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2021-04-20T13:51:37Z

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Nova página

Referência : Lage, E., (2021) ''A indução eletromagnética'', [https://rce.casadasciencias.org Rev. Ciência Elem.], V9(1):018
 
Autor: Eduardo Lage 
Editor: [[Usuário:Jfgomes47|José Ferreira Gomes]] 
DOI: [[https://doi.org/10.24927/rce2021.018 https://doi.org/10.24927/rce2021.018]] 
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== Resumo ==

A lei da indução eletromagnética foi descoberta por Michael Faraday em 1831 e, de maneira independente, por Joseph Henry no ano seguinte. Contudo, foi Faraday quem, numa série de experiências sucessivas, mostrou que uma força eletromotriz se desenvolvia num circuito fosse porque este se movimentava próximo de um magneto em repouso, fosse porque era o magneto que se movia junto ao circuito parado, o mesmo acontecendo em bobinas percorridas por correntes elétricas. A descoberta veio revolucionar os meios para produzir facilmente eletricidade, inaugurando uma nova era tecnológica que acelerou a revolução industrial. Essa lei é aqui revista e clarificada em vários exemplos, sendo também revistos os conceitos de coeficiente de auto-indução e coeficiente de indução mútua, de grande importância no estudo de circuitos elétricos, e é discutida em detalhe a lei de conservação da energia no caso geral.

<html>
A lei da indução aplica-se a circuitos elétricos e como estes podem considerar-se um conjunto
de malhas, cada uma com a sua corrente, será aqui analisada para uma espira constituída
por um fio condutor de dimensões limitadas, mas de espessura fina, comparada
com o seu perímetro de modo que o fio pode ser considerado uma linha para a maior parte
dos propósitos. A lei faz intervir dois importantes conceitos que, a seguir, se relembram.

 

1º Força eletromotriz (f.e.m.)

Trata-se, simplesmente, do trabalho realizado ao longo do circuito pela força eletromagnética
que actua sobre a unidade de carga, i.e., é o trabalho da força de Lorentz para carga
unitária:

\(\varepsilon =\oint d\vec{l}\cdot \left ( \vec{E}+\vec{V}\wedge \vec{B} \right )\) (1)

 

Aqui, \(d\vec{l}\) é um pequeno vetor, tangente, em cada ponto, à linha, de grandeza igual ao
elemento de comprimento da linha e com o sentido da circulação arbitrada na espira. Por
sua vez, \(\vec{E}\) e \(\vec{B}\) são, respetivamente, as intensidades dos campos elétrico e magnético,
podendo, qualquer um deles, variar no tempo e no espaço. E \(\vec{V}\) é a velocidade de cada
ponto da espira se esta se deslocar no espaço. Notar-se-á que \(\vec{E}\) não pode ser um campo
eletrostático, pois que este é o gradiente de um potencial pelo que terá circulação nula
numa espira fechada.

 

2º Fluxo do campo magnético

Imagine-se uma superfície \(\Sigma\) qualquer, aberta e que se apoia sobre a linha. Em cada um
dos seus pontos define-se o versor da normal \(\left ( \vec{n} \right )\) cujo sentido está ligado ao sentido da
circulação pela regra do saca-rolhas. Nestas condições, o fluxo do campo magnético através
da espira é:

\(\Phi \left ( t \right )=\int_{\Sigma}^{}dS\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\) (2)

 

O fluxo pode depender do tempo quer porque o campo magnético depende do tempo,
quer porque a espira se desloca no espaço cortando linhas de força do campo. Estes dois
casos serão analisados adiante.

A lei da indução estabelece a relação entre estes dois conceitos:

\(\varepsilon =-\frac{d\Phi }{dt}\) (3)

 

O sinal negativo nesta expressão tem uma importância capital. A f.e.m. por si só induz
uma corrente na espira a qual, por sua vez, origina um campo magnético e um fluxo que
fazem parte das equações anteriores. O sinal indica que tal corrente, pelo seu efeito magnético,
se opõe à causa que a originou, i.e., se o fluxo, por exemplo, estiver a aumentar a
corrente gerada cria um campo magnético que se opõe àquele aumento de fluxo. É este o
conteúdo da lei de Lenz (1834), uma lei qualitativa, mas de grande valor na interpretação
de diversos efeitos da indução eletromagnética.

