Seno de um ângulo agudo

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Referência : Nuno Tavares, J., Geraldo, A. (2013), WikiCiências, 4(02):0766
Autor: João Nuno Tavares e Ângela Geraldo
Editor: José Francisco Rodrigues


Definição

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Para definir o seno de um ângulo agudo de amplitude \(\alpha\in ]0,90º[\), fazemos a construção seguinte que se ilustra no applet

  1. escolhemos um ponto qualquer \(C\) num dos lados do ângulo. Por exemplo, no applet, escolhemos o ponto \(C\) num dos lados do ângulo (no applet escolhemos o lado horizontal);
  2. construímos a perpendicular a esse lado que passa em \(C\);
  3. essa perpendicular intersecta o outro lado em \(B\) e, desta forma, obtemos o triângulo retângulo representado na figura - o triângulo \(ACB\), retângulo em \(C\).

O seno de \(\displaystyle\alpha \) define-se agora através da razão

\(\sin\alpha=\displaystyle \frac{a}{c} \)

onde \(a\) é o comprimento do cateto \(BC\) e \(c\) é o comprimento da hipotenusa \(AB\).

No applet pode escolher o valor de \(\displaystyle\alpha \) com o cursor (a verde, à esquerda na figura). Note ainda que o valor de \(\displaystyle\sin\alpha \) não depende do ponto \(C\) escolhido no passo nº1 (pode verificar isso, variando a posição de \(C\) no applet). De facto, variando \(C\) obtemos triângulos retângulos, semelhantes entre si, e portanto, a razão \(\displaystyle \frac{a}{c}\) não muda.

Nota:

Para qualquer ângulo agudo de amplitude \(\alpha\in ]0,90º[\) , \(0 < \sin\alpha <1 \).

Exemplos

Para calcular o seno de um ângulo agudo podemos pois usar um triângulo retângulo qualquer. Por exemplo, na figura 1 usamos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é \(c=20\), para calcular o seno de \(30º\). Como é claro da figura 2 (justifique), o cateto \(a\) é metade da hipotenusa, isto é, \(a=10\) e portanto

\(\displaystyle \sin 30º= \frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)


Por outro lado, pelo teorema de Pitágoras, \(c^2=a^2+b^2\), e substituindo os valores de \(c=20\) e \(a=10\), obtemos \(b=\sqrt{400-100}=10 \sqrt{3}\). Portanto

\(\displaystyle \sin 60º= \frac{b}{c}=\frac{10 \sqrt{3}}{20}= \frac{\sqrt{3}}{2}\)


Na figura 3 usamos um triângulo retângulo isósceles (os dois catetos com o mesmo comprimento, \(a=b\)), para calcular o seno de \(45º\). Pelo teorema de Pitágoras \(c^2=a^2+b^2=2a^2\), uma vez que \(a=b\). Portanto, \(c=\sqrt{2}a\) e daí que

\(\displaystyle \sin 45º=\frac{a}{c} = \frac{a}{\sqrt{2}a}= \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Figura 1
Figura 2
Figura 3


Ver




Criada em 11 de Dezembro de 2012
Revista em 13 de Fevereiro de 2013
Aceite pelo editor em 13 de Fevereiro de 2013