Derivada

Referência : Tavares, J. N., (2018) Derivada, Rev. Ciência Elem., V6(1):089
Autor: João Nuno Tavares
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2018.089]

Dada uma função $f:D\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ define-se a taxa média de variação de f num ponto a, interior ao domínio de f, através de

$\Delta_af(h)\doteq \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

(depende de a, h e, é claro, de f). A definição faz sentido uma vez que se a é ponto interior ao domínio D de f, a pertence a um intervalo aberto contido em D. Portanto, se $h\neq 0$ é suficientemente pequeno, $a+h\in D$ .

A derivada de f no ponto a é a taxa instantânea de variação de f no ponto a, isto é

$f'(a)\doteq \lim_{h\to 0} \Delta_af(h)= \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

quando este limite existe. A derivada de f no ponto a, depende apenas do comportamento local de f numa vizinhança de a - é pois um conceito local.

Pondo $\displaystyle x=a+h$ , o que implica que $\displaystyle h=x-a$ , e substituindo na definição anterior, podemos dar uma outra forma à definição de derivada de f no ponto a