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2022-10-20T13:20:05Z

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Referência : Lage, E., (2022) ''Ondas de gravidade em fluidos'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(3):038
 
Autor: Eduardo Lage 
Editor: [[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]] 
DOI: [[https://doi.org/10.24927/rce2022.038 https://doi.org/10.24927/rce2022.038]] 
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2022-038.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

Atirar uma pedra a um tanque ou o pingar de uma gota numa bacia com água são excelentes oportunidades para se observarem e estudarem as ondas de gravidadea, um importante tópico da mecânica de fluidos<ref><html>LAGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2018/084/">Mecânica dos Fluidos</a>, Rev. Ciência Elem., V6(4):084. (2018).

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="http://doi.org/10.24927/rce2018.084">10.24927/rce2018.084</a>.</html></ref>. Estes exemplos não podem esquecer que este conceito também se aplica a ondas no mar, a rios ou lagos, a diversos fenómenos atmosféricos ou simplesmente ao fluido que enche um copo ou uma proveta<ref><html>LAGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2020/016/">Ondas</a>, <em\<Rev. Ciência Elem., V8(1):016. (2020).

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="http://doi.org/10.24927/rce2020.016">10.24927/rce2020.016</a>.</html></ref>.

<html>
Uma onda de gravidade é um fenómeno periódico, no tempo e no espaço, que se manifesta
na superfície de separação de dois fluidos, sendo água e ar os mais comuns pelo
que serão, aqui, considerados como exemplos típicos. Em equilíbrio no campo gravítico
da Terra, a superfície que separa os dois fluidos é plana e horizontal (para distâncias
curtas comparadas com o raio da Terra), servindo como referência, ficando a água abaixo
e o ar acima deste plano. Nesta primeira abordagem, o ar serve, apenas, para manter
uma pressão atmosférica que se admite ser constante e uniforme na superfície de
separação — mais adiante, será discutido qualitativamente o efeito que uma onda de
gravidade tem no ar. A água é considerada um fluido incompressível (i.e., densidade
constante), sem viscosidade.

Uma pequena perturbação na superfície afastá-la-á do plano de referência, elevando-a
acima do plano numas zonas e baixando-a noutras zonas. Imaginemos dois pontos na
água à mesma distância do plano de referência (FIGURA 1).

 
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-038-01.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 1. Onda de gravidade num canal ou tanque.
</figcaption></center>
 

O ponto A, situado abaixo de uma elevação instantânea da superfície de separação, apresenta
uma maior pressão hidrostática que a verificada no ponto B, localizado abaixo de
uma depressão da mesma superfície. Esta diferença de pressões empurra a água de A
para B, baixando a superfície em A e subindo-a em B, originando, assim, uma propagação
destas alterações na superfície — esta propagação é a onda de gravidade. Começaremos
por estudar o caso mais simples: ondas longas em águas rasas, conceitos que se tornarão
precisos mais adiante. Designamos por \(H\) a profundidade da água, i.e., a distância do plano
de referência ao fundo, suposto plano e horizontal, onde assenta a água. Iremos, aqui,
apenas considerar que a onda de gravidade se propaga numa única direção que tomaremos
para eixo \(x\); o eixo \(z\) tem a direção vertical; e o eixo \(y\), que não desempenhará qualquer
papel nesta abordagem, é perpendicular aos anteriores, podendo admitir-se que a água
está confinada a um canal ou um tanque, de largura \(b\).

 
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-038-02.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 2. Parametrização de uma onda de gravidade.
</figcaption></center>
 

Designamos por \(\zeta \left ( x,t \right )\) a elongação instantânea que a superfície de separação apresenta
num dado ponto e num dado instante: se \(\zeta >0( \zeta <\)\(0 )\), o nível da água está acima
(abaixo) do plano de referência. Admitimos ser \(\zeta \ll H\): trata-se, pois, de uma pequena
perturbação em relação ao equilíbrio. O movimento do fluido faz-se, essencialmente, na direção
\(x\): designamos por \(v_x (x, t)\) essa velocidade, ignorando quer a componente \(v_z\), quer
qualquer dependência de \(v_x\) com a profundidade, dado esta ser pequena (“águas rasas”),
por hipótese. Nestas condições, as equações que regem o movimento do fluido deduzem-
-se facilmente. Para isso, consideremos a porção de fluido instantaneamente situado em \(\left [ x-\frac{\delta x}{2},x+\frac{\delta x}{2} \right ]\), como se mostra na FIGURA 2. Então:

a) Conservação de massa

A massa situada no domínio indicado é \(\delta M=\rho b\left ( H+\zeta \left ( x,t \right ) \right )\delta x\), onde \(\rho\) é a massa
específica do fluido (água). Deste modo, a conservação de massa impõe que, durante
um pequeno intervalo de tempo \(\delta t\), o aumento da massa \(\delta M\) seja igual à massa que
entra naquele domínio. Ora, em \(x-\frac{\delta x}{2}\), entra a massa:

