Zona de audibilidade - História de revisão

Admin: Criou nova página com 'Referência : Tavares, J., (2021) ''Zona de audibilidade'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(4):064

2021-12-16T10:49:31Z

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<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2021) ''Zona de audibilidade'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(4):064
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2021.064 https://doi.org/10.24927/rce2021.064]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2021-064.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

Deitados na praia, vemos um avião voar, a uma certa altitude. É claro que não ouvimos instantaneamente o som emitido pelos motores no instante em que ele passa sobre nós. O som tem uma certa velocidade de propagação e, por isso, demora a chegar a nós. O que ouvimos é o som emitido antes. O que vamos discutir neste pequeno artigo é a chamada zona de audibilidade, isto é, a região do solo (suposto plano) onde se ouve o ruído dos motores do avião.

<html>
<p class='mainText'><strong>Descrição do problema</strong></p>

<p class='mainText'>Um avião voa com uma velocidade \(V\), superior à velocidade do som, \(S\). Em cada instante,
o motor do avião emite um som que se propaga no espaço, com velocidade \(S\), em todas as
direções, sob a forma de ondas esféricas — estas esferas chamam-se as frentes de onda.
Quando atingem o solo, intersetam-no em círculos cujo raio vai crescendo à medida que
o tempo avança. Se um habitante da região sobrevoada pelo avião estiver dentro destes
círculos, ele ouvirá o ruído dos motores do avião.</p>

<br>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-064-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. Avião, frente de onda, emitida no ponto \(A = (−V T, 0, h)\), e sua interseção com o solo (o plano \(Oxy\)).
</figcaption>
<br>

<p class='mainText'><strong>Objetivo</strong></p>

<p class='mainText'>Analisar a zona de audibilidade num certo instante. Por outras palavras, fixamos um instante,
digamos, o instante \(0\) (congelamos o tempo nesse instante), onde o avião está no
ponto \((0, 0, h)\), e vemos como é a região do solo onde o avião foi ouvido (FIGURA 1).</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Dados do problema:</strong></p>

<p class='mainText'>
<ul>
<li>A altura \(h > 0\) do voo (suposta constante), medida em km.</li>
<li>A velocidade \(V\) do avião (suposta constante), medida em km/h.</li>
<li>A velocidade \(S\) de propagação do som (suposta também constante), medida em km/h.</li>
<li>O avião desloca-se em movimento retilíneo uniforme, ao longo da reta paralela ao
eixo dos \(x\)’s, no plano \(Oxz\), a uma altura \(h\) do plano do solo — o plano \(Oxy\). O
avião voa da esquerda para a direita, no sentido positivo do eixo dos \(x\)’s. Supomos
ainda que o voo é supersónico: \(V > S\).</li>
</ul>
</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Cálculos</strong></p>

<p class='mainText'>Analisemos então a zona de audibilidade no instante \(0\). Neste instante o avião está no
ponto \((0, 0, h)\), por cima da origem das coordenadas, \(O\). \(T > 0\) horas mais cedo o avião
estava no ponto \(A = (−V T, 0, h)\) (FIGURA 1). No ponto \(A\), o motor do avião emitiu um
som que se prapaga em todas as direções com velocidade \(S <\)\( V\). A frente de onda tem
pois a forma de uma esfera cujo raio cresce com velocidade \(S\).</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Qual o raio dessa esfera no instante \(0\)?</strong></p>

<p class='mainText'>Como passaram \(T\) horas, até o avião chegar ao ponto \((0, 0, h)\), é claro que esse raio é
igual a \(ST\). Essa esfera, no instante \(t = 0\), interseta o solo segundo uma circunferência
centrada em \((−V T, 0, 0)\), e cujo raio é \((R=\sqrt{\left ( ST \right )^{2}-h^{2}}\)), como se deduz facilmente,
aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo \(ABC\), e atendendo a que
\(\overline{AB}=h\) e \(\overline{AC}=ST\) (FIGURA 1).</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Generalização</strong></p>

<p class='mainText'>O mesmo acontece em cada instante \(T:0<\)\(t\leq T\) — nesse instante o avião está no ponto
\((−V t, 0, h)\) e, nesse ponto, o motor do avião emite um som que se prapaga em todas as
direções com velocidade \(S\). A frente de onda correspondente tem mais uma vez a forma de
uma esfera cujo raio cresce com velocidade \(S <\)\( V\). Essa esfera, no instante \(t = 0\), tem
um raio igual a \(St\) e interseta o plano do solo segundo uma circunferência \(Ct\), centrada em
\((−V t, 0, 0)\) e cujo raio é \(\sqrt{\left ( St \right )^{2}-h^{2}}\).</p>

