Envolventes - História de revisão

Admin: Criou nova página com 'Referência : Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007

2022-03-29T09:20:16Z

Criou nova página com '<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007 <br> <span style=...'

Nova página
<span style="font-size:8pt"><b>Referência : </b> Tavares, J., (2022) ''Envolventes'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V10(1):007
<br>
<span style="font-size:8pt"><b>Autor</b>: <i>[[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><span style="font-size:8pt"><b>Editor</b>: <i>[[Usuário:Jntavar|João Nuno Tavares]]</i></span><br>
<span style="font-size:8pt"><b>DOI</b>: <i>[[https://doi.org/10.24927/rce2022.007 https://doi.org/10.24927/rce2022.007]]</i></span><br>
<html><a href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/static/docs/artigos/2022-007.pdf" target="_blank">
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== Resumo ==

Neste curto artigo vamos explorar um processo dinâmico de produzir superfícies regradas planas, a partir do movimento de retas num plano, que geram, por sua vez, curvas especiais, como envolventes, evolutas e outras, sob certas condições técnicas que não são especificadas, para manter o artigo num nível elementar. A generalização natural consiste em gerar superfícies regradas no espaço, usadas, por exemplo, em obras arquitetónicas de Calatrava e outros.

<html>
<p class='mainText'><strong>Um modelo</strong></p>

<p class='mainText'>Os padrões que vamos analisar neste artigo têm todos uma característica comum: são formados
pelas diversas posições de uma reta \(R\) que se desloca no plano, com um movimento
que depende de uma variável \(t\) (tempo), que varia num certo intervalo \(T\). Por outras palavras,
em cada instante \(t\in T\), a reta \(R\) ocupa uma posição que designamos por \(R(t)\), e o
padrão é formado por todas essas retas \(\left \{ R\left ( t \right ) \right \}_{t\in T}\).</p>

<p class='mainText'>Como se sabe, a equação de uma reta no plano, quando neste se fixa um referencial cartesiano,
é da forma:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(ax+by+c=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Como a reta se move com o tempo \(t\), a equação da sua posição no instante \(t\) será pois do
tipo:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(a(t)x+b(t)y+c(t)=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>onde \(a (t)\), \(b (t)\) e \(c (t)\) são funções de \(t\), bem determinadas pela lei do movimento de \(R\)
(vamos supôr que \(R(0) = R\)). Vejamos um exemplo concreto.</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Um exemplo concreto</strong></p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(R\left ( t \right ):\; \; \; \; \; \left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Aqui as funções \(a\), \(b\) e \(c\) são respetivamente, \(a (t) = 1 − 2t\), \(b (t) \equiv 1\) e \(c (t) = 2t (t − 1)\).
Suponhamos ainda que t varia no intervalo \(T = [−5, 5]\). O padrão é o seguinte (veja o <em>applet</em>
Geogebra na versão online):</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. A reta vermelha move-se envolvendo uma parábola.
</figcaption>
</center>
<br>

<p class='mainText'>Neste exemplo as retas \(\left \{ R\left ( t \right ) \right \}_{t}\) parecem envolver uma parábola. O exemplo foi construído
da seguinte maneira: considerámos as duas retas \(y = x\) e \(y = −x\) (as bissetrizes dos
quadrantes) no plano. Sobre a reta \(y = x\), desloca-se um ponto \(A\), para cima, com velocidade
uniforme, partindo do ponto \((−5,−5)\), no instante \(t = −5\). No instante \(t\geq -5\), o ponto
\(A\) estará na posição \(A(t) = (t, t)\). Sobre a reta \(y = −x\) desloca-se, para baixo, um outro
ponto \(B\), com a mesma velocidade uniforme, partindo do ponto \((−6, 6)\), no instante \(t = −5\). O ponto \(B\) no instante \(t\geq -5\) estará na posição \(B (t) = (−1 + t, 1 − t)\).</p>

<p class='mainText'>Para cada \(t\) no intervalo \(T = [−5, 5]\), a reta \(R(t)\) é a que une os pontos \(A(t)\) e \(B (t)\). A
sua equação é:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>como o leitor poderá verificar sem qualquer dificuldade — exatamente a equação que ilustrámos
na secção anterior. Eis algumas questões:</p>