A variação temporal do fluxo na eq. (3) pode ter origem num campo magnético varável
no tempo como pode ser devida ao movimento da espira através e um campo magnético
estacionário. Estes dois processos são, agora, analisados. Na FIGURA 1, cada ponto da
espira, representada por \(C (t)\) num dado instante, desloca-se de \(\vec{V}\delta t\), assumindo uma
nova configuração \(C\left ( t+\delta t \right )\) atravessada por um campo magnético que, entretanto, se
alterou.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-01.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 1. Espira move-se através de um campo magnético variável no tempo.
</figcaption>
</center>
 

A variação genérica do fluxo através da espira escreve-se:

\(\Phi \left ( t+\delta t \right )-\Phi \left ( t \right )=\int_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t+\delta t \right )-\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=\)

\(=\oint_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \left [ \vec{B}\left ( \vec{r},t+\delta t \right )-\vec{B}\left ( \vec{r},t \right ) \right ]+\left [ \int_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )-\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right ) \right ]\)

 

No último membro, o primeiro termo representa a variação temporal do fluxo para um
campo que variou, mas com a espira imóvel (na sua posição final), pelo que:

\(=\oint_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \left [ \vec{B}\left ( \vec{r},t+\delta t \right )-\vec{B}\left ( \vec{r},t \right ) \right ]\rightarrow \delta t\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot\frac{\partial \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )}{\partial t}\)

 

O segundo termo representa a variação de fluxo de um campo estacionário (“congelado”
no instante inicial) através da espira entre as suas posições final e inicial. Observando a
figura, vê-se que a espira nestas posições e o campo de deslocamentos \(\vec{V}\delta t\) definem um
cilindro “deformado” no qual a base inferior é a espira na sua posição inicial (com \(- \vec{n}\) versor
apontando para o exterior do cilindro) e a base superior é a espira na sua posição final
(com \(\vec{n}\) versor apontando para o exterior do cilindro). Ora, deve ser nulo o fluxo do campo \(\vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\) através da superfície completa do cilindro, pelo que:

\(\int_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )+\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\left ( -\vec{n} \right )\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )+\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\wedge \left ( \vec{V}\delta t \right )\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=0\)

 

Assim, aquele segundo termo fica:

\(\int_{\Sigma\left ( t+\delta t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )+\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )=-\delta t\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\cdot \vec{V}\wedge \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\)

 

Juntando estas contribuições, obtém-se:

\(\frac{\partial \Phi }{\partial t}=\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot\frac{\partial \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )}{\partial t}-\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\cdot\vec{V}\wedge \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\)

 

pelo que a f.e.m. induzida é:

\(\varepsilon =-\frac{d\Phi }{dt}=-\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot\frac{\partial \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )}{\partial t}+\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\cdot \vec{V}\wedge \vec{B}\left ( \vec{r},t \right )\)

 

Comparando com a eq. (1), conclui-se:

\(\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\cdot\vec{E}=-\int_{\Sigma\left ( t \right )}^{}ds\vec{n}\cdot\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

 

Embora este resultado seja estritamente válido para espiras físicas, constituídas por
condutores finos, Maxwell assumiu-a como verdadeira para qualquer linha fechada, no primeiro
membro, e qualquer superfície aberta apoiada naquela linha, no segundo membro.
Sendo assim, o teorema de Stokes permite transformar o primeiro membro:

\(\oint_{C\left ( t \right )}^{}d\vec{l}\cdot\vec{E}=-\int_{\Sigma}^{}ds\vec{n}\cdot\bigtriangledown \wedge \vec{E}\)

 

Dada a arbitrariedade da linha e da superfície, obtém-se, assim a equação de Maxwell-
Faraday:

\(\bigtriangledown \wedge \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\) (4)

 

Estas considerações não devem ocultar a imensa importância da lei de Faraday. Os dois
processos de geração de uma f.e.m. são bem identificados nas figuras seguintes.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-02.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 2. Indução por variação temporal do campo magnético.
</figcaption>
 

 
<figure class="image-medium">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-03.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 3. Indução por movimento da espira num campo magnético constante.
</figcaption>
</center>
 

O processo tipificado na FIGURA 3 é, essencialmente, o método de geração de corrente
elétrica alternada sinusoidal nas centrais hidroelétricas onde a rotação das espiras do gerador
é accionada por uma turbina hidráulica.