<p class='mainText'>No plano \(Oxy\), a equação dessa circunferência é</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(C_{t}:\left ( x+Vt \right )^{2}+y^{2}=\left ( St \right )^{2}-h^{2}\) (1)</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Zona de audibilidade</strong></p>

<p class='mainText'>É agora claro que a zona de audibilidade, no instante \(0\) é constituída por todos os pontos
do solo que estão dentro dos círculos delimitados por todas estas circunferências \((C_{t}\)), para
\(t:0<\)\(t\leq T\) (FIGURA 2), isto é, por todos os pontos \((x, y)\) do solo, que satisfazem as
inequações (uma para cada \(t\)):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left ( x+Vt \right )^{2}+y^{2}\leq \left ( St \right )^{2}-h^{2},\; \; \; \forall t:0\leq t\leq T\) (2)</p>

<br>

<p class='mainText'>ou, fazendo as contas:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left ( V^{2}-S^{2} \right )t^{2}+2Vxt+\left ( x^{2}+y^{2}+h^{2} \right )\leq 0\; \; \; \forall t:0\leq t\leq T\) (3)</p>

<br>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-064-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. Zona de audibilidade, no instante \(0\).
</figcaption>
<br>

<p class='mainText'>Para cada \(t\), esta é uma inequação do segundo grau em \(t\). Quais as condições em que
admite solução? A resposta está dada no teorema seguinte, cuja demonstração é simples:</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Teorema</strong></p>

<p class='mainText'>Considere um polinómio quadrático da forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(at^{2}+bt+c\)</p>

<br>

<p class='mainText'>com coeficientes \(a > 0\) e \(c > 0\). Para que exista um \(t\geq 0\) que satisfaça a inequação:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(at^{2}+bt+c\leq 0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>é necessário e suficiente que:</p>

<br>

<p class='mainText'>
<ol>
<li>\(b<\)\(0\)</li>
<li>\(b^{2}-4ac\geq 0\)</li>
</ol>
</p>

<br>

<p class='mainText'>No nosso caso, a inequação é (3) com:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(a=V^{2}-S^{2}>0,\; \; \; b=2Vx\) e \(c=x^{2}+y^{2}+h^{2}>0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Aplicando os critérios do teorema, concluímos que:</p>

<br>

<p class='mainText'>
<ol>
<li>\(b=2Vx<\)\(0\; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; x<\)\(0\)</li>
<li>\(b^{2}-4ac\geq 0\; \; \; \; \; \Leftrightarrow \; \; \; \; \; \left ( 2Vx \right )^{2}-4\left ( V^{2}-S^{2} \right )\left ( x^{2}+y^{2}+h^{2} \right )\geq 0\)</li>
</ol>
</p>

<br>

<p class='mainText'>Esta última desigualdade pode ser escrita na forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{x^{2}}{\left [ \left ( V^{2}-S^{2} \right )/S^{2} \right ]}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1\)</p>

<br>

<p class='mainText'>ou, fazendo \(k=\frac{V}{S}h\), na forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{x^{2}}{k^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1\) (4)</p>

<br>

<br>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-064-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3. Zona de audibilidade no solo, no instante \(0\).
</figcaption>
<br>

<p class='mainText'><strong>Conclusões</strong></p>

<p class='mainText'>
<ol>
<li>A zona de audibilidade no instante \(t = 0\) consiste de todos os pontos \((x, y)\) do solo,
que satisfazem:
</li>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{x^{2}}{h^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}\geq 1\) e \(x<\)\(0\) (5)</p>

<br>

<li>A hipérbole de equação:
</li>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\frac{x^{2}}{k^{2}-h^{2}}-\frac{y^{2}}{h^{2}}=1\) (6)</p>

</ol>
</p>

<br>

<p class='mainText'>é a envolvente das circunferências \(C_{t}\), dadas por (1) (FIGURA 3).</p>
</html>

=Referências=
# <html>BOLTYANSKII, V.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
href=“https://www.semanticscholar.org/paper/V.-G.-Boltyanskii-%2C-Envelopes-(Popular-Lectures-in-Gillespie/aa79fa40c8071b4cbcb94bc1d75de593246a6034”>Envelopes. Popular lectures in mathematics</a></em>, <em>Pergamon Press and MIR Editions</em>. 1964.</html>
# <html>HANNA, G. & JAHNKE, H. N.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
href=“https://www.jstor.org/stable/40248401”>Arguments from Physics in Mathematical Proofs: An Educational Perspective</a></em>, <em>For the
Learning of Mathematics</em>, 22, 3, p. 38-45. 2002.</html>

---- <br>Criada em 22 de Julho de 2021<br> Revista em 22 de Julho de 2021<br> Aceite pelo editor em 15 de Dezembro de 2021<br>
[[Category:Matemática]]