 

\(\rho b\left ( H+\zeta \left ( x-\frac{\delta x}{2},t \right ) \right )v_x\left ( x-\frac{\delta x}{2} \right )\delta t\simeq \rho bHv_x\left ( x-\frac{\delta x}{2},t \right )\delta t\)

 

e em \(x+\frac{\delta x}{2}\) sai a massa \(\rho bHv_x\left ( x+\frac{\delta x}{2},t \right )\delta t\). Então:

 

\(\delta t\frac{d}{dt}\delta M=\delta t\rho b\frac{\partial \zeta }{\partial t}\delta x=\rho bH\delta t\left [ v_x\left ( x-\frac{\delta x}{2},t \right )-v_x\left ( x+\frac{\delta x}{2},t \right ) \right ]=-\rho bH\delta t\frac{\partial v_x}{\partial x}\delta x\)

 

Isto é:

 

\(\frac{\partial \zeta }{\partial t}=-H\frac{\partial v_x}{\partial x}\) (1)

 

b) Lei fundamental da dinâmica

Ignorando a tensão superficial, que será considerada mais adiante, a pressão no interior
da água é suposta ser a pressão hidrostática, que deve reduzir-se à pressão atmosférica
\((p_a)\) na superfície de separação, i.e., \(p=p_a+p_g\left ( \zeta \left ( x,t \right )-z \right )\). Então:

 

\(\rho\frac{\partial v_x}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}=-pg\frac{\partial \zeta }{\partial x}\)

 

Isto é:

 

\(\frac{\partial v_x}{\partial t}=-g\frac{\partial \zeta }{\partial x}\) (2)

 

Combinando as equações 1 e 2, obtém-se:

 

\(\frac{\partial ^{2}\zeta }{\partial t^{2}}=c_{0}^{2}\frac{\partial ^{2}\zeta }{\partial x^{2}}\) (3)

 

onde:

 

\(c_0=\sqrt{gH}\) (4)

 

é a velocidade de propagação das ondas de gravidade nas condições referidas. A velocidade
do fluido \(v_x\) satisfaz à mesma equação 3, conhecida genericamente por equação de
onda</html><ref><html>LAGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2018/071/">Fluidos</a>, Rev. Ciência Elem., V6(4):071. (2018).

DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="http://doi.org/10.24927/rce2018.071">10.24927/rce2018.071</a>.</html></ref><html>
(a uma dimensão espacial). Note-se a ausência de dispersão (\(c_0\) é uma constante),
em contraste com o que acontece quando se considera a tensão superficial ou profundidades
arbitrárias, como se verá adiante.

Antes de prosseguirmos, é conveniente analisar a componente \(v_z\) do campo de velocidades
que, recorde-se, foi ignorada. Tal será justificado se for \(v_<\ll v_x\). Ora, \(v_z\) deve
anular-se no leito da água (i.e. \(z = −H\)) e atingir o seu maior valor, \(v_z=\dot{\zeta }\), na superfície
de separação. Então, podemos ignorar \(v_z\) se for \(\left | \dot{\zeta } \right |\ll \left | v_x \right |\) ou, pela equação 1, \(H\left | \frac{\partial v_x}{\partial x} \right |\ll \left | v_x \right |\). Se \(v_x\) variar periodicamente numa distância \(\lambda \), como acontece numa
onda, então \(\frac{\partial v_x}{\partial x}\sim \frac{v_x}{\lambda}\). Assim, a condição anterior fica \(\lambda \gg H\), o que justifica a designação
de “ondas longas em águas rasas”.