Os exemplos seguintes ajudam a clarificar alguns destes importantes resultados.

1º A FIGURA 4 representa um circuito constituído por dois condutores retilíneos verticais
(distantes \(l\) ligados, em cima, por uma resistência \((R)\) e, em baixo, por uma barra condutora
móvel (massa \(m\)); desprezam-se as resistências elétricas dos condutores verticais
e da barra móvel. O dispositivo está mergulhado num campo magnético \(\left ( B_{a} \right )\) uniforme
(pontos azuis), perpendicular ao plano da figura e dirigido “para cá” . Permitindo que a barra
caia no campo gravítico terrestre, o fluxo do campo \(\Phi \left ( t \right )=B_{a}lz\left ( t \right )\) varia no tempo,
gerando uma f.e.m. \(\varepsilon =-B_{a}lv\) que cria uma corrente \(I\left ( t \right )=-\frac{B_{a}lv}{R}\) (o sinal indica
que tem o sentido contrário ao da circulação indicado na figura).

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-04.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 4. Travão eletromagnético.
</figcaption>
</center>
 

Esta corrente origina, na barra, a força de Laplace, vertical, \(F=IlB_{a}\) de modo que a
equação de movimento desta, é:

\(m\frac{dv}{dt}=mg+F=mg-\frac{\left ( B_{a}l \right )^{2}}{R}v\)

 

Reconhece-se ser a equação de movimento de um grave sujeito a uma força viscosa do
tipo de Stokes. Se a barra partir da posição mais alta com velocidade nula, a sua velocidade
em qualquer instante posterior é \(v\left ( t \right )=g\tau \left ( 1-e^{-\frac{t}{\tau}} \right )\), onde \(\tau =\frac{mR}{\left ( B_{a}l \right )^{2}}\) é uma
constante do tempo; o movimento é praticamente uniforme ao fim de \(3 \tau\), com a velocidade
terminal \(g \tau\). O problema, contudo, é um pouco mais complicado porque a corrente cria o
seu próprio campo magnético \(B\propto I\) e é, também, por ele actuado, originando uma força
de Laplace adicional \(f\propto IB\propto I^{2}\). Percebe-se que esta contribuição poderá ser ignorada
para “baixas” intensidades de corrente.

Este dispositivo funciona como um travão eletromagnético com múltiplas aplicações,
em particular como elemento adicional de segurança em alguns tipos de elevadores.

2º O disco de Faraday (FIGURA 7).

Um disco circular (raio \(R\)), metálico, roda com velocidade angular \(\left ( \omega \right )\) constante,
em torno de um eixo (raio \(r_{0}\ll R\)) perpendicular ao disco e passando pelo seu centro
(FIGURA 5). O disco encontra-se mergulhado num campo magnético \(\left ( B_{a} \right )\) constante
e uniforme, paralelo ao seu eixo. Atingida a situação estacionária, verifica-se existir uma
diferença de potencial elétrico entre o centro do disco e a sua periferia.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-05.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 5. Disco metálico em rotação.
</figcaption>
</center>
 

Com efeito, o disco metálico é constituído por iões, que rodam solidariamente com o disco,
e eletrões livres. Ambos são actuados pela força \(q\vec{v}\wedge \vec{B}_{a}\), mas só os eletrões se podem
mover em relação ao disco, acumulando carga na sua superfície e, desta forma, criando um
campo elétrico radial que se torna constante após um período transitório. Nesta situação,
a força de Lorentz</html><ref><html>AGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/">Os fundamentos do eletromagnetismo</a>, Rev. Ciência Elem., V9(1):016. (2021). DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/016/" target="_blank">10.24927/rce2021.016</a>.</html></ref><html> \(q\left ( \vec{E}+\vec{v}\wedge \vec{B}_{a} \right )\) anula-se, pelo que:

\(E_{r}=-\omega rB_{a}=-\frac{\partial \varphi }{\partial r}\)

 

Donde a diferença de potencial mencionada:

\(V=\varphi \left ( R \right )-\varphi \left ( r_{0} \right )=\frac{1}{2}\omega B_{a}\left ( R^{2}-r_{0}^{2} \right )=\frac{\omega \Phi }{2\pi}\)

 

onde \(\Phi \) é o fluxo do campo magnético através do disco. Aquele campo elétrico indica existir
uma densidade de carga na superfície do disco:

\(\frac{\rho _{s}}{\varepsilon _{0}}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left ( rE_{r} \right )=-2\omega B_{a}\;\; \; \rightarrow \; \; \; \frac{Q}{\varepsilon _{0}}=-2\omega B_{a}\pi R^{2}\)

 

Carga oposta surge na periferia do disco, como se deduz da descontinuidade do campo
elétrico aí verificada:

\(\frac{\rho l}{\varepsilon _{0}}=-E_{r}\left ( R \right )=\omega RB_{a}\; \; \; \rightarrow \; \; \; \frac{Q'}{\varepsilon _{0}}=\omega RB_{a}2\pi R=-\frac{Q}{\varepsilon _{0}}\)

 

Imagine-se, agora, que se faz passar corrente (intensidade \(I\)) ao longo do eixo, retirando-
a, uniformemente, da periferia do disco. Esta corrente distribui-se radialmente no
disco, sendo \(i_{s}\left ( r \right )2\pi r=I\). A corrente responde à f.e.m.: \(i_{s}=\sigma _{s}\left ( E_{r}+\omega rB_{a} \right )\), onde
\(\sigma _{s}\) é a condutividade superficial (a condutividade do metal multiplicada pela espessura do
disco). Então:

\(E_{r}=\frac{I}{2\pi r\sigma _{s}}-\omega rB_{a}=-\frac{\partial \varphi }{\partial r}\)

 

A diferença de potencial entre a periferia do disco e o seu eixo passa a ser:

\(V=\frac{\omega \Phi }{2\pi}-\frac{I}{2\pi\sigma _{s}}\textrm{log}\left ( \frac{R}{r_{0}} \right )\)

 

A corrente radial \(i_{s}\), sob acção do campo magnético aplicado, resulta em forças de
Laplace \(\vec{i}_{s}\wedge \vec{B}_{a}dS\) distribuídas na superfície do disco. Estas forças têm resultante nula,
mas um momento resultante (polo no centro do disco) não nulo e dirigido segundo o eixo
de rotação:

\(M_{z}=-\int dSi_{s}\left ( r \right )B_{a}r=-\frac{IB_{a}}{2}\left ( R^{2}-r^{2} \right )=-\frac{I\Phi }{2\pi}\)

 

Este momento opõe-se ao movimento do disco (lei de Lenz) – é compensado pelo momento
exterior do motor que mantem o disco em rotação uniforme, o qual despende, assim,
a potência \(\frac{I\Phi }{2\pi}\omega \). Reconhece-se, neste modelo, o princípio de funcionamento dos contadores
de eletricidade!

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-06.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 6. A malha é actuada por forças de Laplace (setas) que travam a sua rotação quer quando entra no campo (a),
quer quando dele sai (b).
</figcaption>
</center>
 

O disco de Faraday (FIGURA 7) é uma variante do anterior: o campo magnético é aplicado
apenas numa pequena região do disco, cuja rotação origina correntes (designadas por
correntes de Foucault). Para melhor compreensão do seu funcionamento, imagine-se que
o disco é constituído por uma série de malhas condutoras (FIGURA 6). Prestando atenção
a uma dessas malhas, vê-se que, quando ela penetra na região do campo (FIGURA 6A)), o
aumento de fluxo induz uma corrente que se “opõe” ao campo (lei de Lenz), resultando
numa força de Laplace que trava o disco; e quando sai da região do campo (FIGURA 6B)), a
diminuição do fluxo induz uma corrente de sentido contrário ao anterior, mas que resulta,
de novo, numa força de Laplace que se opõe ao movimento. Em ambos os casos o disco
é travado na sua rotação, um efeito que subjaz aos “travões de segurança” em veículos
pesados.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-07.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 7. Disco de Faraday.
</figcaption>
</center>
 

