Mostrar código-fonte de A fórmula de Planck

<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Lage, E., (2020) ''A fórmula de Planck'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V8(4):057
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>Eduardo Lage</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usu&aacute;rio:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2020.057 https://doi.org/10.24927/rce2020.057]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2020-057.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

<html>
 <p class='mainText'>O estudo da radiação térmica foi iniciado por Kirchhoff (1860) que introduziu dois conceitos
fundamentais: a intensidade espectral – a energia transportada, em cada segundo,
por radiação com uma dada frequência \(\nu \) em equilíbrio térmico com matéria à temperatura
absoluta \(T\) - que provou só depender da frequência e da temperatura, \(I_{\nu }\left ( T \right )\), e
a noção de corpo negro, um corpo ideal que absorve toda a radiação que nele incida. A
determinação desta intensidade \(I_{\nu }\left ( T \right )\) foi um problema central da Física, teórica e experimental,
durante toda a segunda metade do séc. XIX. Boltzmann (1884) mostrou que
a intensidade total da radiação emitida por um corpo negro é proporcional a \(T^{4}\), e Wien
(1893) reduziu a intensidade espectral à forma \(I_{\nu}\left ( T \right )=\nu^{3}f\left ( \frac{\nu}{T} \right )\). Todas as tentativas
para encontrar esta função universal \(f\), dentro das teorias clássicas, mostrar-se-iam não
só infrutíferas como conduziam a resultados em desacordo com dados experimentais e
absurdos tais como a catástrofe ultravioleta. A resolução definitiva destes problemas seria
encontrada por Planck (1900) com a introdução de conceitos sem qualquer cabimento
em teorias clássicas, inaugurando, dessa forma, a moderna teoria quântica.</p>

 <p class='mainText'>A teoria da radiação térmica tinha aberto, em 1900, uma profunda crise na Física Clássica.
Havia, por um lado, resultados que se deveriam considerar exactos como a lei de Wien para
a intensidade espectral da radiação emitida por um corpo negro, à temperatura absoluta \(T\):</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(I_{\nu}=\nu ^{3}f\left ( \frac{\nu}{T} \right )\) (1)</p>

<br>

  <p class='mainText'>A intensidade espectral é a energia transportada, em cada segundo, pelas ondas eletromagnéticas,
de frequência \(\nu\), que constituem a radiação e, na eq. (1), a função \(f (x)\)
era desconhecida. Não obstante, esta expressão para a intensidade espectral reproduzia
a lei de Stefan-Boltzmann: a intensidade total radiada por um corpo negro é proporcional
\(T^{4}\), um resultado verificado experimentalmente numa ampla gama de temperaturas. E
também originava a lei de deslocamento de Wien: o máximo da intensidade radiada ocorre
para uma frequência proporcional à temperatura absoluta. A referida crise situava-se na
determinação da função \(f (x)\) quando se usavam modelos realistas, embora simplificados,
para o átomo considerado como um oscilador harmónico capaz de emitir e absorver
radiação. Relembremos dois importantes resultados obtidos para a densidade espectral
de energia, <em>i.e.</em>, a energia eletromagnética, por unidade de volume, associada com as ondas de frequência \(\nu\):</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(u_{\nu}\left ( T \right )=\frac{4\pi}{c}I_{\nu}\left ( T \right )=\frac{4\pi}{c}\nu^{3}f\left ( \frac{\nu}{T} \right )\) (2)</p>

<br>

  <p class='mainText'>1º: A fórmula de Wien que parecia ajustar-se bem aos resultados experimentais para
“altas” frequências:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(u_{\nu}\left ( T \right )\propto \nu^{3}e^{-\frac{b\nu}{T}}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>onde \(b\) é uma constante ajustável.</p>

  <p class='mainText'>2º: A relação de Planck entre a densidade espectral e a energia média \(\left \langle E \right \rangle\), de um oscilador
harmónico que troca energia com o campo de radiação:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(u_{\nu}=\frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}\left \langle E \right \rangle\) (3)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Este último resultado origina a fórmula de Rayleigh-Jeans e a consequente catástrofe
ultravioleta se usarmos \(\left \langle E \right \rangle=k_{B}T\) como determinado pela Física Estatística Clássica:
a radiação seria tanto mais intensa quanto maior a sua frequência sem limite superior!</p>