Tem muita importância e interesse analisar as soluções harmónicas da equação 3. Estas
soluções dependem do tempo através das funções trigonométricas seno ou co-seno. Como
a equação 3 é linear, é válido o princípio da sobreposição pelo que podemos genericamente
estudar soluções do tipo onda plana e monocromática:

 

\(\zeta \left ( x,t \right )\equiv \mathrm{Re} \left [ \hat{\zeta }_0e^{ik_{x}x-i\omega t} \right ]\) (5)

 

onde \(\hat{\zeta }_0\) é a amplitude (complexa) da onda, \(\omega\) é a frequência angular e \(k_x\) é o vetor de
onda. Observemos que estas soluções são periódicas no tempo com o período:

 

\(T=\frac{2\pi}{\omega}\) (6)

 

sendo habitual designar por frequência o inverso do período. Analogamente, vemos que
\(\zeta \left ( x,t \right )\) é espacialmente periódica, sendo o período espacial conhecido por comprimento
de onda (o seu inverso é o número de onda).

 

\(\lambda =\frac{2\pi}{k_x}\) (7)

 

Inserindo a expressão (5) na equação 3, obtemos a relação de dispersão:

 

\(k_x=\pm \frac{\omega}{c_0}\) (8)

 

No caso presente, a relação é linear e a ela nos referimos pela frase “ondas sem dispersão”,
como também acontece em ondas acústicas e eletromagnéticas (no vazio), mas
não é o caso geral. É fácil ver que a solução \(k_x>0\) representa uma onda que se propaga
para a direita, enquanto \(k_x<\)\(0\) representa uma onda que se propaga para a esquerda.
Aceitando \(k_x>0\), a fase da onda de amplitude é a função:

 

\(\phi \left ( x,t \right )=k_xx-\omega t\)

 

Vemos que a fase em \(\left ( x,t \right )\) é a mesma em \(\left ( x+\delta x,t+\delta t \right )\) se \(\delta x=\frac{\omega}{k_x}\delta t\); assim, \(\frac{\omega}{k_x}\)
é, genericamente, a velocidade de propagação de fase, sendo, no caso presente, igual a \(c_0\).

Usando a equação 4, vemos que esta velocidade é 1m/s para H=10 cm (onda de lavatório),
10 m/s para H=10 m (onda de mar) e 200 m/s para H=4000 m (tsunami).

Não se deve confundir a velocidade de fase da onda com a velocidade do fluido — esta
oscila sinusoidalmente e o seu valor depende das condições iniciais; aquela representa a
velocidade de propagação dos máximos (ou mínimos) da amplitude à superfície.

A propagação de uma onda de gravidade faz-se acompanhar de uma propagação de
energia. De facto, a energia contida, num dado instante, entre os planos verticais \(x = x_1\)
e \(x = x_2 > x_1\) é constituída por duas parcelas:

1.ª Energia cinética

 

\(K\left ( t \right )=\int_{x_1}^{x_2}dx\frac{1}{2}\rho bHv_{x}^{2}\)

 

2.ª Energia potencial gravítica

 

\(U\left ( t \right )=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{-H}^{\zeta }dz\rho bgz=\int_{x_1}^{x_2}dx\frac{1}{2}\rho gb\left ( \zeta ^{2}-H^2 \right )\)

 

Assim:

 

\(E\left ( t \right )=K\left ( t \right )+U\left ( t \right )=\frac{1}{2}\int_{x_1}^{x_2}dxb\rho \left ( Hv_{x}^{2}+g\left ( \zeta ^2-H^2 \right ) \right )\)

 

Então:

 

\(\frac{dE}{dt}=\int_{x_1}^{x_2}dxb\rho \left ( Hv_x\frac{\partial v_x}{\partial t}+g\zeta \frac{\partial \zeta }{\partial t} \right )=-\int_{x_1}^{x_2}dxb\rho \left ( Hgv_x\frac{\partial \zeta }{\partial x}+Hg\zeta \frac{\partial v_x}{\partial x} \right )=-\int_{x_1}^{x_2}dxb\rho gH\frac{\partial }{\partial x}\left ( \zeta v_x \right )\)

 

Aqui, usamos as equações 1 e 2 para obter o resultado final. Identificamos o fluxo de
energia:

 

\(J\left ( x,t \right )\equiv \rho gbH\zeta \left ( x,t \right )v_x\left ( x,t \right )=\rho bc_{0}^{2}\zeta \left ( x,t \right )v_x\left ( x,t \right )\) (9)

 

Com efeito, o resultado anterior pode escrever-se:

 

\(\frac{dE}{dt}=J\left ( x_1,t \right )-J\left ( x_2,t \right )\)

 

que, por palavras, se lê: o aumento, por unidade de tempo, da energia no intervalo \(\left [ x_1,x_2 \right ]\)
é igual à energia que entra em \(x_1\) menos a energia que sai em \(x_2\).