<p class='mainText'>
<ul>
<li>como podemos mostrar com rigor que as retas \(R(t)\) envolvem uma parábola?</li>
<li>o que significa envolver?</li>
<li>como calculamos a equação dessa parábola?</li>
</ul>
</p>

<br>

<p class='mainText'>Antes de responder a estas e outras questões, vamos analisar mais alguns exemplos.</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Mais exemplos</strong></p>

<p class='mainText'>Os exemplos seguintes são obtidos juntando vários módulos idênticos ao descrito na secção
anterior. Assim, na FIGURA 2A), à esquerda (e no <em>applet</em> da versão online) temos três módulos,
formando um triângulo equilátero, cada um deles envolvendo uma parábola. Já na
FIGURA 2B) temos quatro módulos, formando um quadrado, cada um deles envolvendo uma
parábola.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. A) As retas azul, verde e vermelha movem-se envolvendo três parábolas. B) As retas azul, verde, vermelha e
amarela movem-se envolvendo quatro parábolas.
</figcaption>
</center>
<br>

<p class='mainText'>O leitor não terá dificuldade em descrever como são formados nas FIGURAS 2A) e 2B)
(ver os <em>applets</em> na versão online). Espera-se que se sinta suficientemente estimulado para
construir os seus próprios exemplos com Geogebra, ou qualquer outro programa de Geometria
Dinâmica. Mãos à obra, então!</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3.
</figcaption>
</center>
<br>

<p class='mainText'><strong>A teoria — Definição de envolvente</strong></p>

<p class='mainText'>Considere de novo uma família de retas \(\left \{ T\left ( t \right ) \right \}_{t}\), que continuamos a imaginar como as
sucessivas posições resultantes de um determinado movimento de uma reta dada \(R\). A envolvente
da família de retas \(\left \{ T\left ( t \right ) \right \}_{t\in T}\) é uma curva \(E\) que, em cada um dos seus pontos,
é tangente a alguma das retas \(R(t)\). Para explicar como calculamos a envolvente, vamos
de novo usar o exemplo concreto que considerámos no início:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(R\left ( t \right )\doteq \left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right )=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Ponto característico</strong></p>

<p class='mainText'>Fixemos um instante \(t\) arbitrário e a reta \(R(t)\). Para um \(h > 0\) muito pequeno, consideremos
a reta \(R(t + h)\). Qual a equação desta reta? É evidentemente:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(R(t + h) = (1 − 2 (t + h)) x + y +2 (t + h) ((t + h) − 1) = 0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Estas duas retas intersetam-se num ponto situado na reta \(R(t)\). O problema é determinar
(com \(t\) fixo), a posição limite deste ponto, quando \(h\rightarrow 0\). A este ponto limite chama-se
o ponto característico \(C (t)\) da reta \(R(t)\) (FIGURA 4).</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-04.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 4. Ponto característico.
</figcaption>
</center>
<br>

<p class='mainText'><strong>Envolvente</strong></p>

<p class='mainText'>Quando \(t\) varia, o ponto característico \(C (t)\) descreve uma curva que é exatamente a envolvente
das retas \(R(t)\). No exemplo que temos vindo a tratar, será uma parábola.</p>

<p class='mainText'>Vejamos então como calcular a equação da envolvente. Para um \(t\) fixo e um \(h\) muito
pequeno, mas diferente de \(0\), o ponto de interseção das duas retas próximas \(R(t)\) e
\(R(t + h)\), calcula-se procurando a solução \((x, y)\) das duas equações seguintes:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}
R\left ( t \right ) & = & \left ( 1-2t \right )+x+y+2t\left ( t-1 \right ) & = & 0\\
R\left ( t+h \right ) & = & \left ( 1-2\left ( t+h \right )\right )x+y+2\left ( t+h \right )\left (\left ( t+h \right )-1 \right ) & = & 0
\end{matrix}\right.\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Mas não podemos fazer \(h = 0\) nestas equações — senão elas coincidiam e haveria uma
infinidade de soluções. Em vez disso, substituímos o sistema anterior pelo equivalente (não
esqueça que \(h\neq 0\)):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}
R\left ( t \right ) & = & 0\\
\frac{R\left ( t+h \right )-R\left ( t \right )}{h} & = & 0
\end{matrix}\right.\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Fazemos agora \(h\rightarrow 0\) na segunda equação, com \(t\) fixo, e representamos o resultado
por \(\partial _{t}R\left ( t \right )\):</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{R\left ( t+h \right )-R\left ( t \right )}{h}=\partial _{t}R\left ( t \right )\)</p>