  <p class='mainText'>Em Outubro 1900, Planck toma conhecimento dos resultados de dois grupos experimentais,
em Berlim, que parecem indicar que a expressão de Wien se aproxima da previsão de
Rayleigh-Jeans para “baixas” frequências. Perante estes dois limites, Planck encontra uma
fórmula de interpolação que se ajusta com perfeição a todos os resultados experimentais,</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(u_{\nu}\left ( T \right )=\frac{8\pi}{c^{3}}\frac{\nu^{3}}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}}-1}\), (4)</p>

<br>

  <p class='mainText'>surgindo, aqui, \(h\) como uma verdadeira constante, embora de valor desconhecido, mas
que serve para definir o que são “altas” temperaturas ou “baixas” frequências, antes
referidas:
\(\frac{h\nu}{k_{B}T}\ll 1\). Mas qual o significado físico desta fórmula que tão bem se ajusta
aos dados experimentais? Usando a eq. (3), obtemos o valor médio da energia de um
oscilador mecânico:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\left \langle E \right \rangle=\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}}-1}\) (5)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Suponhamos, agora que temos \(N\gg 1\) destes osciladores – a energia média desta coleção
é:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(U=N\left \langle E \right \rangle=\frac{Nh\nu}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}}-1}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Os osciladores trocam energia através da radiação – mas o acoplamento é feito através
da carga do eletrão, quantidade suficientemente pequena para a podermos ignorar (ela
não aparece na fórmula anterior) e, assim, podemos considerar o sistema de osciladores como estando praticamente isolado, com aquela energia \(U\). Qual a entropia desta coleção
de osciladores? Sabemos que
\(\frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T}\); assim, eliminando \(T\) através da expressão da
energia \(U\) e integrando, obtemos:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(S\left ( U,N \right )=k_{B}\left [ \left ( N+\frac{U}{h\nu} \right )log\left ( N+\frac{U}{h\nu} \right )-\frac{U}{h\nu}log\left ( \frac{U}{h\nu} \right )-NlogN \right ]\) (6)</p>

<br>

  <p class='mainText'>[O último termo nesta expressão, embora irrelevante para o que se segue, é metido “à
mão” para garantir a extensibilidade da entropia: \(S (xU, xN) = xS (U,N)\) para qualquer
\(x > 0\)]</p>

  <p class='mainText'>Passou, então, a ser este o problema de Planck: como obter esta entropia? Para o resolver,
Planck vai socorrer-se da interpretação estatística de Boltzmann (que antes não aceitava):
a entropia é o logaritmo (multiplicado pela constante de Boltzmann) do número de maneiras
de distribuir a energia \(U\) pelos \(N\) osciladores. E faz duas hipóteses, ambas ao arrepio de
qualquer interpretação clássica. Primeiro, admite que a energia \(U\) é constituída por um certo
número (n) de elementos finitos de energia (\(\varepsilon \)), todos iguais (pelo que \(U = n
\varepsilon\)), a que
Planck deu o nome de elemento de energia (mais tarde, chamou-lhe “quantum” de energia).
Isto é, Planck considera a energia disponível como se tivesse uma “estrutura atómica”, atribuindo
a cada oscilador um certo número destes “átomos de energia” [O leitor não deixará
de notar o “desespero” a que Planck chegara – ele tinha sérias reservas à teoria atómica da
matéria!]. Segundo, embora os osciladores sejam distinguíveis, estes elementos de energia
são indistinguíveis, um conceito totalmente inexistente na Física Clássica. Então, o número
de maneiras de distribuir os \(n\) elementos de energia pelos \(N\) osciladores é:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(W_{N}=\frac{\left ( N+n-1 \right )!}{n!\left ( N-1 \right )!}\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>[Este é o número de maneiras de distribuir \(n\) pontos idênticos por \(N\) caixas contíguas –
cada estado possível é obtido permutando os \(n\) pontos e as \(N − 1\) paredes que dividem,
internamente, as caixas, não contando como distintos quer as permutações dos pontos
entre si, quer as permutações dessas paredes]. Considere-se, agora, que \(N\) e \(n\) são números
grandes; usando a fórmula de Stirling para calcular o logaritmo de \(W_{N}\) e eliminar
\(n\) em favor de \(U\) , obtém-se:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\frac{S}{k_{B}}=\left ( N+\frac{U}{\varepsilon } \right )log\left ( N+\frac{U}{\varepsilon } \right )-\frac{U}{\varepsilon }log\frac{U}{\varepsilon }-NlogN\)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Comparando com a expressão obtida para a entropia dos osciladores, eq. (6), vemos que
deve ser:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(\varepsilon =h\nu\) (7)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Quer dizer, cada oscilador só pode ter a energia \(0, h
\nu, 2h
\nu, ..., nh
\nu, ...\) - tal é a hipótese
de Planck que não encontra qualquer explicação na Física Clássica mas que se ajusta
perfeitamente aos resultados experimentais relativos à intensidade espectral de um corpo
negro!</p>