Para calcularmos este fluxo, temos de usar as representações reais dos campos \(\zeta \) e \(v_x\).
Mas se quisermos calcular a média sobre um período de oscilação, o resultado é bastante
simples:

 

\(\left \langle J\left ( x \right ) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho bc_{0}^{2} \mathrm{Re} \left [ \zeta v_{x}^{*} \right ]\) (10)

 

(o asterisco representa complexo conjugado). Considerando, por exemplo, a onda monocromática
atrás escrita, começamos por notar que a equação 2 dá \(v_x=\frac{k_xg}{\omega}\zeta =\frac{g}{c_0}\), pelo que:

 

\(\left \langle J\left ( x \right ) \right \rangle=\frac{1}{2}\rho bgc_0\left | \hat{\zeta }_0 \right |^{2}\) (11)

 

Uma onda de 1 m de amplitude no mar com a profundidade de 4000 m transporta a
mesma energia que uma onda de ~ 4.5 m quando a profundidade é de 10 m. É esta a força
destruidora de um tsunami. No canhão da Nazaré, a amplitude ainda é maior porque a largura
b torna-se muito menor nas proximidades da praia — a onda fica encurralada, sendo
obrigada a subir em altura.

 

O efeito da tensão superficial

A tensão superficial é uma força que se manifesta na superfície de um fluido e que tem origem
na parte atractiva das forças moleculares. A sua caracterização é simples: imaginemos uma
curva fechada na superfície — em cada elemento da linha, de comprimento \(dl\), a tensão superficial
é a força exercida pela parte da superfície no exterior da linha, sendo tangente à superfície
e perpendicular à linha, dirigida para o exterior da curva, com o valor \(\sigma dl\), onde \(\sigma \) é uma constante.
Consideremos a FIGURA 2 e atentemos na porção de superfície em \(\left [ x-\frac{\delta x}{2},x+\frac{\delta x}{2} \right ]\).
A tangente à linha, em qualquer ponto, é o vetor \(\left ( 1,0,\zeta '\left ( x,t \right ) \right )\), onde a plica indica derivada
em ordem a \(x\), podendo considerar-se normalizada à unidade porque temos vindo a desprezar
termos quadráticos em \(\zeta\). Assim, a tensão superficial é \(\sigma b\left ( 1,0,\zeta '\left ( x+\frac{\delta x}{2},t \right ) \right )\), no
extremo direito daquele intervalo, e \(-\sigma b\left ( 1,0,\zeta '\left ( x-\frac{\delta x}{2},t \right ) \right )\), no extremo esquerdo.
A resultante destas forças é, pois, \(\sigma b\zeta^"\delta x\) segundo o eixo vertical.

Devido a isto, a pressão exercida pelo fluido num ponto da superfície não é mais
igual à pressão atmosférica, tendo-se, agora, \(p\left ( x,\zeta \right )b\delta x+\sigma b\zeta ^{"}\delta x=p_ab\delta x\), i.e.,
\(p\left ( x,\zeta \right )=p_a-\sigma \zeta ^{"}\). Assim, no interior do fluido, o campo hidrostático da pressão é \(p\left ( x,z \right )=p\left ( x,\zeta \right )+pg\left ( \zeta -z \right )=p_a-\sigma\zeta ^{'}+pg\left ( \zeta -z \right )\), o que modifica a equação
2, obtendo-se:

 

\(\rho\frac{\partial v_x}{\partial t}=-\frac{\partial p}{\partial x}=-\rho g\frac{\partial \zeta }{\partial x}+\sigma\frac{\partial ^3\zeta }{\partial x^3}\)

 

A equação 1, exprimindo a conservação de massa, não é modificada. Eliminando a velocidade
entre estas equações, obtemos:

 

\(\frac{\partial ^2\zeta }{\partial t^2}=H\left [ g\frac{\partial ^2\zeta }{\partial x^2}-\frac{\sigma}{\rho}\frac{\partial ^4\zeta }{\partial x^4} \right ]\)

 

Para uma onda plana monocromática, é \(\zeta \propto e^{i\omega t+ik_xx}\), deduzindo-se a relação de
dispersão:

 

\(\omega^2=gHk_{x}^{2}\left ( 1+a^2k_{x}^{2} \right )\) (12)

 

onde \(a=\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}\)
é conhecida por constante capilar. Existe, pois, dispersão de ondas que,
porém, pode ser ignorada se \(k_xa\ll 1\). Para a água é \(\sigma\)=72.8x10-3 N/m, pelo que \(a\) ≃3 mm.

