendo a diferença das duas medidas.


FIGURA 5. Método de Al-Karaji I[17].

Philo de Bizâncio apresenta um método mais simples e tem por objetivo trabalhar um lote de terra até que esteja nivelado e adequado para irrigação (FIGURA 6). O agrimensor coloca-se ao lado da saída da fonte de água com o instrumento posicionado o mais horizontalmente possível. Do outro lado, e a uma distância qualquer, conveniente, prática e não especificada, está uma equipa com uma vara não graduada, mas pintada com círculos coloridos de forma que sejam visíveis facilmente à distância. Mede-se a altura do chão até à marca e obtém-se a medida \(x\) pretendida.


FIGURA 6. Método de Philo[18].

O segundo método de Al-Karaji é semelhante ao método de Philo exceto que tem em conta a altura do instrumento (FIGURA 7). Na vara é marcado a vermelho a altura do instrumento, fazendo a diferença entre a leitura na vara e a altura do instrumento, obtemos a medida \(x\) pretendida. Também aqui, a distância entre o instrumento e a vara não é importante, dando bastante flexibilidade ao agrimensor, não obrigando a fixar distâncias.


FIGURA 7. Método de Al-Karaji II[19].

Heron percebeu que, em vez do instrumento mudar de lugar, deveria ser a vara, fixando o instrumento. Desta forma, a altura do instrumento é irrelevante (FIGURA 8). O instrumento é fixado e são colocadas duas varas a uma qualquer distância do instrumento. A altura \(x\) é obtida fazendo a diferença entre as duas leituras nas varas.


FIGURA 8. Método de Heron[20].


Encontrar a altura de um muro sem se aproximar

Outro uso da dioptra, este na esfera militar, consiste em medir a altura de um muro. Um comandante está a cercar uma cidade e quer assaltá-la. Para construir escadas ou torres de cerco precisa saber a altura do muro.

Esta experiência está descrita nos manuais antigos[21] e requer duas fases para estimar a altura de um muro. Uma fase com a dioptra em modo horizontal (FIGURA 9) e outra com o instrumento em modo vertical (FIGURA 10). Começamos por estimar a distância do muro ao local de observação \(AB\) (FIGURA 9). Posicionamos o observador no ponto \(A\) de forma a que seja possível avistar a base do muro \(B\). Traça-se uma perpendicular \(AF\) a \(AB\) e define-se uma distância arbitrária até um ponto \(G\), situado no segmento \(AF\). Traça-se uma paralela a \(AB\) e, portanto, perpendicular a \(AF\) a partir de \(G\). Colocamos o observador em \(F\) de forma a observar o muro, \(B\), e define-se o ponto \(H\) como sendo o ponto de interseção de \(FB\) com a reta, traçada anteriormente, que é perpendicular a \(AF\) e que passa por \(G\). Após a marcação dos pontos \(A\), \(G\), \(F\), e \(H\) conforme o esquema da FIGURA 9, procede-se à medição de \(AF\), \(GF\) e \(GH\).


FIGURA 9. Medições no plano[22].

Como os triângulos \(FGH\) e \(FAB\) são semelhantes, podemos estimar o valor de \(AB\):


\(\frac{AB}{GH}=\frac{AF}{GF}\Leftrightarrow AB=\frac{AF\cdot GH}{GF}\) (1)


Para proceder às medições em altura (FIGURA 10), posicionamos o observador em A e uma vara graduada \(ED\) numa posição arbitrária, seja \(E\). Do ponto \(A\) o observador avista o topo do muro, \(AC\), e define o ponto de interseção com a vara em \(D\). Do ponto \(A\), o observador avista a base do muro, \(AB\), e define o ponto de interseção com a vara em \(E\). Desta forma será possível fazer a medição, na vara, de \(ED\), e ainda, a medição da distância \(AE\).

Como estamos novamente perante triângulos semelhantes, \(AED\) e \(ABC\), em conjunto com \(AB\), determinado em (1), conseguimos estimar o valor a altura do muro, \(BC\):


FIGURA 10. Medições em altura[23].


\(\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}\Leftrightarrow BC=\frac{DE\cdot AB}{AE}\). (2)


Esta experiência foi realizada por Richard Talbert[24] para medir a altura de uma chaminé e quando foi feita a medição direta da altura real da chaminé o autor verificou que o cálculo deu um valor menor em 11cm, errando em apenas 0,13%. Dado que a chaminé se encontrava a 293m de distância, foi um resultado respeitável.

Outras possíveis utilizações da dioptra são a determinação da altura perpendicular de um ponto visível acima do plano horizontal desenhado através da nossa posição, sem nos aproximarmos desse ponto e a determinação da profundidade de um fosso perpendicular à altura do seu chão até ao plano horizontal, quer através da nossa posição ou através de qualquer outro ponto.


Encontrar a altura de um ponto visível acima do nosso plano horizontal

Fixamos o ponto alto \(A\) e posicionamo-nos em \(B^2\). Posicionamos a dioptra em \(B\) (FIGURA 11) apoiada numa coluna, \(BT\). Ajusta-se a alidade \(ETE_1\) de forma a avistar \(A\), fixa-se a sua posição e, sem mover a dioptra, colocamos duas varas verticais \(P_3H\) e \(P_2K\), de alturas diferentes. A mais alta deve ser colocada mais perto do ponto \(A\), \(P_2K\).