  <p class='mainText'>A FIGURA 1 compara as expressões para a intensidade espectral obtidas por Wien,
Rayleigh-Jeans e Planck. A FIGURA 2 exibe o perfeito ajuste da intensidade espectral de
Planck aos resultados experimentais obtidos em 1900. E a FIGURA 3 mostra o perfeito
acordo da intensidade da radiação cósmica de fundo com a fórmula de Planck para uma
temperatura \(T = 2,74K\).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2020-057-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. Comparação da intensidade espectral para três teorias.
</figcaption>
<br>

<br>
<figure class="image-medium">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2020-057-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. O acordo da fórmula de Planck com resultados experimentais para várias temperaturas.
</figcaption>
<br>

<br>
<figure class="image-small">
    <img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2020-057-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3. Ajuste do espectro da radiação cósmica de fundo à fórmula de Planck para \(T = 2, 74K\).
</figcaption>
</center>
<br>

  <p class='mainText'>Mas como determinar a constante de Planck? Relembrando a eq. (4), obtemos a forma
definitiva da intensidade espectral:</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(I_{\nu}\left ( T \right )=\frac{c}{4\pi}u_{\nu }\left ( T \right )=\frac{2}{c^{2}}\frac{h\nu^{3}}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}}-1}\) (8)</p>

<br>

  <p class='mainText'>Planck tem a sua disposição dois resultados que lhe permitem calcular as constantes \(h\)
e \(k_{B}\), nomeadamente, a constante de Stefan-Boltzmann e a lei de deslocamento de Wien).
Obtém</p>

<br>

  <p class='mainText centered'>\(h=6,55\times 10^{-34}\) Js (hoje, aceita-se \(6,63\times 10^{-34}\) Js),</p>

<br>

  <p class='mainText'>que passou a ser conhecida por constante de Planck; e</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(k_{B}=1,34\times 10^{-23}\)J/K (hoje, aceita-se \(1,38\times 10^{-23}\) J/K).</p>

<br>

  <p class='mainText'>A partir deste valor da constante de Boltzmann, Planck determina o número de Avogadro
e, usando a constante de Faraday (\(F = 96, 500 C\)), deduz a carga do eletrão
\(q_{e}=-1,56\times 10^{-19}C\) (hoje, aceita-se \(1,60\times 10^{-19}C\)). Esta observação é importante:
em 1897, apenas 3 anos antes, Thomson encontrara \(q_{e}=-2,16\times 10^{-19}C\)
para a carga do eletrão. Só em 1908, com a determinação, por Rutherford, da carga de
uma partícula \(\alpha\) se tornou notório como era excelente o resultado de Planck.</p>

  <p class='mainText'>Apesar destes excelentes resultados, apresentados em Dezembro de 1900, a hipótese
de Planck foi encarada, apenas, como uma habilidade matemática, pouco convincente
como teoria física. Teria que se aguardar por 1905, quando Einstein usa a teoria de Planck
para conceber o “quantum” de luz, e por 1913, quando Bohr incorpora o quantum no seu
modelo atómico. Cada um destes desenvolvimentos merece um tratamento próprio a considerar
em futuras publicações.</p>
</html>

=Referências=
# <html>LAGE, E.
<em><a class="a-link" target="_blank"
                href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/032/">A radiação térmica</a></em>, <em>Rev. Ciência Elem.</em>, V8(3):032. (2020). DOI: 10.24927/rce2020.032.</html>

---- <br>Criada em 10 de Fevereiro de 2020<br> Revista em 11 de Abril de 2020<br> Aceite pelo editor em 15 de Dezembro de 2020<br>
[[Category:Física]]