Assim, a tensão superficial não pode ser ignorada para comprimentos de onda inferiores a \(2\pi a\simeq \)1.8 cm. As ondas de gravidade na água de uma bacia ou no lavatório são, essencialmente,
dominadas pela tensão superficial — sendo designadas por ondas gravitocapilares.

 

Generalização para profundidade arbitrária

Neste caso, temos de considerar as duas componentes da velocidade da água, pelo que a
equação de movimento fica:

 

\(\rho \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\bigtriangledown p+\rho \vec{g}=-\bigtriangledown \left ( p-p_a+\rho gz \right )\) (13)

 

No segundo membro, incluímos, por comodidade, a pressão atmosférica, constante; e
vemos que, sendo este segundo membro um gradiente, então também se terá:

 

\(\vec{v}=\bigtriangledown \varphi \) (14)

 

Esta função \(\varphi\) é designada por potencial velocidade. Assim, substituindo na equação 13,
tem-se:

 

\(\rho \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\left ( p-p_a \right )-\rho gz\) (15)

 

A incompressibilidade assumida para a água traduz-se por:

 

\(\bigtriangledown \cdot \vec{v}=0\; \rightarrow \; \Delta\varphi=0\) (16)

 

Procuremos, agora, soluções em que, à superfície da água, se tenha um deslocamento
tal como na equação 5. Será, então, de esperar que o potencial velocidade apresente a
mesma dependência no tempo e na coordenada \(x\), i.e., da forma:

 

\(\varphi= \mathrm{Re} \left [ \hat{f}\left ( z \right )e^{ik_xx-i\omega t} \right ]\) (17)

 

Substituindo na equação 16, obtém-se:

 

\(\frac{d^2\hat{f}}{dz^2}-k_{x}^{2}\hat{f}=0\)

 

A solução geral desta equação é uma combinação linear de seno e co-seno hiperbólicos.
Ora, sabemos que, no leito da água \(\left (z =-H \right )\) deve ser \(v_z = 0\), i.e.,

 

\(\left ( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right )_{z=-H}=0\Leftrightarrow \left ( \frac{\partial \hat{f}}{\partial z} \right )_{z=-H}=0\)

 

Assim, a solução procurada é:

 

\(\hat{f}=\hat{f}_0ch\left ( k_x\left ( z+H \right ) \right )\)

 

Na superfície livre da água \(\left ( z=\zeta \right )\), tem-se:

 

\(v_z\left ( x,\zeta ,t \right )=\dot{\zeta }\Leftrightarrow \left ( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right )_{z=\zeta }=\dot{\zeta }\) (19)

 

Usando as equações 5, 17 e 18, e aceitando ser \(\zeta \ll H\), obtém-se:

 

\(k_x\hat{f}_0sh\left ( k_xH \right )=-i\omega \hat{\zeta }_0\)

 

E, da equação 15, tira-se:

 

\(-i\omega \hat{f}_0ch\left ( k_xH \right )=-g\hat{\zeta }_0\)

 

Estas duas equações fornecem a relação de dispersão:

 

\(\omega^2=gk_xth\left ( k_xH \right )\) (20)

 

Vemos, aqui, outro exemplo de uma relação não linear entre a frequência angular e o
vetor de onda, originando dispersão das ondas com diferentes frequências. E vemos que a
solução antes estudada é um caso particular desta: ondas longas em águas rasas significa,
apenas, \(k_xH\ll 1\).