Vamos supor que a superfície do solo tem uma forma do tipo \(BP_3P_2P_1\), e imaginamos o plano horizontal a partir da nossa posição como sendo \(BA′\). Movem-se as varas \(P_3H\) e \(P_2K\) até que apareçam em linha reta com o ponto \(A\), sem que a alidade se mova. Observamos o ponto \(H\) na vara \(P_3H\) e o ponto \(K\) em \(P_2K\). A projeção de \(P_3H\) e \(P_2K\) no plano horizontal \(BA′\) define os pontos \(M\) e \(N\) e as linhas \(HZ\) e \(KO\) são paralelas ao plano horizontal \(BA′\). Determinamos o quanto \(P_3\) é maior que \(B\), nivelando \(B\) e \(P_3\) do nosso lado. Depois, determinamos \(P_3M\) e, analogamente, \(NP_2\).

Uma vez que conhecemos o valor de \(HP_3\) e \(HP_2\), determinamos a altura de \(HM\), \(KN\) e obtemos \(KZ\) fazendo a diferença entre as duas alturas. O comprimento \(HZ\) também é conhecido, pois é a distância horizontal entre \(P_3\) e \(P_2\). Portanto, o \(\frac{HZ}{KZ}\) é conhecido.

Consideremos a perpendicular \(AOPA′\) definida a partir de \(A\), com o plano horizontal \(BA′\). Definimos assim dois triângulos semelhantes \(HZK\) e \(KOA\). Então, \(\frac{HZ}{ZK}=\frac{KO}{AO}\) e como \(KO\) é conhecido, pois é igual à distância horizontal entre \(P_2\) e \(P\), obtemos a altura \(AO=KO\times \frac{ZK}{HZ}\).

Sabemos ainda o valor de \(OA′\), uma vez que é igual ao valor de \(KN\). Portanto, a altura \(AA′\) é conhecida:


\(AA'=AO+OA'=AO+KN\)



FIGURA 11. Altura.

Encontrar a profundidade de um fosso

Seja \(ABCD\) um fosso e \(B\) um ponto no fundo do fosso[25]. Coloca-se a dioptra num ponto qualquer, seja \(E\) (FIGURA 12). \(EI′\) é o apoio da dioptra e \(I_1I_2\) a alidade. Inclina-se a alidade até que \(B\) seja visível. Imaginamos o solo como sendo \(DEFGM\) e \(ADHO\) o plano base da nossa posição. Alinha-se com a alidade \(I_1I_2\), duas varas \(FN\) e \(MQ\). Avistamos, e é feito o registo dos pontos \(N\) na vara \(FN\) e \(Q\) na vara \(MQ\).


FIGURA 12. Profundidade de um fosso[26].

O problema consiste em encontrar a altura da perpendicular de \(B\) ao plano horizontal \(ADO\), seja \(AB\). Considera-se o plano horizontal, \(BO′\), que contém \(B\), prolonga-se a vara \(MQ\) até \(O′\) e a vara \(FN\) até \(H\) e imagina-se ainda, partindo de \(N\), a linha \(NP\) paralela a \(DO\). NP pode ser obtido uma vez que é igual ao intervalo entre F e M, que pode ser medido. Também pode ser medido \(FH\) e \(MO\), e obtemos \(QP\) fazendo a diferença entre \(QPO\) e \(NH\) (procedimento semelhante ao utilizado para encontrar a altura de um ponto visível acima do nosso plano horizontal).

Temos que,


\(\frac{NP}{QP}=\frac{BO'}{QO'}\)


Como \(QO'=QO+OO',OO'=AB\) e \(BO'=AO\), então


\(\frac{NP}{QP}=\frac{AO}{QO+AB}\Leftrightarrow QO.NP+AB.NP=AO.QP\)


Ou seja,


\(AB=\frac{AO.QP-QO.NP}{NP}\).


Conclusão

Apesar de nenhuma dioptra da Antiguidade ter chegado aos nossos dias, sabemos que era o instrumento de levantamento topográfico padrão dos antigos gregos. Conhecemos vários usos da dioptra, que envolvem medir a distância entre pontos afastados sem se aproximar deles, uma prática muito usada para fins militares ou para mapeamento nas montanhas[27]. Este instrumento permitiu o cálculo de distâncias inacessíveis recorrendo ao uso de triângulos semelhantes tendo a vantagem de não necessitar de trigonometria e consequentemente, sem necessidade de recorrer a tabelas trigonométricas. Analisando os vários modelos propostos percebe-se que o método, sendo simples, apenas exige cuidado no manuseamento do instrumento, obtendo um funcionamento tanto mais correto quanto melhor for a precisão da sua construção. As obras de engenharia que sobreviveram mostram a importância do uso da dioptra.

Referências

  1. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  2. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  3. RUSSO, L., The Forgotten Revolution, How Science Was Born in 300 BC and Why it Had to Be Reborn, Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2004.
  4. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  5. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  6. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  7. GALLO, I. M. G., Nuevos Elementos de Ingeniería Romana, III Congresso da las Obras Públicas Romanas, Astorga.
  8. PAPADOPOULOS, E., Heron of Alexandria, National Technical University of Athens. 2007.
  9. GALLO, I. M. G., Nuevos Elementos de Ingeniería Romana, III Congresso da las Obras Públicas Romanas, Astorga.
  10. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  11. VINCENT, A. J. H., Extraits des Manuscrits relatifs A La Géométrie Pratique des Grecs, Imprimerie Impériale. 1748.
  12. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  13. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  14. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  15. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  16. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  17. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  18. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  19. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  20. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  21. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  22. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  23. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  24. TALBERT, R. J. A., Ancient Perspectives: Maps and Their Place in Mesopotamia, Egypt, Greece, and Rome, University of Chicago Press>. 2012.
  25. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  26. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.
  27. LEWIS, M. J. T., Surveying Instruments of Greece and Rome, Cambridge University Press, 2001.


Criada em 6 de Abril de 2021
Revista em 20 de Setembro de 2021
Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2022