<br>

<p class='mainText'>A equação da envolvente calcula-se finalmente, eliminando t nas duas equações seguintes:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}
R\left ( t \right ) & = & 0\\
\partial _tR\left ( t \right ) & = & 0
\end{matrix}\right.\)</p>

<br>

<p class='mainText'>que são, no nosso exemplo concreto:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left\{\begin{matrix}
\left ( 1-2t \right )x+y+2t\left ( t-1 \right ) & = & 0\\
-2x+2\left ( t-1 \right )+2t & = & 0
\end{matrix}\right.\)</p>

<br>

<p class='mainText'>A segunda equação dá \(t = (1 + x) /2\), valor que substituímos na primeira, para obter a
equação da envolvente:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(y=\frac{1+x^{2}}{2}\)</p>

<br>

<p class='mainText'><strong>Exemplo de Steiner</strong></p>

<p class='mainText'>Consideremos duas retas — uma definida por dois pontos \(A\) e \(B\), e outra definida por dois
pontos \(C\) e \(D\). Para cada \(t\) definimos dois pontos:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(P(t)=A+t\frac{\overrightarrow{AB}}{\left \| \overrightarrow{AB} \right \|}\) na reta \(AB\), e \(Q(t)=C+\frac{1}{t}\frac{\overrightarrow{CD}}{\left \| \overrightarrow{CD} \right \|}\) na reta \(CD\)</p>

<br>

<p class='mainText'>e ainda a reta \(R(t)\) definida pelos dois pontos \(P (t)\) e \(Q(t)\). É possível provar que a envolvente
dessas retas é uma elipse (FIGURA 5 e o applet na versão online):</p>

<br>
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-05.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 5.
</figcaption>
</center>
<br>

<p class='mainText'><strong>Evoluta de uma curva plana</strong></p>

<p class='mainText'>Consideremos uma curva \(\alpha (t)\), com \(\alpha'\left ( t \right )\neq0\). Para cada \(t, \alpha (t)\) admite uma reta
tangente bem definida e portanto uma reta normal \(N (t)\), também bem definida. Pondo
\(\alpha (t) = (x (t) , y (t))\), então a reta normal \(N (t)\) é definida pela condição seguinte:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(\left ( X-x\left ( t \right ),Y-y(t) \right )\cdot\left ( x'\left ( t \right ),y'\left ( t \right ) \right )=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>Aqui \((X, Y )\) representa um ponto genérico sobre a reta \(N (t)\). A equação de \(N (t)\) é pois:</p>

<br>

<p class='mainText centered'>\(x'(t)\left ( X-x(t) \right )+y'\left ( t \right )\left ( Y-y\left ( t \right ) \right )=0\)</p>

<br>

<p class='mainText'>A envolvente das retas normais \(N (t)\) chama-se a evoluta da curva \(\alpha\). Na FIGURA 6 (veja
os applets na versão online), mostram-se as evolutas de uma elipse e de uma parábola.</p>

<br>
<center>
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2022-007-06.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 6.
</figcaption>
</center>
<br>
</html>

=Referências=
# <html>PEDIGO, J. <em>et al.</em>,
<em>Wonderful Curves Sampler Quilt Block Book: 30 Blocks, 14 Projects, Endless Possibilities</em>, Landauer
Publishing, ISBN-10: 1947163728.</html>
# <html>BOLTYANSKY, V.,
<em>Envelopes. Popular lectures in mathematics</em>, Pergamon Press and MIR Editions. 1964.</html>
# <html>HANNA, G. & JAHNKE, H. N.,
<em><a class="a-link" target="_blank"
href="https://www.semanticscholar.org/paper/Arguments-from-Physics-in-Mathematical-Proofs%3A-An-Hanna-Jahnke/4267b30f759dcc54b91f9a974d222d8375e25df8">Arguments from Physics in Mathematical Proofs: An Educational Perspective</a></em>, <em>For the
Learning of Mathematics</em>, 22, 3, pp. 38-45.</html>

---- <br>Criada em 7 de Janeiro de 2022<br> Revista em 10 de Janeiro de 2022<br> Aceite pelo editor em 15 de Março de 2022<br>
[[Category:Matemática]]