Tem interesse estudar com algum detalhe o campo de velocidades. Admitindo, para simplificar,
que \(\hat{\zeta }_0\) é real, deduz-se das equações 14 e 17:

 

\(v_x=\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{gk_x\zeta _0}{\omega}\frac{ch\left ( k_x\left ( z+H \right ) \right )}{ch\left ( k_xH \right )}\cos \left ( k_xx-\omega t \right )\)

 

\(v_z=\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{gk_x\zeta _0}{\omega}\frac{ch\left ( k_x\left ( z+H \right ) \right )}{sh\left ( k_xH \right )}\sin \left ( k_xx-\omega t \right )\)

 

Consideremos a vizinhança de um ponto \(\left ( x_0,z_0 \right )\) no interior da água, podendo, assim,
substituir estes valores nos segundos membros das equações acima. Para uma “partícula”
de água nesta vizinhança, a sua trajetória é definida por:

 

\(\frac{dx}{dt}=v_x\left ( x_0,z_0,t \right )=\frac{gk_x\zeta _0}{\omega}\frac{ch\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )}{ch\left ( k_xH \right )}\cos \left ( k_xx_0-\omega t \right )\)

 

\(\frac{dz}{dt}=v_z\left ( x_0,z_0,t \right )=\frac{gk_x\zeta _0}{\omega}\frac{sh\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )}{ch\left ( k_xH \right )}\sin \left ( k_xx_0-\omega t \right )\)

 

Assim, por simples integração, obtém-se a trajetória:

 

\(x\left ( t \right )-x_0=-\frac{gk_x}{\omega^2}\zeta _0\frac{ch\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )}{ch\left ( k_xH \right )}\sin \left ( k_xx_0-\omega t \right )\)

 

\(z\left ( t \right )-z_0=-\frac{gk_x}{\omega^2}\zeta _0\frac{sh\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )}{ch\left ( k_xH \right )}\cos \left ( k_xx_0-\omega t \right )\)

 

Então:

 

\(\left ( \frac{x\left ( t \right )-x_0}{\zeta _0ch\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )} \right )^{2}+\left ( \frac{z\left ( t \right )-z_0}{\zeta _0sh\left ( k_x\left ( z_0+H \right ) \right )} \right )^{2}=\left ( \frac{gk_x}{\omega^2ch\left ( k_xH \right )} \right )^2\)

 

As trajetórias são elipses, alongadas na direção de progressão da onda à superfície (eixo
\(x\)) e o eixo menor é tanto mais pequeno quanto maior a profundidade (\(z_0\) mais negativo), anulando-se no leito da água (FIGURA 3). À superfície, onde esta ondulação é mais forte, ela
é bem sentida por quem boiar, no mar, longe da zona de rebentação.

 
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-038-03.jpg">
</figure><center>
<figcaption>FIGURA 3. Trajetórias das partículas e sua variação com a profundidade. A linha azul representa a progressão da onda
à superfície.
</figcaption></center>
 

Nota final

O ar, acima da água, apenas serviu, no exposto, para fixar a pressão atmosférica. Contudo,
a situação é bem mais interessante: as vibrações da onda de gravidade na superfície
induzem ondas sonoras no ar. Para uma onda de gravidade plana e monocromática,
como as que consideramos, a frequência angular \(\omega\) e o vetor de onda \(k_x\) impõem o
padrão espaço temporal das vibrações à superfície, exigindo esses valores para a onda
sonora. Porém, esta propaga-se segundo \(x\) e \(z\): assim, a onda sonora é representada por \(e^{-i\omega t+ik_xx+ik_zz}\) e tem a relação de dispersão \(\omega^2=c_{s}^{2}\left ( k_{x}^{2}+k_{z}^{2} \right )\), onde \(c_s\) é a velocidade
do som, da ordem de 340m/ s.

Ora, com \(\omega = c_0k_x)\) para a onda de gravidade, então deduzimos que \(k_{z}^{2}=\omega^2\left ( \frac{1}{c_{s}^{2}}-\frac{1}{c_{0}^{2}} \right )\).

Habitualmente, é \(c_s > c_0\), pelo que \(k_z\) é imaginário: a onda sonora amortece à medida
que se afasta da superfície de separação. Na situação oposta, \(c_s <\) \(c_0\), a onda sonora propaga-
se sem amortecimento, transportando energia das vibrações na superfície: agora, é
a onda de gravidade que experimenta atenuação! Não prosseguiremos esta interessante
análise.

 

Notas

a) Não confundir com as ondas gravitacionais da Relatividade Geral

b) Podia adicionar-se a (15) uma constante que só poderia depender do tempo, mas tal não tem importância porque só as
derivadas espaciais têm significado físico: são as componentes da velocidade
</html>

=Referências=
<references/>
---- Criada em 3 de Março de 2021 Revista em 19 de Março de 2021 Aceite pelo editor em 14 de Outubro de 2022 
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Ondas de gravidade em fluidos - História de revisão

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