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2021-06-25T09:36:26Z

Criou nova página com 'Referência : Sá, N., (2021) '' Referenciais uniformes equiangulares'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(2):...'

Nova página

Referência : Sá, N., (2021) '' Referenciais uniformes equiangulares'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(2):047
 
Autor: Nuno Sá 
Editor: [[Usuário:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]] 
DOI: [[https://doi.org/10.24927/rce2021.047 https://doi.org/10.24927/rce2021.047]] 
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2021-047.pdf" target="_blank">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/layout/pdf.png" alt="PDF Download"></a></html>
----

== Resumo ==

Um conjunto de linhas diz-se equiangular se os ângulos internos entre qualquer par de linhas for o mesmo. E diz-se uniforme se se espalhar pelo espaço da maneira mais uniforme possível (num sentido descrito mais precisamente no texto). Os versores dum conjunto de linhas uniforme e equiangular constituem uma base para um referencial uniforme equiangular, sendo os referenciais cartesianos um caso particular deste tipo de referencial que ocorre em todas as dimensões, mas podendo haver outros, o que depende crucialmente da dimensão do espaço. O problema de classificar todos os referenciais uniformes equiangulares para dimensões arbitrárias é um problema em aberto na Matemática.

<html>
Referenciais uniformes

Um referencial uniforme normalizado para um espaço vetorial \(d\)-dimensional é um conjunto
de \(n\geq d\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para o qual qualquer vetor desse espaço admite a decomposição

\(\vec{v}=\frac{d}{n}\sum_{i=1}^{n}c_{i}\vec{u}_{i}\vec{u}_{i}\) sendo \(c_{i}=\vec{u}_{i}\cdot \vec{v}\) (1)

Quando \(n = d\) o referencial uniforme é uma base ortonormada. Quando \(n > d\) a redundância
da informação contida num maior número de componentes \(c_{i}\) do que a dimensão do
espaço encontra aplicações teóricas na Teoria da Informação e práticas nas Telecomunicações.

Um referencial uniforme pode ser representado na forma duma matriz \(u\) cujas componentes
\(\mu_{ki}\) são a \(k\)-ésima coordenada do vetor \(\vec{u}_{i}\)

\(u=\begin{bmatrix}
\mu_{11} & \mu_{12} & ... & \mu_{1n}\\
... & ... & ... & ...\\
\mu_{d1} & \mu_{d2} & ... & \mu_{dn}
\end{bmatrix}\) (2)

 

Pode-se mostrar</html><ref><html>MALOZEMOV, V. & PEVNYI, A.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-009-9366-6">Equiangular tight frames</a>, Pevnyi, Jour. Math. Sci., 157, 6, 789. 2009.</html></ref><html> que a condição (1) é equivalente a

\(u\cdot u^{T}=\frac{n}{d}I_{d}\). (3)

 

Retas equiangulares

Um conjunto de retas equiangulares pode ser descrito por \(n\) vetores unitários \(\vec{u}_{i}\) para os
quais o produto interno entre qualquer par deles seja o mesmo:

\(\left ( u\cdot u^{T} \right )_{ij}=\vec{\mu}_{i}\cdot\vec{\mu}_{j}=\left\{\begin{matrix}
1 & \textrm{se} & i=j\\
\pm p & \textrm{se} & i\neq j
\end{matrix}\right.\) (4)

 

Os dois sinais possíveis para o produto interno refletem a arbitrariedade na escolha do
sentido do vetor que representa cada reta. O ângulo comum feito entre todos os pares de
retas é \(\theta=\textrm{cos}^{-1}p\).

A existência de retas equiangulares é um problema antigo, dependente da dimensão \(d\)
do espaço e do número \(n\) de retas. Pode não ter solução ou ter uma ou mais soluções, cada
uma para um diferente valor do “ângulo” \(p\), mas tem que ser \(n\leq d\left ( d+1 \right )/2\). Este valor
máximo de \(n\) só é possível para certas dimensões</html><ref><html>LEMMENS, P. & SEIDEL, J.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://research.tue.nl/en/publications/equiangular-lines">Equiangular lines</a>, Jour. Algebra, 24, 494. 1973.</html></ref><html>. Alguns conjuntos concretos de linhas
equiangulares em diversas dimensões podem ser encontrados em</html><ref><html>TREMAIN, J.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://arxiv.org/pdf/0811.2779.pdf">Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets</a>, arXiv:0811.2779. 2008.</html></ref><html>.

Quando os vetores dum referencial uniforme representam retas equiangulares, eles podem
então ser descritos por matrizes retangulares \(n \times d\) que obedeçam às equações (3) e
(4) para \(u\cdot u^{T}\) e para \(u^{T} \cdot u\). Pode-se mostrar</html><ref><html>MALOZEMOV, V. & PEVNYI, A.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://link.springer.com/article/10.1007/s10958-009-9366-6">Equiangular tight frames</a>, Pevnyi, Jour. Math. Sci., 157, 6, 789. 2009.</html></ref><html>, </html><ref><html>SUSTIK, M. et al.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://www.researchgate.net/publication/264498243_Complex_Two-Graphs_via_Equiangular_Tight_Frames">Complex Two-Graphs via Equiangular Tight Frames</a>, Lin. Alg. Appl., 426, 619. 2007.</html></ref><html> que, quando a solução existe, o ângulo \(p\)
entre as linhas é dado por

\(p^{2}=\frac{n-d}{d\left ( n-1 \right )}\) (5)

 

e que tem que ser

\(d\leq n\leq \frac{d\left ( d+1 \right )}{2}\) (6)

 

Exemplos

Na FIGURA 1 apresentamos três casos para ilustrar o conceito de referencial uniforme
equiangular. Temos:

Esquerda \(u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1
\end{bmatrix}\)

Meio \(u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
0 & \frac{1}{\sqrt{v}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\
0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 1
\end{bmatrix}\);

Direita \(u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{bmatrix}\), \(u\cdot u^{T}=\begin{bmatrix}
\frac{3}{2} & 0\\
0 & \frac{3}{2}
\end{bmatrix}\) e \(u^{T}\cdot u=\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1
\end{bmatrix}\).