3º Na FIGURA 8, as duas bobinas estão introduzidas nos braços de um núcleo de material
ferromagnético, de baixa condutividade, cujo objectivo é concentrar e direccionar as linhas
de campo ao longo dos seus braços. Imagine-se que a bobina da esquerda – o primário
do transformador – é atravessada por uma corrente sinusoidal \(I\left ( t \right )\). É criado um campo</html><ref><html>LAGE, E.,
Campo magnético estacionário, Rev. Ciência Elem. no prelo.</html></ref><html>
magnético \(B\left ( t \right )=\frac{N}{l}\mu I\left ( t \right )\), onde N é o número de enrolamentos, \(l\) o comprimento do
primário) e \(\mu \) é a permeabilidade magnética do ferro. As linhas de força do campo atravessam
a bobina da direita (o secundário), originando um fluxo \(\Phi '\left ( t \right )=N'sB\left ( t \right )\), onde \(N′\)
é o seu número de espiras e s é a área da secção das espiras. É, assim, induzida uma f.e.m.
no secundário \(\varepsilon '=-\frac{N'N}{l}s\mu \frac{dl}{dt}\)
que aparecerá como uma tensão sinusoidal \(\left ( V_{s} \right )\) nos
terminais do circuito secundário se este estiver aberto. Esta tensão pode ser maior que a
tensão induzida no primário, \(V_{p}=-L\frac{dI}{dt}=-\frac{N^{2}}{l}s\mu \frac{dI}{dt}\), caso em que o dispositivo é
um amplificador de tensão, como ser menor – redutor de tensão – dependendo da razão \(\frac{N'}{N}\) ser, respetivamente, maior ou menor do que a unidade. Note-se que no núcleo de ferro
(um condutor) as variações de fluxo originam correntes de Foucault que levam ao seu
aquecimento.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-08.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 8. Funcionamento de um transformador de tensão.
</figcaption>
</center>
 

Coeficientes de auto-indução e de indução mútua

Considerem-se dois circuitos elétricos, independentes, formados por condutores físicos
com dimensões finitas (na FIGURA 9, estes circuitos são representados pelas duas espinhas);
em cada um é arbitrado um sentido de circulação, desta forma ficando definidos os
versores das normais (regra do saca-rolhas) para quaisquer superfícies que se apoiem
num e no outro.

 
<center>
<figure class="image-small">
<img src="https://rce.casadasciencias.org/static/images/articles/2021-018-09.jpg">
</figure>
<figcaption>FIGURA 9. Dois circuitos independentes, podendo o segundo deslocar-se no espaço.
</figcaption>
</center>
 

Se os condutores forem percorridos por correntes elétricas, é gerado um campo magnético \(\vec{B}\)
em todo o espaço, sobreposição dos campos gerados por cada corrente. A energia
magnética associada ao campo, é:

\(U=\frac{1}{2\mu_{0}}\int dV\vec{B}^{2}\) (5)

 

Esta expressão pode ser transformada noutra equivalente se se usar o potencial vetor
magnético:

\(U=\frac{1}{2\mu _{0}}\int dV\vec{B}\cdot \bigtriangledown \wedge \vec{A}=\frac{1}{2\mu_{0}}\int dV\vec{A}\cdot\bigtriangledown \wedge \vec{B}+\frac{1}{2\mu _{0}}\int dV\bigtriangledown \cdot\left ( \vec{A}\wedge \vec{B} \right )\)

 

O último termo é nulo para correntes localizadas; com efeito, tal termo pode ser transformado
no fluxo de \(\vec{A}\wedge \vec{B}\) através de uma superfície esférica gaussiana de raio arbitrariamente
grande onde aqueles campos decaem com suficiente rapidez para assegurar o
anulamento. Para o outro termo, a equação de Maxwell-Ampère dá:

\(U=\frac{1}{2}\int dV\vec{i}\cdot \vec{A}\) (6)

 

Aplicando aos dois circuitos, obtém-se:

\(U=\frac{1}{2}\int dV_{1}\vec{i}_{1}\left ( \vec{r}_{1} \right )\cdot \vec{A}_{1}+\frac{1}{2}\int dV_{1}\vec{i}_{1}\cdot \vec{A}_{2}+\frac{1}{2}\int dV_{2}\vec{i}_{2}\cdot\vec{A}_{1}+\frac{1}{2}\int dV_{2}\vec{i}_{2}\cdot\vec{A}_{2}\)

 

Os dois termos intermédios são iguais:

\(\int dV_{1}\vec{i}_{1}\left ( \vec{r}_{1} \right )\cdot\vec{A}_{2}\left ( \vec{r}_{1} \right )=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int dV_{1}\vec{i}_{1}\left ( \vec{r}_{1} \right )\cdot\int dV_{2}\frac{\vec{i}_{2}\left ( \vec{r}_{2} \right )}{R_{12}}=\int dV_{2}\vec{i}_{2}\left ( \vec{r}_{2} \right )\cdot \vec{A}_{1}\left ( \vec{r}_{2} \right )\)

 

onde \(R_{12}=\left | \vec{r}_{1}-\vec{r}_{2} \right |\) é a distância entre dois pontos genéricos, um em cada circuito.
Como os potenciais são proporcionais às correntes que os originam, a energia do campo
pode escreverse sob a forma:

\(U=\frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+M_{12}I_{1}I_{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^{2}\) (7)

 

Esta expressão define os coeficientes de auto-indução de cada circuito \(\left ( L \right )\) e o coeficiente
de indução mútua entre os dois circuitos \(\left ( M_{12} \right )\). Como deve ser \(U\geq 0\) quaisquer que
sejam as intensidades das correntes, obtém-se:

\(L_{1}L_{2}\geq M_{12}^{2}\) (8)

 

Em geral, a redução dos circuitos a linhas fechadas (sem espessura) não serve para o
cálculo dos coeficientes de auto-indução, porque o potencial vetor diverge nos pontos de
tais linhas. Contudo, se esse efeito puder ser ignorado, obtém-se:

\(LI^{2}=I\oint d\vec{l}\cdot \vec{A}=I\int dS\vec{n}\cdot \vec{B}=I\Phi \; \; \; \rightarrow \; \; \; L=\frac{\Phi }{I}\) (9)

 

Assim, o coeficiente de auto-indução aparece como a razão entre o fluxo através da espira
(auto-fluxo) e a intensidade da corrente que o origina. Por exemplo, no primário da
FIGURA 8, se apenas se considerar o campo magnético no interior da bobina, tem-se:

\(L\simeq \mu\frac{N^{2}}{l}s\) (10)

 

O cálculo do coeficiente de indução mútua, porém, é muitas vezes bem aproximado considerando
circuitos filiformes, tendo-se:

\(M_{12}=\oint_{C_{1}}^{}d\vec{l}\cdot\frac{\vec{A}_{2}\left ( \vec{r}_{1} \right )}{I_{2}}=\int_{\Sigma_{1}}^{}dS_{1}\vec{n}_{1}\cdot\frac{\vec{B}_{2}\left ( \vec{r}_{1} \right )}{I_{2}}=\frac{\Phi _{12}}{I_{2}}\) (11)

 

Aqui, \(\Phi _{12}\) é o fluxo através do primeiro circuito do campo magnético gerado pela corrente
no segundo circuito. É óbvio que se podem trocar os circuitos neste cálculo resultando
na expressão equivalente \(M_{12}=\frac{\Phi _{21}}{I_{1}}\), pelo que:

\(MI_{1}I_{2}=I_{1}\Phi _{12}=I_{2}\Phi _{21}\)

 

Por exemplo, para as duas bobinas da FIGURA 8, tem-se:

\(M_{12}=\mu\frac{N'N}{l}s\) (12)

 

Deve notar-se que o coeficiente de indução mútua não depende, apenas, das características
geométricas de cada bobina, mas também da distância entre elas, da orientação relativa
dos seus eixos e dos sentidos nos enrolamentos. As mesmas bobinas da FIGURA 8, se
colocadas com os eixos perpendiculares entre si, determinarão um coeficiente de indução
mútua praticamente nulo; e se os enrolamentos forem opostos, este coeficiente é negativo.

