Referência : Tavares, J., Geraldo, A., (2017) Ângulos e Circunferências, Rev. Ciência Elem., V5(3):078
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Ferreira Gomes
DOI: [https://doi.org/10.24927/rce2017.078]

Índice

Ângulo ao centro

		Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). Um ângulo ao centro é um dos ângulos formados por dois raios de \(\mathcal{C}\). Por exemplo o ângulo AOB assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(AB\) a vermelho). Quando o ângulo ao centro é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ao centro é igual ao comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Como o ângulo de uma volta inteira (\(=2\pi\) rad) subentende o perímetro total da circunferência (\(=2\pi r\), cm, por exemplo), então o ângulo ao centro \(\alpha\) subentende um arco de comprimento \(a\), dado pela regra de três simples seguinte \(\begin{array}{llll} 2\pi & \longleftrightarrow & 2\pi r\\ \alpha & \longleftrightarrow & a \end{array}\) donde se conclui que \(a=\mbox{arc}\ AB= \displaystyle \frac{2\pi r \alpha}{2\pi}= \displaystyle r\alpha\) medido na mesma unidade em que se mede o raio \(r\) (cm, por exemplo).

		Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). O ângulo do segmento é um dos ângulos formado por uma corda e pela tangente a \(\mathcal{C}\) numa das extremidades dessa corda. Por exemplo o ângulo \(BAC\) assinalado no applet. Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(AMB\) a vermelho). Quando o ângulo do segmento é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo do segmento é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Seja \(OM\) o raio perpendicular à corda \(AB\), intersectando-a no seu ponto médio. \(M\) é o ponto médio do arco \(AMB\). A tangente \(AC\) a \(\mathcal{C}\) em \(A\), é perpendicular ao raio \(OA\). Portanto, os ângulos \(MOA\) e \(BAC\) têm a mesma amplitude (são iguais). Pelo ponto anterior, o comprimento do arco \(AM\) é igual ao produto do raio \(r\) pela medida do ângulo ao centro \(MOA\), em radianos. Daqui se conclui portanto que \(\displaystyle \mbox{arc}\ AMB =2 r\ \angle BAC \) onde \(\angle BAC\) representa a medida (ou amplitude) do ângulo \(\angle BAC\), em radianos, \(\mbox{arc}\ AMB\) o comprimento do arco \(AMB\), e \(r\) é o raio da circunferência.

		Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). Um ângulo inscrito é o ângulo formado por duas cordas de \(\mathcal{C}\), que partilham um vértice comum, situado sobre a circunferência. Por exemplo, o ângulo \(BAC\) assinalado no applet, formado pelas duas cordas \(BA\) e \(CA\). Este ângulo determina, ou subentende, um arco da circunferência \(\mathcal{C}\) (no exemplo, o arco \(BC\), a vermelho). Quando o ângulo inscrito é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo inscrito é igual a metade do comprimento do arco subentendido, dividido pelo raio da circunferência. Demonstração. Consideremos a tangente \(AD\) à circunferência, no ponto \(A\). Esta tangente define dois ângulos de segmento e os respetivos arcos subentendidos - o ângulo \(CAD\), que subentende o arco \(AC\), a verde, e o ângulo \(BAD\), que subentende o arco \(BCA\). Mas (veja o applet) \(\mbox{arc}\ BC=\mbox{arc}\ BCA - \mbox{arc}\ CA \) Por outro lado, pelo ponto anterior, temos que \(\mbox{arc}\ BCA =2 r\ \angle BAD\) e \(\mbox{arc}\ CA =2 r\ \angle CAD\) Portanto, \(\mbox{arc}\ BC=2 r\ (\angle BAD - \ \angle CAD)= 2r \ \angle BAC \)

		Seja \(\mathcal{C}\) uma circunferência de raio \(r>0\), centrada num ponto \(O\). Um ângulo ex-inscrito é um ângulos formado por uma corda \(BA\) e pelo prologamento \(AD\) de uma outra corda \(CA\), contígua à primeira. Por exemplo o ângulo \(\alpha=BAD\) assinalado no applet. Os lados deste ângulo determinam, ou subentendem, dois arcos da circunferência \(\mathcal{C}\)(no exemplo, o arco \(BA\)) a verde e o arco \(AC\) a cor de laranja. Quando o ângulo ex-inscrito \(\alpha\) é medido em radianos, qual o comprimento do arco subentendido? Teorema: A medida (em radianos) de um ângulo ex-inscrito é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Do applet vemos que \(\alpha=\gamma+\delta\). Pelo ponto anterior, sabemos que a medida do ângulo inscrito \(\gamma\) é iguala a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AC\). Análogamente, a medida do ângulo inscrito \(\delta\) é igual a \(\displaystyle \frac{1}{2r}\mbox{arc}\ AB\), donde se conclui que \(\alpha= \gamma+\delta =\displaystyle \frac{1}{2r}\left(\mbox{arc}\ AB+\mbox{arc}\ AC\right) \) como se pretendia.

		Consideremos o ângulo \(\alpha=BAC\), determinado por duas cordas que se intersectam num ponto \(A\), interior à circunferência. O ângulo subentende o arco \(BC\) (a verde no applet), e os prolongamentos dos lados de \(\alpha\) determinam o arco \(DE\) (a castanho no applet). Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-soma dos comprimentos dos arcos subentendidos pelos seus lados e seus prolongamentos, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Temos que \(\alpha=\beta+\gamma\) (veja o applet). Mas \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\). Somando, obtemos o que se pretende.

		Consideremos o ângulo \(\alpha=BAC\), determinado por duas secantes à circunferência que se intersectam num ponto \(A\), exterior a ela. O ângulo subentende dois arcos - um maior, o arco \(BC\) (a verde no applet), e um menor, o arco \(DE\) (a azul no applet). Teorema: A medida (em radianos) do ângulo \(\alpha=BAC\) é igual à semi-diferença dos comprimentos dos arcos maior e menor, subentendidos pelos seus lados, dividida pelo raio da circunferência. Demonstração. Temos que \(\beta=\alpha+\gamma\) (veja o applet), o que implica que \(\alpha=\beta-\gamma\). Mas \(\beta=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ BC\), enquanto que \(\gamma=\displaystyle\frac{1}{2r} \mbox{arc} \ DE\). Subtraindo, obtemos o que se pretende, isto é \(\alpha= \displaystyle\frac{1}{2r} \left(\mbox{arc} \ BC -\mbox{arc} \ DE \right)\).

				Usando métodos análogos aos anteriores, o leitor pode formular e demonstrar os resultados relativos às duas situações ilustradas nos dois applets ao lado.

Criada em 21 de Dezembro de 2012
Revista em 21 de Janeiro de 2013
Aceite pelo editor em 30 de Setembro de 2017