 
<center>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. O sistema de eixos da esquerda é equiangular, pois só tem duas retas, mas não é uniforme - falha a equação (3).
O do meio é uniforme mas não é equiangular, pois cada reta faz ângulos de 45° ou de 90° com as outras - falha a equação
(4). O da direita é um referencial uniforme equiangular.
</figcaption>
</center>
 

Soluções

Não dispomos de um método sistemático para encontrar referenciais uniformes equiangulares
para todas as dimensões. Sabemos que existem as seguintes soluções triviais:


<ul>
<li>Para \(d = 1\) qualquer valor de \(n\) fornece uma solução com \(p = 1\).</li>
<li>Quando \(n = d\) os referenciais ortonormados são soluções com \(p = 0\).</li>
<li>Quando \(n = d + 1\) há sempre solução com \(p = 1/d\).</li>
</ul>


Fora destes casos, sabemos que, para que haja solução (mas sem a garantir), é necessário
que se verifiquem as seguintes condições</html><ref><html>SUSTIK, M. et al.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://www.researchgate.net/publication/264498243_Complex_Two-Graphs_via_Equiangular_Tight_Frames">Complex Two-Graphs via Equiangular Tight Frames</a>, Lin. Alg. Appl., 426, 619. 2007.</html></ref><html>:


<ul>
<li>Se \(n = 2d\)</li>
</ul>


\(n=a^{2}+b^{2}+1\) com \(a,b\in \mathbb{N}\) (7)

 


<ul>
<li>Caso contrário</li>
</ul>


\(\sqrt{\frac{d\left ( n-1 \right )}{n-d}}\) e \(\sqrt{\frac{\left ( n-d \right )\left ( n-1 \right )}{d}}\) são inteiros ímpares. (8)

 

Para as dimensões mais baixas conhecem-se todas as soluções. Em duas dimensões só
há as duas soluções triviais: os dois eixos cartesianos e os três eixos do exemplo da direita
na FIGURA 1. Em três dimensões há as três soluções representadas na FIGURA 2, uma delas
não sendo trivial. Na TABELA 1 indicamos os valores de \(n\) e de \(p\) para as soluções não triviais
existentes até à dimensão \(d = 11\). Tabelas mais extensas podem ser encontradas em4.

 
<center>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. Em 3 dimensões há três soluções: \(n = d = 3\) eixos ortogonais fazendo ângulos de 90° (trivial), \(n = d+1 = 4\) eixos
fazendo ângulos de \(\textrm{cos}^{-1}\left ( 1/3 \right )=70,53\)° (trivial) e \(n = 2d = 6\) eixos fazendo ângulos de \(\textrm{cos}^{-1}\left ( 1/\sqrt{5} \right )=63,43\).
Todas elas são facilmente visualizáveis usando os eixos que unem as faces opostas ou os vértices opostos de sólidos platónicos.
No primeiro caso as 6 faces dum cubo ou os 6 vértices dum octaedro, no segundo caso as 8 faces dum octaedro ou os
8 vértices dum cubo e no terceiro caso as 12 faces dum dodecaedro ou os 12 vértices dum icosaedro.
</figcaption>
</center>
 

 
<center>
<figcaption>TABELA 1. O problema dos referenciais uniformes equiangulares é muito irregular na dimensão: para certas dimensões não
há soluções não triviais e para outras há mais do que uma.
</figcaption>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-047-t1.jpg">
</figure>
</center>
 

Espaços complexos

A definição de referencial uniforme equiangular, equações (3) e (4), mantém-se para espaços
vetoriais complexos, apenas com a seguinte modificação em (4):

\(\left | \vec{\mu}_{i}\cdot \vec{\mu}_{j} \right |=p\) se \(i\neq j\) (9)

 

As equações (2) e (5) mantêm-se válidas no caso complexo, mas não (6), que passa a ser</html><ref><html>RENES, J., J.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1737053">Symmetric informationally complete quantum measurements</a>, Math Phys., 45, 2171. 2004.</html></ref><html>:

\(d\leq n\leq d^{2}\). (10)

 

Os referenciais uniformes equiangulares máximos, isto é, para os quais \(n=d^{2}\), desempenham
um importante papel na Teoria da Informação Quântica, visto que os espaços vetoriais
da Mecânica Quântica são complexos, com possíveis aplicações no domínio da computação
quântica.
</html>

=Referências=
<references/>
---- Criada em 23 de Fevereiro de 2021 Revista em 19 de Março de 2021 Aceite pelo editor em 15 de Junho de 2021 
[[Category:Matemática]]

Referenciais uniformes equiangulares - História de revisão

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