Considere-se, de novo, a FIGURA 9 e imagine-se que o circuito 2 se move (como indicado
pela seta). Este circuito é actuado pela força de Laplace que realiza o trabalho
\(\delta W_{L}=I_{2}\delta \Phi _{21}=I_{1}I_{2}\delta M_{12}\), pois que são consideradas constantes as correntes no
cálculo deste trabalho2. Assim, a potência associada à força de Laplace é originada pela
variação do coeficiente de indução mútua causada pela alteração de geometria no movimento relativo dos circuitos

\(P_{L}=I_{1}I_{2}\frac{\partial M}{\partial t}\)

 

Devido ao movimento, variam os fluxos através de qualquer das espiras, gerando forças
eletromotrizes que realizam trabalho (Faraday). Para o circuito 1, a potência da f.e.m. induzida
é obtida invocando a lei da indução:

\(P_{F}^{\left ( 1 \right )}=-I_{1}\frac{\partial }{\partial t}\left ( L_{1}I_{1}+M_{12}I_{2} \right )=-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left ( L_{1}I_{1}^2{} \right )-I_{1}\left [ M_{12}\frac{\partial I_{2}}{\partial t}+I_{2}\frac{\partial M_{12}}{\partial t} \right ]\)

 

Analogamente, para o circuito 2:

\(P_{F}^{\left ( 2 \right )}=-I_{2}\frac{\partial }{\partial t}\left ( L_{2}I_{2}+M_{12}I_{1} \right )=-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left ( L_{2}I_{2}^{2} \right )-I_{2}\left [ M_{12}\frac{\partial I_{1}}{\partial t}+I_{1}\frac{\partial M_{12}}{\partial t} \right ]\)

 

Somando estas potências, tem-se:

\(P_{L}+P_{F}^{\left ( 1 \right )}+P_{F}^{\left ( 2 \right )}=-\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{1}{2}L_{1}I_{1}^{2}+\frac{1}{2}L_{2}I_{2}^2{+M_{12}I_{1}I_{2}} \right )=-\frac{dU}{dt}\)

 

Quer isto dizer que a diminuição, na unidade de tempo, da energia magnética contabiliza
todo o trabalho realizado na mesma unidade de tempo pelas forças exercidas pelo campo
magnético, sejam elas forças de Laplace actuando sobre circuitos móveis, sejam as f.e.m.
induzidas nos circuitos por acção desses movimentos relativos</html><ref><html>LAGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/017/">Forças em campos magnéticos</a>, Rev. Ciência Elem., V9(1):017. (2021). DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/017/" target="_blank">10.24927/rce2021.017</a>.</html></ref><html>.

Estão estabelecidos os principais conceitos para se discutirem circuitos elétricos, em
corrente contínua ou alternada. Com as noções de capacidade de um condensador</html><ref><html>LAGE, E.,
<a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/015/">Eletrostática</a>, Rev. Ciência Elem., V9(1):015. (2021). DOI: <a class="a-link" target="_blank"
href="https://rce.casadasciencias.org/rceapp/art/2021/015/" target="_blank">10.24927/rce2021.015</a>.</html></ref><html> e dos
coeficientes de auto-indução e indução mútua ficam definidos os principais termos que
intervêm no estudo dos circuitos elétricos de que se ocupa o artigo “Circuitos elétricos”.
</html>

=Referências=
<references/>
---- Criada em 12 de Dezembro de 2020 Revista em 26 de Fevereiro de 2021 Aceite pelo editor em 31 de Março de 2021 
[[Category:Física]]

A indução eletromagnética - História de revisão

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