Revisão das 13h56min de 17 de fevereiro de 2013

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Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
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Ângulos orientados

Noção de ângulo

Uma semi-reta de origem \(O\), pertencente a um dado plano, pode mover-se nesse plano rodando em torno de \(O\) em dois sentidos: ou no sentido contrário ao do movimento dos ponteiros do relógio que será o sentido positivo, ou no sentido oposto, sentido negativo. Quando a semi-reta partindo da posição \(a\), roda em torno da origem \(O\) acabando por ocupar a posição \(b\), diz-se que descreveu o ângulo \(\angle a,b\). À semi-reta \(a\) chamamos lado origem e à semi-reta \(b\) lado extremidade. O ponto \(O\) é o vértice do ângulo.

Assim, o ângulo é positivo ou negativo, conforme o sentido de rotação que leva o lado origem a ocupar a posição lado extremidade seja positivo ou negativo. Nestas condições, a ordem pela qual se consideram lados do ângulo não é indiferente tendo o ângulo um sentido (ângulo orientado).

Quando a semi-reta \(a\) descreve uma rotação em torno da origem \(O\) de tal forma que vem a ocupar a posição inicial, efetuando assim uma revolução completa num dado sentido, dizemos que essa semi-reta descreveu o ângulo de um giro, ou mais simplesmente, um ângulo giro. E como nada impede que esse movimento de rotação continue (no sentido positivo ou negativo), concebem-se assim ângulos (positivos ou negativos) que podem exceder um ou mais ângulos giros.

Portanto, um par ordenado \((a,b)\) de duas semi-retas com a mesma origem \(O\) corresponde a um ser geométrico múltiplo chamado ângulo trigonométrico, constituído por um número infinito de determinações, cada uma das quais se refere à amplitude e sentido da rotação que leva o lado origem a coincidir com o lado extremidade.

Medida dos ângulos

Se \(A\) e \(U\) forem duas grandezas (da mesma espécie contínua) e se \(U\) for não nula, existe um e um só número real \(\alpha\) tal que, \(A=\alpha U\). A este número \(\alpha\) chama-se a medida de \(A\) relativamente a \(U\). Determinar \(\alpha\) é medir a grandeza \(A\) tomando para unidade a grandeza \(U\).

Considerando agora os ângulos orientados, podemos afirmar que dados dois ângulos \(A\) e \(U\) (\(U\) não nulo), existe um e um só número real \(m\) tal que, \(A=m U\). O número \(m\) representa assim a medida do ângulo \(A\) relativamente à unidade \(U\).

Fixada a unidade \(U\) estabelece-se assim uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos ângulos orientados e conjunto dos números reais (medidas dos ângulos). Esta correspondência é tal que a relação de igualdade, a relação de grandeza e a adição de ângulos se traduz, respetivamente, na relação de igualdade, na relação de grandeza e na adição de números reais.

A escolha da unidade \(U\) é arbitrária, mas habitualmente usa-se um dos três sistemas de unidades definidos em seguida.

Sistema sexagesimal

No sistema sexagesimal admite-se como unidade fundamental o grau. Um grau corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{90}\) do ângulo reto que por sua vez é um quarto de um ângulo giro.

Assim sendo, um ângulo reto mede \(90º\) (90 graus) e um ângulo giro mede \(360º\) (360 graus) pois 90\(\times\)4=360.

Como submúltiplos do grau usam-se o minuto e o segundo sexagesimais.

O minuto sexagesimal (1') corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do grau, ou seja, 60 minutos sexagesimais são 1 grau.

O segundo sexagesimal (1) corresponde a \(\displaystyle \frac{1}{60}\) do minuto e portanto \(\displaystyle \frac{1}{3600}\) do grau, ou seja, 3600 segundos sexagesimais são 1 grau.

O décimo do segundo, o centésimo do segundo etc.

Sistema centesimal

Sistema circular

Passagem de um sistema de unidades para outro

Notas históricas

Referências

1. J. Jorge G. Calado (1974) "Compêndio de Trigonometria" 4ªedição. Liv. Popular de Francisco Franco, Lisboa.
2. Elemento 2
3. Elemento 3